Lý thuyết và bài tập về tổ hợp Toán 11

Cho tập A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k (1 $\le$ k $\le$ n) phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.

Số các tổ hợp chập k của n phần tử:   $C_n^k=\frac{A_n^k}{k!}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$

Qui ước: $C_n^0$ = 1

Tính chất:

$C_n^0=C_n^n=1;C_n^k=C_n^{n-k};C_n^k=C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^k;C_n^k=\frac{n-k+1}{k}{C}_n^{k-1}$

Cho tập A = $\{a_1;a_2;...;a_n\}$ và số tự nhiên k bất kì. Một tổ hợp lặp chập k của n phần tử là một hợp gồm k phần tử, trong đó mỗi phần tử là một trong n phần tử của A.

Số tổ hợp lặp chập k của n phần tử:   $\overline{C_n^k}=C_{n+k-1}^k=C_{n+k-1}^{m-1}$

• Chỉnh hợp và tổ hợp liên hệ nhau bởi công thức: $A_n^k=k!C_n^k$

• Chỉnh hợp: có thứ tự.                      

• Tổ hợp: không có thứ tự.

⇒ Những bài toán mà kết quả phụ thuộc vào vị trí các phần tử –> chỉnh hợp

Ngược lại, là tổ hợp.

• Cách lấy k phần tử từ tập n phần tử (k £ n):

            + Không thứ tự, không hoàn lại: $C_n^k$

            + Có thứ tự, không hoàn lại: $A_n^k$

            + Có thứ tự, có hoàn lại: $\overline{A_n^k}$

Phương án 2: Đếm gián tiếp (đếm phần bù)

Trong trường hợp hành động H chia nhiều trường hợp thì ta đi đếm phần bù của bài toán như sau:

$\bullet$ Đếm số phương án thực hiện hành động H (không cần quan tâm đến có thỏa tính chất T hay không) ta được $a$phương án.

$\bullet$ Đếm số phương án thực hiện hành động H không thỏa tính chất T ta được $b$ phương án.

Khi đó số phương án thỏa yêu cầu bài toán là: $a-b$.

Ví dụ 1: Một hội đồng gồm $2$ giáo viên và $3$ học sinh được chọn từ một nhóm $5$ giáo viên và $6$ học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

A. $200$.                          B. $150$.                          C. $160$.                          D. $180$.

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Chọn $2$ trong $5$ giáo viên có: $C_5^2=10$ cách chọn.

Chọn $3$ trong $6$ học sinh có $C_6^3=20$ cách chọn.

Vậy có $10.20=200$ cách chọn.

Ví dụ 2: Một tổ gồm $12$ học sinh trong đó có bạn An. Hỏi có bao nhiêu cách chọn $4$ em đi trực trong đó phải có An:

A. $990$.                          B. $495$.                          C. $220$.                          D. $165$.

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Chọn An có $1$ cách chọn.

Chọn $3$ bạn trong $11$ bạn còn lại có $C_{11}^3=165$ cách chọn.

Vậy có $165$ cách chọn.

Câu 1: Số cách chia $10$ học sinh thành $3$ nhóm lần lượt gồm $2$, $3$, $5$ học sinh là:

A. $C_{10}^2+C_{10}^3+C_{10}^5$.    

B. $C_{10}^2.C_8^3.C_5^5$.

C. $C_{10}^2+C_8^3+C_5^5$. 

D. $C_{10}^5+C_5^3+C_2^2$.

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Chọn $2$ trong $10$ học sinh chia thành nhóm $2$ có: $C_{10}^2$ cách.

Chọn $3$ trong $8$ học sinh còn lại chia thành nhóm $3$ có: $C_8^3$ cách.

Chọn $5$ trong $5$ học sinh còn lại chia thành nhóm $5$ có $C_5^5$ cách.

Vậy có $C_{10}^2.C_8^3.C_5^5$ cách.

Câu 2: Một thí sinh phải chọn $10$ trong số $20$ câu hỏi. Hỏi có bao nhiêu cách chọn $10$ câu hỏi này nếu $3$ câu đầu phải được chọn:

A. $C_{20}^{10}$.          

B. $C_7^{10}+C_{10}^3$. 

C. $C_{10}^7.C_{10}^3$.    

D. $C_{17}^7$.

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Thí sinh chỉ phải chọn $7$ câu trong $17$ câu còn lại. Vậy có $C_{17}^7$ cách chọn.

Câu 3: Trong các câu sau câu nào sai?

A. $C_{14}^3=C_{14}^{11}$.    

B. $C_{10}^3+C_{10}^4=C_{11}^4$.

C. $C_4^0+C_4^1+C_4^2+C_4^3+C_4^4=16$.  

D. $C_{10}^4+C_{11}^4=C_{11}^5$.

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có công thức: $C_n^k+C_n^{k+1}=C_{n+1}^{k+1}$ nên đáp án sai là $C_{10}^4+C_{11}^4=C_{11}^5$.

Câu 4: Có tất cả $120$ cách chọn $3$ học sinh từ nhóm $n$ (chưa biết) học sinh. Số $n$ là nghiệm của phương trình nào sau đây?

A. $n(n+1)(n+2)=120$.

B. $n(n+1)(n+2)=720$.

C. $n(n-1)(n-2)=120$. 

D. $n(n-1)(n-2)=720$.

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Chọn $3$ trong $n$ học sinh có $C_n^3=\frac{n!}{(n-3)!.3!}=\frac{n(n-1)(n-2)}{6}$.

Khi đó $C_n^3=120\iff n(n-1)(n-2)=720$.

