Phương pháp tìm khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng song song với nó

Cho đường thẳng d // (P); để tính khoảng cách giữa d và (P) ta thực hiện các bước:

   + Bước 1: Chọn một điểm A trên d, sao cho khoảng cách từ A đến (P) có thể được xác định dễ nhất.

   + Bước 2: Kết luận: d(d; (P)) = d(A; (P)).

Ví dụ: Cho lăng trụ tam giác $ABC.A_1{B}_1{C}_1$ có tất cả các cạnh bằng a, góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 300. Hình chiếu H của điểm A lên mặt phẳng $\left(A_1{B}_1{C}_1\right)$ thuộc đường thẳng B1C1. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA1 và BC1 theo a là: 

A. $\frac{a\sqrt{3}}{2}$                                 

B. $\frac{a\sqrt{3}}{4}$          

C. $\frac{2a}{\sqrt{3}}$      

D. $\frac{4a}{\sqrt{3}}$

Hướng dẫn giải:

Do $AH\mathrm{\perp }\left(A_1{B}_1{C}_1\right)$ nên góc $A{A}_{1}H$ là góc giữa AA1 và $\left(A_1{B}_1{C}_1\right)$  theo giả thiết thì góc AA1H bằng 300.

Xét tam giác vuông $AH{A}_1$ có $A{A}_1=a,A{A}_{1}H={30}^0\Rightarrow AH=\frac{a}{2}$

Xét $AH{A}_1$ có $A{A}_1=a$ góc $A{A}_{1}H={30}^0\Rightarrow A_{1}H=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Do A1B1C1 đều cạnh a, H thuộc B1C1 và $A_{1}H=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Suy ra A1H vuông góc B1C1, $AH\mathrm{\perp }{B}_1{C}_1$ nên $B_1{C}_1\mathrm{\perp }\left(A{A}_{1}H\right)$

HK chính là khoảng cách giữa AA1 và B1C1 . Ta có$A{A}_1.HK=A_{1}H.AH\Rightarrow HK=\frac{A_{1}H.AH}{A{A}_1}=\frac{a\sqrt{3}}{4}$

Chọn đáp án A.

Câu 1: Lăng trụ đứng $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ đáy tam giác vuông cân tại B, cạnh bên $C{C}^{\prime }=a\sqrt{3}$. Biết thể tích khối trụ bằng $2\sqrt{3}{a}^3$. Khoảng cách hai đường thẳng AB và CC’ bằng

A. $a\sqrt{2}$             

B. 2a

C. $\sqrt{3}a$             

D. $2\sqrt{3}a$

Hướng dẫn giải:

Ta có $BC\mathrm{\perp }AB,BC\mathrm{\perp }C{C}^{\prime }$ nên $d(AB;C{C}^{\prime })=BC$

Vì $\mathrm{\Delta }ABC$ vuông cân ở B nên

$2\sqrt{3}{a}^3=V_{ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}=\frac{1}{2}AB.BC.C{C}^{\prime }=\frac{1}{2}B{C}^2.a\sqrt{3}$

$\Rightarrow B{C}^2=4a^2\Rightarrow BC=2a$

$\Rightarrow d(AB;C{C}^{\prime })=2a$

Chọn đáp án B.

Câu 2: Cho lăng trụ đứng $ABC.ABC$ có đáy ABC là tam giác vuông tại B với $AB=4a,BC=3\text{a},AC=5\text{a}$, cạnh bên $B{B}^{\prime }=9\text{a}$. Gọi M là điểm thuộc BB’ sao cho BB' = 3B'M. Khoảng cách giữa B’C và AM là

A. $\frac{12\text{a}}{7}$ 

B. $\frac{6\text{a}}{7}$           

C. $\frac{10\text{a}}{7}$     

D. $\frac{a}{7}$

Hướng dẫn giải:

Trong mặt phẳng BCB’, vẽ $MN//BC$ ( N thuộc BC)

$=>BC//\left(AMN\right)$ $=>d(BC,AM)=d(BC,\left(AMN\right))$

$=d(B,\left(AMN\right))=\frac{1}{2}d(B,\left(AMN\right))$=$\frac{1}{2}h$

Để đơn giản ta coi a=1

$\frac{1}{h^2}=\frac{1}{A{B}^2}+\frac{1}{B{N}^2}=\frac{1}{4^2}+(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{6^2})=>h=\sqrt{\frac{1}{\frac{1}{4^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{6^2}}}=\frac{12}{7}$$=>d(BC,AM)=\frac{6}{7}a$

Chọn đáp án B.

