Phương pháp tìm vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu trong không gian Oxyz

Cho mặt cầu $(S)$ có tâm $I$, bán kính $R$ và đường thẳng $\mathrm{\Delta }$.

Để xét vị trí tương đối giữa $\mathrm{\Delta }$ và $(S)$ ta tính $d\left(I,\mathrm{\Delta }\right)$ rồi so sánh với bán kính $R$.

$\star$ $d\left(I,\mathrm{\Delta }\right)>R$: $\mathrm{\Delta }$ không cắt $(S)$

$\star$ $d\left(I,\mathrm{\Delta }\right)=R$: $\mathrm{\Delta }$ tiếp xúc với $(S)$.

Tiếp điểm J  là hình chiếu vuông góc của tâm I lên đường thẳng $\mathrm{\Delta }$.

$\star$ $d\left(I,\mathrm{\Delta }\right)<R$: $\mathrm{\Delta }$ cắt $(S)$ tại hai điểm phân biệt A, B và $R=\sqrt{d^2+{\displaystyle \frac{A{B}^2}{4}}}$

Ví dụ: Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\mathrm{\Delta }:\{\begin{array}{c}x=2+t\\ y=1+mt\\ z=-2t\end{array}$ và mặt cầu. $(S):{(x-1)}^2+{(y+3)}^2+{(z-2)}^2=1$Giá trị của $m$  để đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ không cắt mặt cầu $(S)$ là:

A. $m>\frac{15}{2}$.hoặc $m<\frac{5}{2}$                        

B. $m=\frac{15}{2}$.hoặc $m=\frac{5}{2}$      

C. m < 1

D.$m\in \mathbb{R}$.

Lời giải.

Từ phương trình đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ và mặt cầu $(S)$ta có

${(2+t-1)}^2+{(1+mt+3)}^2+{(-2t-2)}^2=1$

$\begin{array}{rl}& \iff {(1+t)}^2+{(4+mt)}^2+{(-2t-2)}^2=1\\ & \iff (m^2+5)t^2+2(5+4m)t+20=0\text{ (1)}\end{array}$

Để $\mathrm{\Delta }$ không cắt mặt cầu $(S)$ thì (1) vô nghiệm, hay (1) có ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }<0\iff [\begin{array}{c}m>\frac{15}{2}\\ m<\frac{5}{2}\end{array}$.

Câu 1.Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):{(x-1)}^2+{(y+3)}^2+{(z-2)}^2=1$ và đường thẳng $\mathrm{\Delta }:\{\begin{array}{c}x=2+t\\ y=1+mt\\ z=-2t\end{array}$. Giá trị của $m$  để đường thẳng $\mathrm{\Delta }$  tiếp xúc mặt cầu $(S)$ là:

A. $m>\frac{15}{2}$ hoặc $m<\frac{5}{2}$                                        

B. $m=\frac{15}{2}$ hoặc $m=\frac{5}{2}$.

C. 1 < m < 4

D.$m\in \mathbb{R}$.

Lời giải.

Từ phương trình đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ và mặt cầu $(S)$ta có

${(2+t-1)}^2+{(1+mt+3)}^2+{(-2t-2)}^2=1$

$\begin{array}{rl}& \iff {(1+t)}^2+{(4+mt)}^2+{(-2t-2)}^2=1\\ & \iff (m^2+5)t^2+2(5+4m)t+20=0\text{ (1)}\end{array}$

Để $\mathrm{\Delta }$ tiếp xúc mặt cầu $(S)$ thì (1) có nghiệm kép, hay (1) có $\{\begin{array}{l}a\ne 0\\ {\mathrm{\Delta }}^{\prime }=0\end{array}\iff [\begin{array}{c}m=\frac{15}{2}\\ m=\frac{5}{2}\end{array}$.

Câu 2.Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu ${(x-1)}^2+{(y+3)}^2+{(z-2)}^2=1$và đường thẳng $\mathrm{\Delta }\text{:}\{\begin{array}{c}x=2+t\\ y=1+mt\\ z=-2t\end{array}$. Giá trị của $m$ để đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ cắt mặt cầu $(S)$ tại hai điểm phân biệt là:

A.$m\in \mathbb{R}$.