Câu 5: Một Thầy giáo có 10 cuốn sách Toán đôi một khác nhau, trong đó có 3 cuốn Đại số, 4 cuốn Giải tích và 3 cuốn Hình học. Ông muốn lấy ra 5 cuốn và tặng cho 5 học sinh sao cho sau khi tặng mỗi loại sách còn lại ít nhất một cuốn. Hỏi có bao nhiêu cách tặng.

A. 23314                            B. 32512                            C. 24480                            D. 24412

Hướng dẫn giải:

Số cách lấy 5 cuốn sách và đem tặng cho 5 học sinh: $S=A_{10}^5=30240$ cách.

Số cách chọn sao cho không còn sách Đại số:$S_1=C_7^2.5!=2520$ cách

Số cách chọn sao cho không còn sách Giải tích:$S_2=C_6^1.5!=720$ cách

Số cách chọn sao cho không còn sách Hình học:$S_3=C_7^2.5!=2520$ cách.

Vậy số cách tặng thỏa yêu cầu bài toán: $S-S_1-S_2-S_3=24480$ cách tặng.

Câu 6: Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người,gồm 12 nam và 3 nữ.Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và một nữ ?

A. 12141421                      B. 5234234                        C. 4989600                        D. 4144880

Hướng dẫn giải:

Có $C_{12}^4$ cách phân công 4 nam về tỉnh thứ nhất

Với mỗi cách phân công trên thì có $C_8^4$ cách phân công 4 nam về tỉnh thứ hai và có $C_4^4$ cách phân công 4 nam còn lại về tỉnh thứ ba.

Khi phân công nam xong thì có $3!$ cách phân công ba nữ về ba tỉnh đó.

Vậy có tất cả $C_{12}^4.C_8^4.C_4^4.3!=4989600$ cách phân công.

Câu 7: Đội thanh niên xung kích có của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong ba lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?

A. 4123                              B. 3452                              C. 372                                D. 446

Hướng dẫn giải:

TH 1: 4 học sinh được chọn thuộc một lớp:

$\bullet$ A: có $C_5^4=5$ cách chọn

$\bullet$ B: có $C_4^4=1$ cách chọn

Trường hợp này có: $6$ cách chọn.

TH 2: 4 học sinh được chọn thuộc hai lớp:

$\bullet$ A và B: có $C_9^4-(C_5^4+C_4^4)=120$

$\bullet$ B và C: có $C_9^4-C_4^4=125$

$\bullet$ C và A: có $C_9^4-C_5^4=121$

Trường hợp này có 366 cách chọn.

Vậy có 372 cách chọn thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 8: Một nhóm học sinh gồm 15 nam và 5 nữ. Người ta muốn chọn từ nhóm ra 5 người để lập thành một đội cờ đỏ sao cho phải có 1 đội trưởng nam, 1 đội phó nam và có ít nhất 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập đội cờ đỏ.

A. 131444                          B. 141666                          C. 241561                          D. 111300

Hướng dẫn giải:

Vì trong 5 người được chọn phải có ít nhất 1 nữ và ít nhất phải có 2 nam nên số học sinh nữ gồm 1 hoặc 2 hoặc 3 nên ta có các trường hợp sau:

$\bullet$ chọn 1 nữ và 4 nam.

 +) Số cách chọn 1 nữa: 5 cách

 +) Số cách chọn 2 nam làm đội trưởng và đội phó: $A_{15}^2$

 +) Số cách chọn 2 nam còn lại: $C_{13}^2$

Suy ra có $5A_{15}^2.C_{13}^2$ cách chọn cho trường hợp này.

$\bullet$ chọn 2 nữ và 3 nam.

 +) Số cách chọn 2 nữ: $C_5^2$ cách.

 +) Số cách chọn 2 nam làm đội trưởng và đội phó: $A_{15}^2$ cách.

 +) Số cách chọn 1 còn lại: 13 cách.

Suy ra có $13A_{15}^2.C_5^2$ cách chọn cho trường hợp này.

$\bullet$ Chọn 3 nữ và 2 nam.

 +) Số cách chọn 3 nữ : $C_5^3$ cách.

 +) Số cách chọn 2 làm đội trưởng và đội phó: $A_{15}^2$ cách.

Suy ra có $A_{15}^2.C_5^3$ cách chọn cho trường hợp 3.

Vậy có $5A_{15}^2.C_{13}^2+13A_{15}^2.C_5^2+A_{15}^2.C_5^3=111300$ cách.

Câu 9: Đội tuyển HSG của một trường gồm 18 em, trong đó có 7 HS khối 12, 6 HS khối 11 và 5 HS khối10. Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 cách cử 8 HS đi dự đại hội sao cho mỗi khối có ít nhất 1 HS được chọn

A. 41811                            B. 42802                            C. 41822                            D. 32023  

Hướng dẫn giải:

Số cách chọn 8 học sinh gồm hai khối là:

$C_{13}^8+C_{11}^8+C_{12}^8=1947$.

Số cách chọn thỏa yêu cầu bài toán: $C_{18}^8-1947=41811$.

Câu 10: Một cuộc họp có 13 người, lúc ra về mỗi người đều bắt tay người khác một lần, riêng chủ tọa chỉ bắt tay ba người. Hỏi có bao nhiêu cái bắt tay?

A. 69                                  B. 80                                  C. 82                                  D. 70  

Hướng dẫn giải:

Số bắt tay 12 người (trừ chủ tọa) $C_{12}^2$

Vậy có : $C_{12}^2+3=69$ bắt tay.

 

...

---(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Lý thuyết và bài tập về chỉnh hợp Toán 11. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Lý thuyết và bài tập về chỉnh hợp Toán 11

• Lý thuyết và bài tập về hoán vị Toán 11

Chúc các em học tập tốt!