1. Giai thừa
\(n!=1.2.3\ldots n~~\) Qui ước: \(0!=1\)
\(n!=\left( n1 \right)!n\)
\(\frac{n!}{p!}=\left( p+1 \right).\left( p+2 \right)\ldots n\) (với \(n>p\))
\(\frac{n!}{(n-p)!}=\left( np+1 \right).\left( np+2 \right)\ldots n\) (với \(n>p\))
2. Hoán vị (không lặp)
Một tập hợp gồm n phần tử (n \(\ge\) 1). Mỗi cách sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự nào đó được gọi là một hoán vị của n phần tử.
Số các hoán vị của n phần tử là: \({{P}_{n}}\text{ }=\text{ }n!\)
3. Hoán vị lặp
Cho k phần tử khác nhau: \({{a}_{1}},\text{ }{{a}_{2}},\text{ }\ldots ,\text{ }{{a}_{k}}.\) Một cách sắp xếp \(n\) phần tử trong đó gồm \({{n}_{1}}\) phần tử \({{a}_{1}},\text{ }{{n}_{2}}\) phần tử \({{a}_{2}},\text{ }\ldots ,{{n}_{k}}\) phần tử \({{a}_{k}}\) \(\left( {{n}_{1}}+n2+\text{ }\ldots +\text{ }nk\text{ }=\text{ }n \right)\) theo một thứ tự nào đó được gọi là một hoán vị lặp cấp \(n\) và kiểu \(\left( {{n}_{1}},\text{ }{{n}_{2}},\text{ }\ldots ,\text{ }{{n}_{k}} \right)\) của \(k\) phần tử.
Số các hoán vị lặp cấp \(n\) kiểu \(\left( {{n}_{1}},\text{ }{{n}_{2}},\text{ }\ldots ,\text{ }{{n}_{k}} \right)\) của \(k\) phần tử là:
\({{P}_{n}}\left( {{n}_{1}},\text{ }{{n}_{2}},\text{ }\ldots ,\text{ }{{n}_{k}} \right)\text{ }=\frac{n!}{{{n}_{1}}!{{n}_{2}}!...{{n}_{k}}!}\)
4. Hoán vị vòng quanh
Cho tập A gồm n phần tử. Một cách sắp xếp n phần tử của tập A thành một dãy kín được gọi là một hoán vị vòng quanh của n phần tử.
Số các hoán vị vòng quanh của n phần tử là: \({{Q}_{n}}\text{ }=\text{ }\left( n\text{ }\text{ }1 \right)!\)
Ví dụ: Từ các số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự mà mỗi số có 6 chữ số khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3?
A. 192 B. 202 C. 211 D. 180
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Đặt \(y=23\), xét các số \(x=\overline{abcde}\) trong đó \(a,b,c,d,e\) đôi một khác nhau và thuộc tập \(\left\{ 0,1,y,4,5 \right\}\). Có \({{P}_{5}}-{{P}_{4}}=96\) số như vậy
Khi ta hoán vị \(2,3\) trong \(y\) ta được hai số khác nhau
Nên có \(96.2=192\) số thỏa yêu cầu bài toán.
5. Bài tập
Câu 1: Có bao nhiêu cách xếp \(n\) người ngồi vào một bàn tròn.
A. \(n!\) B. \((n-1)!\) C. \(2(n-1)!\) D. \((n-2)!\)
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Nếu xếp một người ngồi vào một vị trí nào đó thì ta có 1 cách xếp và
\(n-1\) người còn lại được xếp vào \(n-1\) vị trí còn lại nên có \((n-1)!\) cách xếp.
Vậy có tất cả \((n-1)!\) cách xếp.
Câu 2: Có 3 học sinh nữ và 2 hs nam.Ta muốn sắp xếp vào một bàn dài có 5 ghế ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp để 3 học sinh nữ ngồi kề nhau
A. 34 B. 46 C. 36 D. 26
Hướng dẫn giải:
Số cách xếp thỏa yêu cầu bài toán: \(3!.3!=36\)
Chọn C.
Câu 3: Có 3 học sinh nữ và 2 hs nam.Ta muốn sắp xếp vào một bàn dài có 5 ghế ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp để 2 học sinh nam ngồi kề nhau.
A. 48 B. 42 C. 58 D. 28
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Số cách xếp thỏa yêu cầu bài toán: \(2!.4!=48\)
Câu 4: Xếp 6 người A, B, C, D, E, F vào một ghế dài.Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho A và F ngồi ở hai đầu ghế
A. 48 B. 42 C. 46 D. 50
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Số cách xếp A, F: \(2!=2\)
Số cách xếp \(B,C,D,E\): \(4!=24\)
Số cách xếp thỏa yêu cầu bài toán: \(2.24=48\)
Câu 5: Xếp 6 người A, B, C, D, E, F vào một ghế dài.Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho: A và F ngồi cạnh nhau
A. 242 B. 240 C. 244 D. 248
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Xem \(AF\) là một phần tử X, ta có: \(5!=120\) số cách xếp
\(X,B,C,D,E\). Khi hoán vị \(A,F\) ta có thêm được một cách xếp
Vậy có \(240\) cách xếp thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 6: Xếp 6 người A, B, C, D, E, F vào một ghế dài.Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho: A và F không ngồi cạnh nhau
A. 480 B. 460 C. 246 D. 260
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Số cách xếp thỏa yêu cầu bài toán: \(6!-240=480\) cách
Câu 7: Trong tủ sách có tất cả \(10\) cuốn sách. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho quyển thứ nhất ở kề quyển thứ hai:
A. \(10!\). B. \(725760\). C. \(9!\). D. \(9!-2!\).
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Chọn \(2\) vị trí liên tiếp trong \(10\) vị trí, có \(9\) cách.
