Lý thuyết và bài tập về chỉnh hợp Toán 11

Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp k phần tử của A (1 $\le$ k $\le$ n) theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập A.

Số chỉnh hợp chập k của n phần tử:   

$A_n^k=n(n-1)(n-2)...(n-k+1)=\frac{n!}{(n-k)!}$

• Công thức trên cũng đúng cho trường hợp k = 0 hoặc k = n.

• Khi k = n thì $A_n^n=P_n=n!$

Cho tập A gồm n phần tử. Một dãy gồm k phần tử của A, trong đó mỗi phần tử có thể được lặp lại nhiều lần, được sắp xếp theo một thứ tự nhất định được gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử của tập A.

Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử: $\overline{A_n^k}=n^k$

Ví dụ: Số tập hợp con có $3$ phần tử của một tập hợp có $7$ phần tử là:

A. $C_7^3$.               B. $A_7^3$.               C. $\frac{7!}{3!}$.            D. $7$.

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Đây là tổ hợp chập $3$ của $7$ phần tử. Vậy có $C_7^3$ tập hợp con.

Câu 1: Cho các số $1,2,4,5,7$ có bao nhiêu cách tạo ra một số chẵn gồm $3$ chữ số khác nhau từ $5$ chữ số đã cho:

A. $120$.                          B. $256$.                          C. $24$.                            D. $36$.

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Gọi số cần tìm có dạng : $\overline{abc}$

Chọn $c$  : có 2 cách $(c\in \{2;4\})$

Chọn $\overline{ab}$ : có $A_4^2$ cách

Theo quy tắc nhân, có $2.A_4^2=24$(số)

Câu 2: Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm $5$ chữ số khác nhau lấy từ các số$0,1,2$,$3,4,5$.

A. $60$.                            B. $80$.                            C. $240$.                          D. $600$.

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Gọi số cần tìm có dạng : $\overline{abcde}(a\ne 0)$.

Chọn $a$ : có 5 cách $(a\ne 0)$

Chọn $\overline{bcde}$ : có $A_5^4$ cách

Theo quy tắc nhân, có $5.A_5^4=600$(số)

Câu 3: Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được bao nhiêu số tự nhiên

1. Gồm 4 chữ số

A. 1296                              B. 2019                              C. 2110                              D. 1297  

2. Gồm 3 chữ số đôi một khác nhau

A. 110                                B. 121                                C. 120                                D. 125  

3. Gồm 4 chữ số đôi một khác nhau và là chữ số tự nhiên chẵn

A. 182                                B. 180                                C. 190                                D. 192  

4. Gồm 4 chữ số đôi một khác nhau và không bắt đầu bằng chữ số 1

A. 300                                B. 320                                C. 310                                D. 330  

5. Gồm 6 chữ số đôi một khác nhau và hai chữ số 1 và 2 không đứng cạnh nhau.

A. 410                                B. 480                                C. 500                                D. 512  

Hướng dẫn giải:

1 Gọi số cần lập là: $x=\overline{abcd}$. Ta chọn $a,b,c,d$ theo thứ tự sau

$a:$ có 6 cách chọn

$b:$ có 6 cách chọn

$c:$ có 6 cách chọn

$d:$ có 6 cách chọn

Vậy có $6^4=1296$ số

Chọn A.

2. Mỗi số cần lập ứng với một chỉnh hợp chập 3 của 6 phần tử

Nên số cần lập là: $A_6^3=120$ số.

Chọn C.

3. Gọi số cần lập là : $x=\overline{abcd}$

Vì $x$ chẵn nên có $3$ cách chọn $d$. Ứng với mỗi cách chọn $d$ sẽ có

$A_5^3$ cách chọn $a,b,c$. Vậy có $3.A_5^3=180$ số.

Chọn B.

4. Gọi số cần lập là : $x=\overline{abcd}$

Vì $a\ne 1$ nên $a$ có $5$ cách chọn. Ứng với mỗi cách chọn $a$ ta có: $A_5^3$ cách chọn $b,c,d$. Vậy có $5.A_5^3=300$ số.

Chọn A.

5. Gọi $x$ là số có 6 chữ số đôi một khác nhau và hai chữ số 1 và 2 luôn đứng cạnh nhau.

Đặt $y=12$ khi đó $x$ có dạng $\overline{abcde}$ với $a,b,c,d,e$ đôi một khác nhau và thuộc tập $\{y,3,4,5,6\}$ nên có $P_5=5!=120$ số.

Khi hoán vị hai số $1,2$ ta được một số khác nên có $120.2=240$ số $x$

Vậy số thỏa yêu cầu bài toán là: $P_6-240=480$ số.

Chọn B.

Câu 4: Cho $6$ chữ số$4,5,6,7,8,9$. số các số tự nhiên chẵn có $3$ chữ số khác nhau lập thành từ 6 chữ số đó:

A. $120$.                          B. $60$.                            C. $256$.                          D. $216$.

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Gọi số cần tìm có dạng : $\overline{abc}$.

Chọn $c$: có 3 cách $(c\in \{4;6;8\})$

Chọn $\overline{ab}$ : có $A_5^2$ cách

Theo quy tắc nhân, có $3.A_5^2=60$(số).