B. $m>\frac{15}{2}$.hoặc $m<\frac{5}{2}$      

C. $m=\frac{15}{2}$.hoặc $m=\frac{5}{2}$

D. m = 6

Lời giải.

Từ phương trình đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ và mặt cầu $(S)$ta có

${(2+t-1)}^2+{(1+mt+3)}^2+{(-2t-2)}^2=1$

$\begin{array}{rl}& \iff {(1+t)}^2+{(4+mt)}^2+{(-2t-2)}^2=1\\ & \iff (m^2+5)t^2+2(5+4m)t+20=0\text{ (1)}\end{array}$

Để $\mathrm{\Delta }$ cắt mặt cầu $(S)$ tại hai điểm phân biệt thì (1) có hai nghiệm phân biệt, hay (1) có ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }>0$

\(\Leftrightarrow \frac{5}{2}

Câu 3. Trong không gian $Oxyz$, cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có điểm $A$ trùng với gốc của hệ trục tọa độ, $B(a;0;0)$, $D(0;a;0)$, $A^{\prime }(0;0;b)$ $(a>0,b>0)$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $C{C}^{\prime }$. Giá trị của tỉ số $\frac{a}{b}$ để hai mặt phẳng $(A^{\prime }BD)$ và $\left(MBD\right)$ vuông góc với nhau là:

A.$\frac{1}{3}$.            

B.$\frac{1}{2}$.          

C. $-1$.                       

D. 1.

Lời giải.

Ta có $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\Rightarrow C(a;a;0)\Rightarrow C^{\prime }(a;a;b)\Rightarrow M(a;a;\frac{b}{2})$

Cách 1.

Ta có $\overrightarrow{MB}=(0;-a;-\frac{b}{2})$; $\overrightarrow{BD}=(-a;a;0)$ và $\overrightarrow{A^{\prime }B}=(a;0;-b)$

Ta có $\overrightarrow{u}=[\overrightarrow{MB};\overrightarrow{BD}]=(\frac{ab}{2};\frac{ab}{2};-a^2)$ và $[\overrightarrow{BD};\overrightarrow{A^{\prime }B}]=(-a^2;-a^2;-a^2)$

Chọn $\overrightarrow{v}=(1;1;1)$ là VTPT của $\left(A^{\prime }BD\right)$

$\left(A^{\prime }BD\right)\mathrm{\perp }\left(MBD\right)\iff \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0\iff \frac{ab}{2}+\frac{ab}{2}-a^2=0\iff a=b\Rightarrow \frac{a}{b}=1$

Cách 2.

$AB=AD=BC=CD=a\Rightarrow \{\begin{array}{l}{A}^{\prime }B=A^{\prime }D\\ MB=MD\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{A}^{\prime }X\mathrm{\perp }BD\\ MX\mathrm{\perp }BD\end{array}$ với $X$ là trung điểm $BD$

$\Rightarrow \left[\widehat{\left(A^{\prime }BD\right);\left(MBD\right)}\right]=\left(\widehat{A^{\prime }X;MX}\right)$

$X(\frac{a}{2};\frac{a}{2};0)$ là trung điểm $BD$

$\overrightarrow{A^{\prime }X}=(\frac{a}{2};\frac{a}{2};-b)$

$\overrightarrow{MX}=(-\frac{a}{2};-\frac{a}{2};-\frac{b}{2})$

$\left(A^{\prime }BD\right)\mathrm{\perp }\left(MBD\right)\Rightarrow A^{\prime }X\mathrm{\perp }MX$

$\Rightarrow \overrightarrow{A^{\prime }X}.\overrightarrow{MX}=0$

$\Rightarrow -{\left(\frac{a}{2}\right)}^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2+\frac{b^2}{2}=0$

$\Rightarrow \frac{a}{b}=1$

Câu 4. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x+2y+2z+4=0$ và mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-2x-2y-2z-1=0.$ Giá trị của điểm $M$ trên $\left(S\right)$ sao cho $d(M,\left(P\right))$ đạt GTNN là:

A. $(1;1;3)$. 

B. $(\frac{5}{3};\frac{7}{3};\frac{7}{3})$.    

C. $(\frac{1}{3};-\frac{1}{3};-\frac{1}{3})$.

D. $(1;-2;1)$.

Lời giải.

