Chuyên đề tọa độ trong không gian Oxyz

Trong không gian, xét ba trục tọa độ \(Ox,\,Oy,\,Oz\) vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc O. Gọi \(\overrightarrow{i},\,\,\overrightarrow{j},\,\,\overrightarrow{k}\) là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục \(Ox,\,Oy,\,Oz\). Hệ ba trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian.

Chú ý:

\({{\overrightarrow{i}}^{2}}={{\overrightarrow{j}}^{2}}={{\overrightarrow{k}}^{2}}=1\,\,\,\) và   \(\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}=\overrightarrow{i}.\overrightarrow{k}\,\,=\,\,\overrightarrow{k}.\overrightarrow{j}=0\).

a) Định nghĩa: \(\overrightarrow{u}\,\,=\,\,\left( x;\,\,y;\,\,z \right)\Leftrightarrow \overrightarrow{u}\,\,=\,\,x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}\,\,\,\,\)

b) Tính chất: Cho \(\overrightarrow{a}=({{a}_{1}};{{a}_{2}};{{a}_{3}}),\,\,\overrightarrow{b}=({{b}_{1}};{{b}_{2}};\,{{b}_{3}}),\,\,k\in \mathbb{R}\)

• \(\vec{a}\pm \vec{b}\,=\,\,({{a}_{1}}\pm {{b}_{1}};\,\,{{a}_{2}}\pm {{b}_{2}};\,\,{{a}_{3}}\pm {{b}_{3}})\)

• \(k\vec{a}\,\,=\,\,(k{{a}_{1}};\,\,k{{a}_{2}};\,\,k{{a}_{3}})\)

• \(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}\,\,\Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{align} & {{a}_{1}}={{b}_{1}} \\ & {{a}_{2}}={{b}_{2}} \\ & {{a}_{3}}={{b}_{3}} \\ \end{align} \right.\)

• \(\vec{0}=(0;0;0),\,\,\vec{i}=(1;0;0),\,\,\vec{j}=(0;1;0),\,\,\vec{k}=(0;0;1)\)

• \(\overrightarrow{a}\) cùng phương \(\overrightarrow{b}\,(\vec{b}\ne \vec{0})\,\) ⇔ \(\,\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{b}\,\,\,(k\in \mathbb{R})\)

• \(\vec{a}.\vec{b}={{a}_{1}}.{{b}_{1}}+{{a}_{2}}.{{b}_{2}}+{{a}_{3}}.{{b}_{3}}\)

• \(\overrightarrow{a}\bot \overrightarrow{b}\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,{{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}+{{a}_{3}}{{b}_{3}}=0\)

• \({{\vec{a}}^{2}}=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}\)

• \(\left| {\vec{a}} \right|=\,\,\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{2}^{2}}\)

• \(\cos (\vec{a},\,\,\vec{b})\,\,=\,\frac{\vec{a}.\vec{b}}{\left| {\vec{a}} \right|.\left| {\vec{b}} \right|}\,\,=\,\,\frac{{{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}+{{a}_{3}}{{b}_{3}}}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}.\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}}\)  (với \(\vec{a},\,\,\vec{b}\ne \vec{0}\))

a) Định nghĩa: \(M(x;\,\,y;\,\,z)\Leftrightarrow \overrightarrow{OM}\,\,=\,\,x.\overrightarrow{i}+y.\overrightarrow{j}+\,z.\overrightarrow{k}\)  (x : hoành độ,  y : tung độ, z : cao độ)

Chú ý: 

• \(M\in \left( Oxy \right)\Leftrightarrow z=0;\,M\in \left( Oyz \right)\Leftrightarrow x=0;\,M\in \left( Oxz \right)\Leftrightarrow y=0\)

• \(M\in Ox\Leftrightarrow y=z=0;\,M\in Oy\Leftrightarrow x=z=0;\,M\in Oz\Leftrightarrow x=y=0\).

b) Tính chất: Cho \(A({{x}_{A}};\,\,{{y}_{A}};\,\,{{z}_{A}}),\,\,\,B({{x}_{B}};\,\,{{y}_{B}};\,\,{{z}_{B}})\)

• \(\overrightarrow{AB}=({{x}_{B}}-{{x}_{A}};{{y}_{B}}-{{y}_{A}};{{z}_{B}}-{{z}_{A}})\)       

