Lý thuyết và bài tập về các quy tắc đếm toán 11

a) Định nghĩa: Một công việc nào đó có thể được thực hiện theo một trong hai phương án A hoặc B. Nếu phương án A có m cách thực hiện, phương án B có n cách thực hiện và không trùng với bất kì cách nào trong phương án A thì công việc đó có m + n cách thực hiện.

b) Công thức quy tắc cộng

Nếu các tập $A_1,A_2,...,A_n$ đôi một rời nhau. Khi đó:

$|A_1\cup A_2\cup ...\cup A_n|=\left|A_1\right|+\left|A_2\right|+...+\left|A_n\right|$

a) Định nghĩa:

Một công việc nào đó có thể bao gồm hai công đoạn A và B. Nếu công đoạn A có m cách thực hiện và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện công đoạn B thì công việc đó có m.n cách thực hiện.

b) Công thức quy tắc nhân

Nếu các tập $A_1,A_2,...,A_n$ đôi một rời nhau. Khi đó:

$|A_1\cap A_2\cap ...\cap A_n|=\left|A_1\right|.\left|A_2\right|.....\left|A_n\right|$.

Bài toán 1: Đếm số phương án liên quan đến số tự nhiên

Khi lập một số tự nhiên $x=\overline{a_1...a_n}$ ta cần lưu ý:

* $a_i\in \{0,1,2,...,9\}$ và $a_1\ne 0$.

* $x$ là số chẵn $\iff a_n$ là số chẵn

* $x$ là số lẻ $\iff a_n$ là số lẻ

* $x$ chia hết cho $3\iff a_1+a_2+...+a_n$ chia hết cho $3$

* $x$ chia hết cho $4$ $\iff \overline{a_{n-1}{a}_n}$ chia hết cho $4$

* $x$ chia hết cho $5\iff a_n\in \{0,5\}$

* $x$ chia hết cho 6 $\iff x$ là số chẵn và chia hết cho $3$

* $x$ chia hết cho $8\iff \overline{a_{n-2}{a}_{n-1}{a}_n}$ chia hết cho $8$

* $x$ chia hết cho $9\iff a_1+a_2+...+a_n$ chia hết cho $9$.

* $x$ chia hết cho $11\iff$ tổng các chữ số ở hàng lẻ trừ đi tổng các chữ số ở hàng chẵn là một số chia hết cho $11$.

* $x$ chia hết cho $25\iff$ hai chữ số tận cùng là $00,25,50,75$.

Bài toán 2: Đếm số phương án liên quan đến kiến thức thực tế

Bài toán 3: Đếm số phương án liên quan đến hình học

Chú ý: 1. Ta thường gặp bài toán đếm số phương án thực hiện hành động H thỏa mãn tính chất T. Để giải bài toán này ta thường giải theo hai cách sau

Cách 1: Đếm trực tiếp

$\bullet$ Nhận xét đề bài để phân chia các trường hợp xảy ra đối với bài toán cần đếm.

$\bullet$ Đếm số phương án thực hiện trong mỗi trường hợp đó

$\bullet$ Kết quả của bài toán là tổng số phương án đếm trong cách trường hợp trên

Cách 2: Đếm gián tiếp (đếm phần bù)

Trong trường hợp hành động H chia nhiều trường hợp thì ta đi đếm phần bù của bài toán như sau:

$\bullet$ Đếm số phương án thực hiện hành động H (không cần quan tâm đến có thỏa tính chất T hay không) ta được a phương án.

$\bullet$ Đếm số phương án thực hiện hành động H không thỏa tính chất T ta được b phương án.

Khi đó số phương án thỏa yêu cầu bài toán là: a-b.

Ví dụ: Từ các số $1,2,3,4,5,6,7$ lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau và là số chia hết cho 5

A. 360                           B. 120                           C. 480                         D. 347

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Vì $x$ chia hết cho 5 nên d chỉ có thể là 5 $\Rightarrow$ có 1 cách chọn d.

Có 6 cách chọn a, 5 cách chọn b và 4 cách chọn c.

Vậy có $1.6.5.4=120$ số thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 1: Từ các số $1,2,3,4,5,6,7$ lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau và là:
1. Số chẵn

A. 360                           B. 343                           C. 523                         D. 347

2. Số lẻ

A. 360                           B. 343                           C. 480                         D. 347

Hướng dẫn giải:

Gọi số cần lập $x=\overline{abcd}$; $a,b,c,d\in \{1,2,3,4,5,6,7\}$ và $a,b,c,d$ đôi một khác nhau.

1. Công việc ta cần thực hiện là lập số $x$ thỏa mãn $x$ là số chẵn nên $d$ phải là số chẵn. Do đó để thực hiện công việc này ta thực hiện qua các công đoạn sau

Bước 1: Chọn $d$: Vì $d$ là số chẵn nên $d$ chỉ có thể là các số $2,4,6$ nên $d$ có 3 cách chọn.

Bước 2: Chọn $a$: Vì ta đã chọn d nên $a$ chỉ có thể chọn một trong các số của tập $\{1,2,3,4,5,6,7\}\mathrm{\setminus }\{d\}$ nên có $6$ cách chọn $a$

Bước 3: Chọn $b$: Tương tự ta có $5$ cách chọn $b$

Bước 4: Chọn $c$: Có 4 cách chọn.

Vậy theo quy tắc nhân có: $3.6.5.4=360$ số thỏa yêu cầu bài toán.