Ta có: $d(M,(P))=3>R=2\Rightarrow (P)\cap (S)=\varnothing .$

Đường thẳng d đi qua I và vuông góc với (P) có pt: $\{\begin{array}{c}x=1+t\\ y=1+2t\\ z=1+2t\end{array},t\in R.$

Tọa độ giao điểm của d và (S) là: $A(\frac{5}{3};\frac{7}{3};\frac{7}{3})$, $B(\frac{1}{3};-\frac{1}{3};-\frac{1}{3})$

Ta có: $d(A,(P))=5\ge d(B,(P))=1.$ $\Rightarrow d(A,(P))\ge d(M,(P))\ge d(B,(P)).$

Vậy: $\Rightarrow d{(M,(P))}_{min}=1\iff M\equiv B.$

Câu 5. Trong không gian , cho mặt phẳng $2x-2y-z+9=0$ và mặt cầu $(S):{(x-3)}^2+{(y+2)}^2+{(z-1)}^2=100$. Tọa độ điểm $M$ nằm trên mặt cầu $(S)$ sao cho khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt phẳng $(P)$ đạt giá trị nhỏ nhất là:

A. $M(-\frac{11}{3};\frac{14}{3};\frac{13}{3})$.                          

B. $M(\frac{29}{3};-\frac{26}{3};-\frac{7}{3})$.

C. $M(-\frac{29}{3};\frac{26}{3};-\frac{7}{3})$.                           

D. $M(\frac{11}{3};\frac{14}{3};-\frac{13}{3})$.

Lời giải.

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(3;-2;1)$.

Khoảng cách từ $I$ đến mặt phẳng $(P)$ : \(d(I;(P))=6

Khoảng cách từ $M$ thuộc $(S)$ đến $(P)$ lớn nhất $\Rightarrow$ $M\in (d)$ đi qua $I$ và vuông góc với $(P)$

Phương trình $(d):\{\begin{array}{l}x=3+2t\\ y=-2-2t\\ z=1-t\end{array}$.

Ta có : $M\in (d)\Rightarrow M(3+2t;-2-2t;1-t)$

Mà : $M\in (S)$ $\Rightarrow [\begin{array}{l}t=\frac{10}{3}\Rightarrow M_1\left(\frac{29}{3};-\frac{26}{3};-\frac{7}{3}\right)\\ t=-\frac{10}{3}\Rightarrow M_2\left(-\frac{11}{3};\frac{14}{3};\frac{13}{3}\right)\end{array}$

Thử lại ta thấy : $d(M_1,(P))>d(M_2,(P))$ nên $M(-\frac{11}{3};\frac{14}{3};\frac{13}{3})$ thỏa yêu cầu bài toán

Câu 6. Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $I(1;0;0)$và đường thẳng $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+2}{1}$. Phương trình mặt cầu $\left(S\right)$ có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB đều là:

A. ${(x+1)}^2+y^2+z^2=\frac{20}{3}$.           

B. ${(x-1)}^2+y^2+z^2=\frac{20}{3}$.                          

C. ${(x-1)}^2+y^2+z^2=\frac{16}{4}$.               

D. ${(x-1)}^2+y^2+z^2=\frac{5}{3}$.

Lời giải.