Câu 5: Cho các chữ số$0,1,2,3,4,5$. Từ các chữ số đã cho lập được bao nhiêu số chẵn có $4$ chữ số và các chữ số đó phải khác nhau:

A. $160$.                          B. $156$.                          C. $752$.                          D. $240$.

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Gọi số cần tìm có dạng : $\overline{abcd}(a\ne 0)$.

TH1. $d=0$

Chọn $d$ : có 1 cách

Chọn $\overline{abc}$ : có $A_5^3$ cách

Theo quy tắc nhân, có $1.A_5^3=60$ (số)

TH2. $d\ne 0$

Chọn $d$ : có 2 cách $(d\in \{2;4\})$

Chọn $a$ : có 4 cách $(a\ne 0,a\ne d)$

Chọn $\overline{bc}$ : có $A_4^2$ cách

Theo quy tắc nhân, có $2.4.A_4^2=96$ (số)

Theo quy tắc cộng, vậy có $60+96=156$ (số).

Câu 6: Từ các số của tập $A=\{0,1,2,3,4,5,6\}$ có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau trong đó có hai chữ số lẻ và hai chữ số lẻ đứng cạnh nhau.

A. 360                                B. 362                                C. 345                                D. 368

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Vì có 3 số lẻ là 1,3,5, nên ta tạo được 6 cặp số kép: $13,31,15,51,35,53$

Gọi A là tập các số gồm 4 chữ số được lập từ $X=\{0,13,2,4,6\}$.

Gọi $A_1,A_2,A_3$ tương ứng là số các số tự nhiên lẻ gồm 4 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số của tập \)X=\left\{ 0,13,2,4,6 \right\}\) và 13 đứng ở vị trí thứ nhất, thứ hai và thứ ba.

Ta có: $\left|A_1\right|=A_4^3=24;\left|A_2\right|=\left|A_3\right|=3.3.2=18$ nên $\left|A\right|=24+2.18=60$

Vậy số các số cần lập là: $6.60=360$ số.

Câu 7: Trong một tuần bạn A dự định mỗi ngày đi thăm một người bạn trong $12$ người bạn của mình. Hỏi bạn A có thể lập được bao nhiêu kế hoạch đi thăm bạn của mình (thăm một bạn không quá một lần).

A. $3991680$.                  B. $12!$.                           C. $35831808$.                D. $7!$.

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Vì 1 tuần có 7 ngày nên có $A_{12}^7=3991680$ (kế hoạch).

Câu 8: Cho tập $A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$

1. Có bao nhiêu tập con của A chứa số 2 mà không chứa số 3

A. 64                                  B. 83                                  C. 13                                  D. 41

2. Tức các chữ số thuộc tập A, lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm 5 chữ số không bắt đầu bởi 123.

A. 3340                              B. 3219                              C. 4942                              D. 2220

Hướng dẫn giải:

1. Xét tập $B=\{1,4,5,6,7,8\}$, ta có B không chứa số 3.

X là một tập con của A thỏa yêu cầu bài toán khi và chỉ khi $X\mathrm{\setminus }\left\{2\right\}$ là một tập con của B. Do đo, số tập con của A thỏa yêu cầu bài toán bằng số tập con của B và bằng $2^6=64$.

Chọn A.

2. Xét số $x=\overline{abcde}$ được lập từ các chữ số thuộc tập A.

Vì $x$ lẻ nên $e\in \{1,3,5,7\}$, suy ra có 4 cách chọn e. Bốn chữ số còn lại được chọn từ 7 chữ số của tập $A\mathrm{\setminus }\left\{e\right\}$ nên có $A_7^4=840$ cách

Suy ra, có $4.840=3360$ số lẻ gồm năm chữ số khác nhau.

Mà số $x$ bắt đầu bằng 123 có $A_5^2=20$ số.

Vậy số $x$ thỏa yêu cầu bài toán là : $3360-20-3340$ số.

Chọn A.

Câu 9: Từ $7$ chữ số $1,2,3,4,5,6,7$ có thể lập được bao nhiêu số từ $4$ chữ số khác nhau?

A. $7!$.                             B. $7^4$.                 C. $7.6.5.4$.                     D. $7!.6!.5!.4!$.

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Chọn $4$ trong $7$ chữ số để sắp vào $4$ vị trí (phân biệt thứ tự) có $A_7^4=\frac{7!}{3!}=7.6.5.4$.

Vậy có $8!-A_6^2.6!=18720$ cách sắp xếp.

Câu 10: Từ các số $0,1,2,7,8,9$ tạo được bao nhiêu số chẵn có $5$ chữ số khác nhau?

A. $120$.                          B. $216$.                          C. $312$.                          D. $360$.

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Gọi $\overline{abcde}$ là số cần tìm.

Nếu e=0, chọn $4$ trong $5$ số còn lại sắp vào các vị trí $a,b,c,d$ có $A_5^4=120$ cách.

Nếu $e\ne 0$, chọn e có $2$ cách.

Chọn $a\ne 0$ và $a\ne e$ có $4$ cách.

Chọn $3$ trong $4$ số còn lại sắp vào các vị trí $b,c,d$ có $A_4^3$ cách.

Như vậy có: $A_5^4+2.4.A_4^3=312$ số.

...

---(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Lý thuyết và bài tập về chỉnh hợp Toán 11. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Lý thuyết và bài tập về tổ hợp Toán 11

• Lý thuyết và bài tập về hoán vị Toán 11

Chúc các em học tập tốt!