Hoán vị hai quyển sách có \(2\) cách.
Sắp \(8\) quyển sách còn lại vào \(8\) vị trí, có \(8!\) cách.
Vậy có \(9.2.8!=725760\) cách.
Câu 8: Có bao nhiêu cách xếp \(5\) sách Văn khác nhau và \(7\) sách Toán khác nhau trên một kệ sách dài nếu các sách Văn phải xếp kề nhau?
A. \(5!.7!\). B. \(2.5!.7!\). C. \(5!.8!\). D. \(12!\).
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Sắp \(5\) quyển văn có \(5!\) cách sắp xếp.
Sắp \(7\) quyển toán và bộ \(5\) quyển văn có \(8!\) cách sắp xếp.
Vậy có \(5!.8!\) cách sắp xếp.
Câu 9: Từ các số \(\text{1},\text{2},\text{3},\text{4},\text{5},\text{6}\) có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên,mỗi số có 6 chữ số đồng thời thỏa điều kiện :sáu số của mỗi số là khác nhau và trong mỗi số đó tổng của 3 chữ số đầu nhỏ hơn tổng của 3 số sau một đơn vị.
A. 104 B. 106 C. 108 D. 112
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Cách 1: Gọi \(x=\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}...{{a}_{6}}},\text{ }{{a}_{i}}\in \left\{ \text{1},\text{2},\text{3},\text{4},\text{5},\text{6} \right\}\) là số cần lập
Theo bài ra ta có: \({{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}}+1={{a}_{4}}+{{a}_{5}}+{{a}_{6}}\) (1)
Mà \({{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},{{a}_{4}},{{a}_{5}},{{a}_{6}}\in \left\{ \text{1},\text{2},\text{3},\text{4},\text{5},\text{6} \right\}\) và đôi một khác nhau nên
\({{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}}+{{a}_{4}}+{{a}_{5}}+{{a}_{6}}=1+2+3+4+5+6=21\) (2)
Từ (1), (2) suy ra: \({{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}}=10\)
Phương trình này có các bộ nghiệm là: \(({{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}})=(1,3,6);\text{ }(1,4,5);\text{ }(2,3,5)\)
Với mỗi bộ ta có \(3!.3!=36\) số.
Vậy có cả thảy \(3.36=108\) số cần lập.
Cách 2: Gọi \(x=\overline{abcdef}\) là số cần lập
Ta có: \(\left\{ \begin{align} & a+b+c+d+e+f=1+2+3+4+5+6=21 \\ & a+b+c=d+e+f+1 \\ \end{align} \right.\)
\(\Rightarrow a+b+c=11\). Do \(a,b,c\in \left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\}\)
Suy ra ta có các cặp sau: \((a,b,c)=(1,4,6);\text{ }(2,3,6);\text{ }(2,4,5)\)
Với mỗi bộ như vậy ta có \(3!\) cách chọn \(a,b,c\) và \(3!\) cách chọn \(d,e,f\)
Do đó có: \(3.3!.3!=108\) số thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 10: Từ các số \(1,2,3\) lập được bao nhiều số tự nhiên gôm \(6\) chữ số thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: Trong mỗi số, hai chữ số giống nhau không đứng cạnh nhau.
A. 76 B. 42 C. 80 D. 68
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Đặt \(A=\{1,2,3\}\). Gọi S là tập các số thỏa yêu cầu thứ nhất của bài toán
Ta có số các số thỏa điều kiện thứ nhất của bài toán là \(\frac{6!}{{{2}^{3}}}=90\) (vì các số có dạng \(\overline{aabbcc}\) và khi hoán vị hai số \(a,a\) ta được số không đổi)
Gọi \({{S}_{1}},{{S}_{2}},{{S}_{3}}\) là tập các số thuộc S mà có \(1,2,3\) cặp chữ số giống nhau đứng cạnh nhau.
\(\bullet \) Số phần tử của \({{S}_{3}}\) chính bằng số hoán vị của 3 cặp \(11,22,33\) nên \(\left| {{S}_{3}} \right|=6\)
\(\bullet \) Số phần tử của \({{S}_{2}}\) chính bằng số hoán vị của 4 phần tử là có dạng \(a,a,bb,cc\) nhưng \(a,a\) không đứng cạnh nhau. Nên \(\left| {{S}_{2}} \right|=\frac{4!}{2}-6=6\) phần tử.
\(\bullet \) Số phần tử của \({{S}_{1}}\) chính bằng số hoán vị của các phần tử có dạng \(a,a,b,b,cc\) nhưng \(a,a\) và \(b,b\) không đứng cạnh nhau nên \(\left| {{S}_{1}} \right|=\frac{5!}{4}-6-12=12\)
Vậy số các số thỏa yêu cầu bài toán là: \(90-(6+6+12)=76\).
...
---(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---
Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Lý thuyết và bài tập về hoán vị Toán 11. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.
Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.
Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:
Chúc các em học tập tốt!