2. Vì số $x$ cần lập là số lẻ nên $d$ phải là số lẻ. Ta lập $x$ qua các công đoạn sau.

Bước 1: Có 4 cách chọn d

Bước 2: Có 6 cách chọn a

Bước 3: Có 5 cách chọn b

Bước 4: Có 4 cách chọn c

Vậy có 480 số thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 2: Cho các số $1,5,6,7$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có $4$ chữ số với các chữ số khác nhau:

A. $12$.                            B. $24$.                            C. $64$.                            D. $256$.

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Gọi số tự nhiên có $4$ chữ số cần tìm là: $\overline{abcd},a\ne 0$, khi đó:

$a$ có $4$ cách chọn

$b$ có $3$ cách chọn

$c$ có $2$ cách chọn

$d$ có $1$ cách chọn

Vậy có: $4.3.2.1=24$ số

Nên chọn $B$.

Câu 3: Từ các chữ số $2,3,4,5$ có thể lập được bao nhiêu số gồm $4$ chữ số:

A. $256$.                          B. $120$.                          C. $24$.                            D. $16$.

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Gọi số tự nhiên có $4$ chữ số cần tìm là: $\overline{abcd},a\ne 0$, khi đó:

$a$ có $4$ cách chọn

$b$ có $4$ cách chọn

$c$ có $4$ cách chọn

$d$ có $4$ cách chọn

Vậy có: $4.4.4.4=256$ số

Nên chọn $A$.

Câu 4: Có bao nhiêu chữ số chẵn gồm bốn chữ số đôi một khác nhau được lập từ các số $0,1,2,4,5,6,8$.

A. 252                                B. 520                                C. 480                                D. 368

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Gọi $x=\overline{abcd};a,b,c,d\in \{0,1,2,4,5,6,8\}$.

Cách 1: Tính trực tiếp

Vì $x$ là số chẵn nên $d\in \{0,2,4,6,8\}$.

TH 1: $d=0\Rightarrow$ có 1 cách chọn $d$.

Với mỗi cách chọn $d$ ta có 6 cách chọn $a\in \{1,2,4,5,6,8\}$

Với mỗi cách chọn $a,d$ ta có 5 cách chọn $b\in \{1,2,4,5,6,8\}\mathrm{\setminus }\left\{a\right\}$

Với mỗi cách chọn $a,b,d$ ta có $4$ cách chọn $c\in \{1,2,4,5,6,8\}\mathrm{\setminus }\{a,b\}$

Suy ra trong trường hợp này có $1.6.5.4=120$ số.

TH 2: $d\ne 0\Rightarrow d\in \{2,4,6,8\}\Rightarrow$ có 4 cách chọn d

Với mỗi cách chọn $d$, do $a\ne 0$ nên ta có 5 cách chọn

$a\in \{1,2,4,5,6,8\}\mathrm{\setminus }\left\{d\right\}$.

Với mỗi cách chọn $a,d$ ta có 5 cách chọn $b\in \{1,2,4,5,6,8\}\mathrm{\setminus }\left\{a\right\}$

Với mỗi cách chọn $a,b,d$ ta có $4$ cách chọn $c\in \{1,2,4,5,6,8\}\mathrm{\setminus }\{a,b\}$

Suy ra trong trường hợp này có $4.5.5.4=400$ số.

Vậy có tất cả $120+400=520$ số cần lập.

Cách 2: Tính gián tiếp ( đếm phần bù)

Gọi $A=${ số các số tự nhiên có bốn chữ số đôi một khác nhau được lập từ các số $0,1,2,4,5,6,8$}

$B=${ số các số tự nhiên lẻ có bốn chữ số đôi một khác nhau được lập từ các số $0,1,2,4,5,6,8$}

$C=${ số các số tự nhiên chẵn có bốn chữ số đôi một khác nhau được lập từ các số $0,1,2,4,5,6,8$}

Ta có: $\left|C\right|=\left|A\right|-\left|B\right|$.

Dễ dàng tính được: $\left|A\right|=6.6.5.4=720$.

Ta đi tính $\left|B\right|$?
$x=\overline{abcd}$ là số lẻ $\Rightarrow d\in \{1,5\}\Rightarrow d$ có 2 cách chọn.

Với mỗi cách chọn $d$ ta có 5 cách chọn $a$(vì $a\ne 0,a\ne d$)
Với mỗi cách chọn $a,d$ ta có 5 cách chọn $b$

Với mỗi cách chọn $a,b,d$ ta có 4 cách chọn $c$

Suy ra $\left|B\right|=2.5.5.4=200$

Vậy $\left|C\right|=520$.

Câu 5: Cho $6$ chữ số $2,3,4,5,6,7$ số các số tự nhiên chẵn có $3$ chữ số lập thành từ $6$ chữ số đó:

A. $36$.                            B. $18$.                            C. $256$.                          D. $108$.

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Gọi số tự nhiên có $3$ chữ số cần tìm là: $\overline{abc},a\ne 0$, khi đó:

$c$ có $3$ cách chọn

$a$ có $6$ cách chọn

$b$ có $6$ cách chọn

Vậy có: $3.6.6=108$ số

Nên chọn $D$.

 

...

---(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Lý thuyết và bài tập về các quy tắc đếm toán 11. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Lý thuyết và bài tập về hoán vị toán 11

• Lý thuyết và bài tập về chỉnh hợp toán 11

Chúc các em học tập tốt!