Phương pháp xác định các hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức newton

${(a{x}^p+b{x}^q)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{\left(a{x}^p\right)}^{n-k}{\left(b{x}^q\right)}^k=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{a}^{n-k}{b}^k{x}^{np-pk+qk}$

Số hạng chứa $x^m$ ứng với giá trị $k$ thỏa: $np-pk+qk=m$.

Từ đó tìm $k=\frac{m-np}{p-q}$

Vậy hệ số của số hạng chứa $x^m$ là: $C_n^k{a}^{n-k}.b^k$ với giá trị $k$ đã tìm được ở trên.

 Nếu $k$ không nguyên hoặc $k>n$ thì trong khai triển không chứa $x^m$, hệ số phải tìm bằng 0.

Chú ý: Xác định hệ số của số hạng chứa $x^m$ trong khai triển

$P\left(x\right)={(a+b{x}^p+c{x}^q)}^n$được viết dưới dạng$a_0+a_{1}x+...+a_{2n}{x}^{2n}$.

Ta làm như sau:

* Viết $P\left(x\right)={(a+b{x}^p+c{x}^q)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{a}^{n-k}{(b{x}^p+c{x}^q)}^k$;

* Viết số hạng tổng quát khi khai triển các số hạng dạng ${(b{x}^p+c{x}^q)}^k$ thành một đa thức theo luỹ thừa của x.

* Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được hệ số của $x^m$.

Chú ý: Để xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niutơn

Ta làm như sau:

* Tính hệ số $a_k$ theo $k$ và $n$;

* Giải bất phương trình $a_{k-1}\le a_k$ với ẩn số $k$;

* Hệ số lớn nhất phải tìm ứng với số tự nhiên k lớn nhất thoả mãn bất phương trình trên.

Ví dụ: Tìm hệ số của $x^7$ trong khai triển biểu thức sau: $f(x)={(3+2x)}^{10}$

A. 103680                          B. 1301323                        C. 131393                          D. 1031831

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Ta có $f(x)=\sum _{k=0}^{10}{C}_n^k{3}^{10-k}{(2x)}^k=\sum _{k=0}^{10}{C}_{10}^k{3}^{10-k}{(-2)}^k{x}^k$

Số hạng chứa $x^8$ ứng với giá trị $k=8$

Vậy hệ số của $x^8$ là: $C_{10}^8{.3}^2.{(-2)}^8=103680$.

Câu 1: Trong khai triển ${(2a-b)}^5$, hệ số của số hạng thứ 3 bằng:

A. $-80$.                           B. $80$.                            C. $-10$.                           D. $10$.

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Ta có: ${(2a-b)}^5=C_5^0{\left(2a\right)}^5-C_5^1{\left(2a\right)}^{4}b+C_5^2{\left(2a\right)}^3{b}^2+...$

Do đó hệ số của số hạng thứ 3 bằng$C_5^2.8=80$.

Câu 2: Trong khai triển nhị thức ${(a+2)}^{n+6},(n\in \mathbb{N})$. Có tất cả 17 số hạng. Vậy $n$ bằng:

A. $17$.                            B. $11.$                            C. $10$.                            D. $12$.

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Trong khai triển ${(a+2)}^{n+6},(n\in \mathbb{N})$ có tất cả $n+7$ số hạng.

Do đó $n+7=17\iff n=10$.

Câu 3: Trong khai triển ${(3x^2-y)}^{10}$, hệ số của số hạng chính giữa là:

A. $3^4.C_{10}^4$.     

B. $-3^4.C_{10}^4$.

C. $3^5.C_{10}^5$. 

D. $-3^5.C_{10}^5$.

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Trong khai triển ${(3x^2-y)}^{10}$ có tất cả 11 số hạng nên số hạng chính giữa là số hạng thứ 6.

Vậy hệ số của số hạng chính giữa là $-3^5.C_{10}^5$.