Đường thẳng $\left(\mathrm{\Delta }\right)$đi qua $M=(1;1;-2)$ và có VTCP $\overrightarrow{u}=(1;2;1)$

Ta có $\overrightarrow{MI}=(0;-1;2)$ và $[\overrightarrow{u},\overrightarrow{MI}]=(5;-2;-1)$

Gọi H là hình chiếu của I trên (d). Có: $IH=d(I,AB)=\frac{\left|[\overrightarrow{u},\overrightarrow{MI}]\right|}{\left|\overrightarrow{u}\right|}=\sqrt{5}$

Xét tam giác IAB, có $IH=R.\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow R=\frac{2IH}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{15}}{3}$

Vậy phương trình mặt cầu là: ${(x+1)}^2+y^2+z^2=\frac{20}{3}.$

Câu 7. Trong không gian $Oxyz$, cho $d:\{\begin{array}{c}\begin{array}{rl}& x=2\\ & y=t\end{array}\\ z=1-t\end{array}$ và mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-2x-4y+2z+5=0.$ Tọa độ điểm M trên $\left(S\right)$ sao cho $d(M,d)$ đạt GTLN là:

A. $(1;2;-1)$.

B. $(2;2;-1)$.                    

C. $(0;2;-1)$.  .

D. $(-3;-2;1)$.

Lời giải.

Ta có: $d(I,d)=1=R$ suy ra $(S)$ tiếp xúc với $d$ và tiếp điểm là $H(2;2;-1)$

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên d ÞH(2; 2; -1).

Đường thẳng $IH$ có pt: $\{\begin{array}{c}x=1+t\\ y=2\\ z=-1\end{array},t\in \mathbb{R}.$

Tọa độ giao điểm của $IH$ và (S) là: $A(0;2;-1),B\equiv H(2;2;-1).$

Ta có: $d(A,(d))=AH=2\ge d(B,(P))=BH=0.$

 $\Rightarrow d(A,(d))=2\ge d(M,(d))\ge d(B,(d))=0.$

Vậy $M(0;2;-1)$.

Câu 8. Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(-3;3;-3)$thuộc mặt phẳng $\left(\alpha \right):2x2y+z+15=0$ và mặt cầu $\left(S\right):{(x-2)}^2+{(y-3)}^2+{(z-5)}^2=100$. Đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ qua A, nằm trên mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ cắt $(S)$ tại $A$, $B$. Để độ dài $AB$ lớn nhất thì phương trình đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ là:

A. $\frac{x+3}{1}=\frac{y-3}{4}=\frac{z+3}{6}$.                       

B.   $\frac{x+3}{16}=\frac{y-3}{11}=\frac{z+3}{-10}$.                     

C. $\{\begin{array}{rl}& x=-3+5t\\ & y=3\\ & z=-3+8t\end{array}$    

D. $\frac{x+3}{1}=\frac{y-3}{1}=\frac{z+3}{3}$.

Lời giải.

Mặt cầu $\left(S\right)$ có tâm $I(2;3;5)$, bán kính $R=10$. Do \(d(I,(\alpha ))

Khi đó $AB=\sqrt{R^2-{(d(I,\mathrm{\Delta }))}^2}$.

Do đó, $AB$lớn nhất thì $d(I,\left(\mathrm{\Delta }\right))$ nhỏ nhất nên $\mathrm{\Delta }$ qua $H$, với $H$ là hình chiếu vuông góc của I lên $\left(\alpha \right)$.

Phương trình $BH:\{\begin{array}{rl}& \text{x}=2+2\text{t}\\ & \text{y}=3-2t\\ & \text{z}=5+\text{t}\end{array}$

$H\in (\alpha )\Rightarrow 2(2+2t)-2\left(32t\right)+5+t+15=0$$\iff \text{t}=-2\Rightarrow H(-2;7;3)$.

Do vậy $\overrightarrow{\text{AH}}=(1;4;6)$ là véc tơ chỉ phương của $\mathrm{\Delta }$. Phương trình của $\frac{x+3}{1}=\frac{y-3}{4}=\frac{z+3}{6}$

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Phương pháp tìm vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu trong không gian Oxyz. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Các dạng phương trình mặt cầu toán 12

• Lý thuyết và bài tập về sự tương giao và sự tiếp xúc của mặt cầu

Chúc các em học tốt!