• \(AB\,\,=\,\,\sqrt{{{({{x}_{B}}-{{x}_{A}})}^{2}}+{{({{y}_{B}}-{{y}_{A}})}^{2}}+{{({{z}_{B}}-{{z}_{A}})}^{2}}}\)

• Toạ độ trung điểm \(M\) của đoạn thẳng \(AB\): \(M\left( \frac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}}{2};\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}}{2};\frac{{{z}_{A}}+{{z}_{B}}}{2} \right)\)

• Toạ độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\): 

\(G\left( \frac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}+{{x}_{C}}}{3};\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}+{{y}_{C}}}{3};\frac{{{z}_{A}}+{{z}_{B}}+{{z}_{C}}}{3} \right)\)

• Toạ độ trọng tâm \(G\) của tứ diện \(ABCD\):

\(G\left( \frac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}+{{x}_{C}}+{{x}_{D}}}{4};\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}+{{y}_{C}}+{{y}_{D}}}{4};\frac{{{z}_{A}}+{{z}_{B}}+{{z}_{C}}+{{z}_{C}}}{4} \right)\)

a) Định nghĩa: Trong không gian \(Oxyz\)cho hai vectơ \(\overrightarrow{a}=({{a}_{1}};{{a}_{2}};{{a}_{3}})\), \(\overrightarrow{b}=({{b}_{1}};\,{{b}_{2}};\,{{b}_{3}})\). Tích có hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b},\) kí hiệu là \(\left[ \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right]\), được xác định bởi

\(\,\left[ {\vec a,\vec b} \right]\,\, = \,\,\left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_2}}&{{a_3}}\\ {{b_2}}&{{b_3}} \end{array}} \right|\,\,;\,\,\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_3}}&{{a_1}}\\ {{b_3}}&{{b_1}} \end{array}} \right|\,\,;\,\,\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{a_2}}\\ {{b_1}}&{{b_2}} \end{array}} \right|} \right) = \left( {{a_2}{b_3} - {a_3}{b_2};{a_3}{b_1} - {a_1}{b_3};{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}} \right)\)

Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số.

b) Tính chất:

• \([\overrightarrow{a},\,\,\overrightarrow{b}]\,\,\bot \,\,\overrightarrow{a};\,\,[\overrightarrow{a},\,\,\overrightarrow{b}]\,\,\bot \,\,\overrightarrow{b}\)

• \(\left[ \overrightarrow{a},\,\,\overrightarrow{b}\, \right]=-\left[ \overrightarrow{b},\overrightarrow{a} \right]\)                             

• \(\left[ \vec{i},\vec{j} \right]=\vec{k};\,\,\,\left[ \vec{j},\vec{k} \right]=\vec{i};\,\,\left[ \vec{k},\vec{i} \right]=\vec{j}\)  

• \(\left| [\overrightarrow{a},\,\overrightarrow{b}] \right|\,\,=\,\left| {\vec{a}} \right|.\left| {\vec{b}} \right|.\sin \left( \vec{a},\vec{b} \right)\)(Chương trình nâng cao)                      

• \(\overrightarrow{a},\,\,\overrightarrow{b}\) cùng phương \(\Leftrightarrow \,\,\,[\overrightarrow{a},\,\,\overrightarrow{b}]\,\,=\,\,\overrightarrow{0}\) (chứng minh 3 điểm thẳng hàng)

c) Ứng dụng của tích có hướng: (Chương trình nâng cao)

• Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ:

\(\overrightarrow{a},\,\,\overrightarrow{b}\) và \(\overrightarrow{c}\) đồng phẳng ⇔ ([\overrightarrow{a},\,\,\overrightarrow{b}]\,.\overrightarrow{c}=0\)

• Diện tích hình bình hành \(ABCD\): 

\({{S}_{ABCD}}=\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD} \right] \right|\)

• Diện tích tam giác \(ABC\):                                   

\({{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{AB},\,\,\overrightarrow{AC} \right] \right|\)

• Thể tích khối hộp \(ABCD{A}'{B}'{C}'{D}'\):      

\({{V}_{ABCD.A'B'C'D'}}\,\,=\,\,\left| [\overrightarrow{AB},\,\,\overrightarrow{AD}].\overrightarrow{A{A}'} \right|\)           

• Thể tích tứ diện \(ABCD\):                         

\({{V}_{ABCD}}=\frac{1}{6}\left| [\overrightarrow{AB},\,\,\overrightarrow{AC}]\,.\overrightarrow{AD} \right|\)

Chú ý:

– Tích vô hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, tính góc giữa hai đường thẳng.

– Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh các vectơ cùng phương.

\(\vec a \bot \vec b \Leftrightarrow \vec a.\vec b = 0\)

\(\vec a\,\) và \(\vec b\,\) cùng phương \( \Leftrightarrow \left[ {\vec a,\vec b} \right] = \vec 0\)

\(\vec a,\,\,\vec b,\,\,\vec c\,\) đồng phẳng \( \Leftrightarrow \left[ {\vec a,\vec b} \right].\vec c = 0\)

(Casio Fx570 Es Plus, Casio Fx570 Vn Plus, Vinacal 570 Es Plus )

Trong không gian \(Oxyz\) cho bốn điểm \(A\left( {{x}_{A}};{{y}_{A}};{{z}_{A}} \right),\,B\left( {{x}_{B}};{{y}_{B}};{{z}_{B}} \right),\,C\left( {{x}_{C}};{{y}_{C}};{{z}_{C}} \right),\,\,D\left( {{x}_{D}};{{y}_{D}};{{z}_{D}} \right)\)

w 8 1 1 (nhập vectơ \(\overrightarrow{AB}\))

q 5 2 2 2 (nhập vectơ \(\overrightarrow{AC}\))

q 5 2 3 1 (nhập vectơ \(\overrightarrow{AD}\))

C q53q54= (tính \(\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]\))

C q53q54q57q55= (tính \([\overrightarrow{AB},\,\,\overrightarrow{AC}]\,.\overrightarrow{AD}\))

Cqc(Abs) q53q54q57q55= (tính \(\left| [\overrightarrow{AB},\,\,\overrightarrow{AC}]\,.\overrightarrow{AD} \right|\))

C1a6qc(Abs) q53q54q57q55=

(tính \({{V}_{ABCD}}=\frac{1}{6}\left| [\overrightarrow{AB},\,\,\overrightarrow{AC}]\,.\overrightarrow{AD} \right|\)

Câu 1. Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\), với \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) khác \(\overrightarrow{0}\), khi đó \(\cos \varphi \) bằng

A. \(\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a} \right|.\left| \overrightarrow{b} \right|}\).                        

B. \(\frac{\left| \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} \right|}{\left| \overrightarrow{a} \right|.\left| \overrightarrow{b} \right|}\).

C. \(\frac{-\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a} \right|.\left| \overrightarrow{b} \right|}\).                   

D. \(\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a} \right|.\left| \overrightarrow{b} \right|}\).     

Câu 2. Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{a}=\left( 1;2;0 \right)\) và \(\overrightarrow{b}=\left( 2;0;-1 \right)\), khi đó \(\cos \varphi \) bằng

A. 0.                               

B. \(\frac{2}{5}\).         

C. \(\frac{2}{\sqrt{5}}\).         

D. \(-\frac{2}{5}\).     

Câu 3. Cho vectơ  \(\overrightarrow{a}=\left( 1;3;4 \right)\), tìm vectơ \(\overrightarrow{b}\) cùng phương với vectơ \(\overrightarrow{a}\)

 A. \(\overrightarrow{b}=\left( -2;-6;-8 \right).\)  

B. \(\overrightarrow{b}=\left( -2;-6;8 \right).\)         

C. \(\overrightarrow{b}=\left( -2;6;8 \right).\)            

D. \(\overrightarrow{b}=\left( 2;-6;-8 \right).\)

Câu 4. Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{a}=\left( -2;2;5 \right),\,\overrightarrow{b}=\left( 0;1;2 \right)\) trong không gian bằng

A. 10.                             

B. 13.                            

C. 12.                           

D. 14.

Câu 5. Trong không gian cho hai điểm \(A\left( -1;2;3 \right),\,B\left( 0;1;1 \right)\), độ dài đoạn \(AB\) bằng

A. \(\sqrt{6}.\)               

B. \(\sqrt{8}.\)               

C. \(\sqrt{10}.\)            

D. \(\sqrt{12}.\)

Câu 6. Trong không gian \(Oxyz\), gọi \(\overrightarrow{i},\,\overrightarrow{j},\,\overrightarrow{k}\) là các vectơ đơn vị, khi đó với \(M\left( x;y;z \right)\) thì \(\overrightarrow{OM}\) bằng