Câu 3: Cho hình chóp S.ABC có AS, AB, AC đôi một vuông góc với nhau, $AB=a,AC=a\sqrt{2}$. Tính khoảng cách d từ đường thẳng SA đến BC.

A. $d=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ 

B. $d=a$                      

C. $d=a\sqrt{2}$        

D. $d=\frac{a\sqrt{6}}{3}$

Hướng dẫn giải:

Trong tam giác ABC kẻ $AH\mathrm{\perp }BC,H\in BC$

Dễ dàng chứng minh được $AH\mathrm{\perp }SA$

Vậy $d_{(SA,BC)}=AH=\sqrt{\frac{A{B}^2.A{C}^2}{A{B}^2+A{C}^2}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}$

Chọn đáp án D.

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 45⁰. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB, AC.

A. $\frac{a}{\sqrt{5}}$

B. $\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$

C. $\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$    

D. $\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{7}}$

Hướng dẫn giải:

(SBC) chứa SC và song song với AD. Đường thẳng qua O vuông góc với BC cắt BC, AD lần lượt tại E, F. Vì O là trung điểm của È nên ta có:

d(AD,SC) = d(F, (SBC)) = 2d(O, (SBC)). Kẻ OH vuông góc với SE tại H  (1)

$BC\mathrm{\perp }EF,BC\mathrm{\perp }SO\Rightarrow BC\mathrm{\perp }\left(SEF\right)\Rightarrow BC\mathrm{\perp }OH\begin{array}{cc}& \left(2\right)\end{array}$

Từ (1) (2) và BC cắt SE $\Rightarrow OH\mathrm{\perp }(SBC)$. Tam giác SOE vuông tại O nên ta có:

$\frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{O{S}^2}+\frac{1}{O{E}^2}=\frac{1}{O{S}^2}+\frac{1}{O{B}^2}+\frac{1}{O{C}^2}=\frac{20}{3a^2}$

$\Rightarrow OH=\frac{a\sqrt{15}}{10}\Rightarrow d(AD;SC)=\frac{a\sqrt{15}}{5}.$ Gọi M sao cho ABMC là hình bình hành

Vẽ AH vuông góc với BM tại H, AK vuông góc SH tại K. Suy ra, AK vuông góc (SBM)

Ta có: $\frac{1}{A{K}^2}=\frac{1}{S{A}^2}+\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{2a^2}+\frac{4}{2a^2}=\frac{5}{2a^2}$

Vì AC song song (SMB) suy ra: $d(AC,SB)=d(A;\left(SBM\right))=AK=\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$

Chọn đáp án B.

Câu 5: Cho lăng trụ tam giác $ABC.A_1{B}_1{C}_1$ có tất cả các cạnh bằng a, góc tại bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng ${30}^0$. Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng $\left(A_1{B}_1{C}_1\right)$thuộc đường thẳng $B_1{C}_1$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $A{A}_1$ và $B_1{C}_1$ theo a bằng:

A. $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ 

B. $\frac{a\sqrt{3}}{6}$           

C. $\frac{a\sqrt{3}}{4}$       

D. $a\sqrt{3}$

Hướng dẫn giải:

Xét tam giác vuông $AH{A}_1$ có $A{A}_1=a,\widehat{A{A}_{1}H}={30}^0\Rightarrow A_{1}H=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Do tam giác $A_1{B}_{1}C$ là tam giác đều cạnh a, H thuộc $B_1{C}_1$ và $A_{1}H=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ nên $A_{1}H$ vuông góc với $B_1{C}_1$. Mặt khác $AH\mathrm{\perp }{B}_1{C}_1$nên $B_1{C}_1\mathrm{\perp }\left(A{A}_{1}H\right)$.

Kẻ đường cao HK của tam giác $A{A}_{1}H$ thì HK chính là khoảng cách giữa $A{A}_1$và $B_1{C}_1$

Ta có $A{A}_1.HK=A_{1}H.AH\Rightarrow HK=\frac{A_{1}H.AH}{A{A}_1}=\frac{a\sqrt{3}}{4}$

Chọn đáp án C.

Câu 6: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh $a$ . Hình chiếu vuông góc của điểm A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC. Biết thể tích của khối lăng trụ là $\frac{a^3\sqrt{3}}{4}$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA’ và BC.