Câu 4: Trong khai triển ${(2x-5y)}^8$, hệ số của số hạng chứa $x^5.y^3$ là:

A. $-22400$.                     B. $-40000$.                     C. $-8960$.                       D. $-4000$.

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Số hạng tổng quát trong khai triển trên là $T_{k+1}={(-1)}^k{C}_8^k.{(2x)}^{8-k}{(5y)}^k={(-1)}^k{C}_8^k{.2}^{8-k}{5}^k.x^{8-k}.y^k$

Yêu cầu bài toán xảy ra khi $k=3$. Khi đó hệ số của số hạng chứa $x^5.y^3$ là:$-22400$.

Câu 5: Trong khai triển ${(x+\frac{2}{\sqrt[]{x}})}^6$, hệ số của $x^3,(x>0)$ là:

A. $60$.                            B. $80$.                            C. $160$.                          D. $240$.

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Số hạng tổng quát trong khai triển trên là $T_{k+1}=C_6^k.x^{6-k}{2}^k.x^{-\frac{1}{2}k}$

Yêu cầu bài toán xảy ra khi $6-k-\frac{1}{2}k=3\iff k=3$.

Khi đó hệ số của $x^3$ là:$C_6^3{.2}^3=160$.

Câu 6: Trong khai triển ${(a^2+\frac{1}{b})}^7$, số hạng thứ 5 là:

A. $35.a^6.b^{-4}$.   

B. $-35.a^6.b^{-4}$.   

C. $35.a^4.b^{-5}$.    

D. $-35.a^4.b$.

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Số hạng tổng quát trong khai triển trên là $T_{k+1}=C_7^k.a^{14-2k}.b^{-k}$

Vậy số hạng thứ 5 là $T_5=C_7^4.a^6.b^{-4}=35.a^6.b^{-4}$

Câu 7: Trong khai triển ${(2a-1)}^6$, tổng ba số hạng đầu là:

A. $2a^6-6a^5+15a^4$.                     

B. $2a^6-15a^5+30a^4$.

C. $64a^6-192a^5+480a^4$.             

D. $64a^6-192a^5+240a^4$.

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có: ${(2a-1)}^6=C_6^0{.2}^6{a}^6-C_6^1{.2}^5{a}^5+C_6^2{.2}^4{a}^4-...$

Vậy tổng 3 số hạng đầu là $64a^6-192a^5+240a^4$.

Câu 8: Trong khai triển ${(x-\sqrt{y})}^{16}$, tổng hai số hạng cuối là:

A. $-16x\sqrt{y^{15}}+y^8$.                     

B. $-16x\sqrt{y^{15}}+y^4$.  

C. $16x{y}^{15}+y^4$.

D. $16x{y}^{15}+y^8$.

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Ta có: ${(x-\sqrt{y})}^{16}=C_{16}^0{x}^{16}-C_{16}^1{x}^{15}.\sqrt{y}+...-C_{16}^{15}x{\left(\sqrt{y}\right)}^{15}+C_{16}^{16}{\left(\sqrt{y}\right)}^{16}$

Câu 9: Trong khai triển ${(8a^2-\frac{1}{2}b)}^6$, hệ số của số hạng chứa $a^9{b}^3$ là:

A. $-80a^9.b^3$.    

B. $-64a^9.b^3$.  

C. $-1280a^9.b^3$.    

D. $60a^6.b^4$.

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Số hạng tổng quát trong khai triển trên là $T_{k+1}={(-1)}^k{C}_6^k{.8}^{6-k}{a}^{12-2k}{.2}^{-k}{b}^k$

Yêu cầu bài toán xảy ra khi $k=3$.

Khi đó hệ số của số hạng chứa $a^9{b}^3$ là:$-1280a^9.b^3$.

Câu 10: Trong khai triển ${(x+\frac{8}{x^2})}^9$, số hạng không chứa x là:

A. $4308$.                        B. $86016$.                      C. $84$.                            D. $43008$.

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Số hạng tổng quát trong khai triển trên là $T_{k+1}=C_9^k.x^{9-k}{8}^k.x^{-2k}$

Yêu cầu bài toán xảy ra khi $9-k-2k=0\iff k=3$.

Khi đó số hạng không chứa x là:$C_9^3{.8}^3=43008$.

 

...

---(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Phương pháp xác định các hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức Newton. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Lý thuyết và bài tập về chỉnh hợp Toán 11

• Lý thuyết và bài tập về hoán vị Toán 11

Chúc các em học tập tốt!