A. \(-x\overrightarrow{i}-y\overrightarrow{j}-\overrightarrow{z}k.\)

B. \(x\overrightarrow{i}-y\overrightarrow{j}-\overrightarrow{z}k.\)

C. \(x\overrightarrow{j}+y\overrightarrow{i}+\overrightarrow{z}k.\)           

D. \(x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+\overrightarrow{z}k.\)

Câu 7. Tích có hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{a}=({{a}_{1}};{{a}_{2}};{{a}_{3}})\),\(\overrightarrow{b}=({{b}_{1}};\,{{b}_{2}};\,{{b}_{3}})\)là một vectơ, kí hiệu \(\,\left[ \vec{a},\vec{b} \right]\,\), được xác định bằng tọa độ

A. \(\,\,\left( {{a}_{2}}{{b}_{3}}-{{a}_{3}}{{b}_{2}};{{a}_{3}}{{b}_{1}}-{{a}_{1}}{{b}_{3}};{{a}_{1}}{{b}_{2}}-{{a}_{2}}{{b}_{1}} \right).\)  

B. \(\,\,\left( {{a}_{2}}{{b}_{3}}+{{a}_{3}}{{b}_{2}};{{a}_{3}}{{b}_{1}}+{{a}_{1}}{{b}_{3}};{{a}_{1}}{{b}_{2}}+{{a}_{2}}{{b}_{1}} \right).\)

C. \(\,\,\left( {{a}_{2}}{{b}_{3}}-{{a}_{3}}{{b}_{2}};{{a}_{3}}{{b}_{1}}+{{a}_{1}}{{b}_{3}};{{a}_{1}}{{b}_{2}}-{{a}_{2}}{{b}_{1}} \right).\)                    

D. \(\,\,\left( {{a}_{2}}{{b}_{2}}-{{a}_{3}}{{b}_{3}};{{a}_{3}}{{b}_{3}}-{{a}_{1}}{{b}_{1}};{{a}_{1}}{{b}_{1}}-{{a}_{2}}{{b}_{2}} \right).\)

Câu 8. Cho các vectơ \(\overrightarrow{u}=\left( {{u}_{1}};{{u}_{2}};{{u}_{3}} \right)\) và \(\overrightarrow{v}=\left( {{v}_{1}};{{v}_{2}};{{v}_{3}} \right)\), \(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0\) khi và chỉ khi

A. \({{u}_{1}}{{v}_{1}}+{{u}_{2}}{{v}_{2}}+{{u}_{3}}{{v}_{3}}=1\).                 

B. \({{u}_{1}}+{{v}_{1}}+{{u}_{2}}+{{v}_{2}}+{{u}_{3}}+{{v}_{3}}=0\).

C. \({{u}_{1}}{{v}_{1}}+{{u}_{2}}{{v}_{2}}+{{u}_{3}}{{v}_{3}}=0\). 

D. \({{u}_{1}}{{v}_{2}}+{{u}_{2}}{{v}_{3}}+{{u}_{3}}{{v}_{1}}=-1\).                                                

Câu 9. Cho vectơ \(\overrightarrow{a}=\left( 1;-1;2 \right)\), độ dài vectơ \(\overrightarrow{a}\) là

A. \(\sqrt{6}\).               

B. 2.                              

C. \(-\sqrt{6}\).            

D. 4.               

Câu 10. Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(M\) nằm trên trục \(Ox\)sao cho \(M\) không trùng với gốc tọa độ, khi đó tọa độ điểm \(M\) có dạng

A. \(M\left( a;0;0 \right),a\ne 0\).                       

B. \(M\left( 0;b;0 \right),b\ne 0\).      

C. \(M\left( 0;0;c \right),c\ne 0\).         

D. \(M\left( a;1;1 \right),a\ne 0\) .

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Chuyên đề tọa độ trong không gian Oxyz. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Chuyên đề tính khoảng cách trong mặt phẳng tọa độ Oxyz

• Chuyên đề tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng Toán 12

Chúc các em học tốt!

Chuyên đề tìm tọa độ tâm và bán kính mặt cầu Toán 12