A. $\frac{3a}{2}$      

B. $\frac{4a}{3}$       

C. $\frac{3a}{4}$       

D. $\frac{2a}{3}$

Hướng dẫn giải:

Gọi M là trung điểm của BC , dựng $MN\mathrm{\perp }A{A}^{\prime }$ tại N (1)

Gọi O là trọng tâm của $\mathrm{\Delta }ABC\Rightarrow$O là hình chiếu của A’ lên (ABC) $\Rightarrow A^{\prime }O\mathrm{\perp }BC$

Mặt khác $AM\mathrm{\perp }BC$ vì $\mathrm{\Delta }ABC$ đều

$\Rightarrow BC\mathrm{\perp }\left(A^{\prime }MA\right)\Rightarrow BC\mathrm{\perp }MN\left(2\right)$. Từ (1) và (2)

=> MN là đường vuông chung

Kẻ OP // MN $\Rightarrow \frac{OP}{MN}=\frac{AO}{AM}=\frac{2}{3}$$S_{\mathrm{\Delta }ABC}=\frac{\sqrt{3}{a}^2}{4}\Rightarrow O{A}^{\prime }=\frac{V_{ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}}{S_{\mathrm{\Delta }ABC}}=a$

Xét $\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }OA$ vuông tai O, đường cao OP: $\frac{1}{O{P}^2}=\frac{1}{O{A}^2}+\frac{1}{OA{{}^{\prime }}^2}\Rightarrow OP=\frac{a}{2}\Rightarrow MN=\frac{3a}{4}$

Chọn đáp án C.

Câu 7: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a, $\widehat{BAD}={120}^0$ và $A{C}^{\prime }=a\sqrt{5}$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB’ và BD là:

A. $\frac{10a}{\sqrt{17}}$  

B. $\frac{8a}{\sqrt{17}}$        

C. $\frac{6a}{\sqrt{17}}$         

D. $\frac{2a}{\sqrt{17}}$

Hướng dẫn giải:

Tứ giác AB’C’D  là hình bình hành $=>$ AB’//C’D$=>$ AB’//(BC’D)

$=>d(AB,BD)=d(AB,\left(BCD\right))=d(A,\left(BCD\right))=d(C,\left(BCD\right))$

Vì BD$\mathrm{\perp }$AC, BD$\mathrm{\perp }$CC’$=>$ BD$\mathrm{\perp }$(OCC’)$=>$ (BC’D)$\mathrm{\perp }$(OCC’)

Trong (OCC’),kẻ CH$\mathrm{\perp }$OC’(H thuộc OC’) => CH$\mathrm{\perp }$(BC’D)$=>d(C,\left(BCD\right))=CH$

$\mathrm{\Delta }OC{C}^{\prime }$ vuông tại C $=>\frac{1}{C{H}^2}=\frac{1}{C{O}^2}+\frac{1}{CC{{}^{\prime }}^2}=\frac{4}{a^2}+\frac{1}{4a^2}=>CH=\frac{2a}{\sqrt{17}}$

Vậy d(AB’,BD)=$\frac{2a}{\sqrt{17}}$

Chọn đáp án D.

Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, $SA=a$ và vuông góc với đáy. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC

A. $d_{(AB,SC)}=a\sqrt{2}$ 

B. $d_{(AB,SC)}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$        

C. $d_{(AB,SC)}=\frac{a\sqrt{2}}{3}$ 

D. $d_{(AB,SC)}=\frac{a\sqrt{2}}{4}$

Hướng dẫn giải:

Vì $AB//C\text{D}\subset \left(SC\text{D}\right)\Rightarrow AB//\left(SC\text{D}\right)$

Mà $SC\subset \left(SC\text{D}\right)\Rightarrow d_{(AB,SC)}=d_{(AB,\left(SC\text{D}\right))}=d_{(A,\left(SC\text{D}\right))}$

Gọi I là trung điểm của $S\text{D}\Rightarrow AI\mathrm{\perp }\text{SD}$, mà $\text{AI}\mathrm{\perp }\text{CD}$

Suy ra $AI\mathrm{\perp }\left(SC\text{D}\right)$, vậy $d_{(AB,SC)}=d_{(A,\left(SC\text{D}\right))}=AI=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Chọn đáp án B.

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Phương pháp tìm khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng song song với nó. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Chuyên đề tính khoảng cách trong mặt phẳng tọa độ Oxyz

• Chuyên đề ôn thi THPT QG về Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Chúc các em học tốt!