Phương pháp tìm sự tương giao của hàm số bậc bốn

NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC 4 TRÙNG PHƯƠNG: $a{x}^4+b{x}^2+c=0$ (1)

1. Nhẩm nghiệm:

- Nhẩm nghiệm: Giả sử $x=x_0$ là một nghiệm của phương trình.

- Khi đó ta phân tích: $f\left(x,m\right)=\left(x^2-x_0^2\right)g\left(x\right)=0\iff [\begin{array}{l}x=\pm x_0\\ g\left(x\right)=0\end{array}$

- Dựa vào giả thiết xử lý phương trình bậc 2 $g\left(x\right)=0$

2. Ẩn phụ - tam thức bậc 2:

- Đặt $t=x^2,\left(t\ge 0\right)$. Phương trình: $a{t}^2+bt+c=0$ (2).

- Để (1) có đúng 1 nghiệm thì (2) có nghiệm $t_1,t_2$ thỏa mãn: $[\begin{array}{c}{t}_1<0=t_2\\ t_1=t_2=0\end{array}$

- Để (1) có đúng 2 nghiệm thì (2) có nghiệm $t_1,t_2$ thỏa mãn: $[\begin{array}{c}{t}_1<0<t_2\\ 0<t_1=t_2\end{array}$

- Để (1) có đúng 3 nghiệm thì (2) có nghiệm $t_1,t_2$ thỏa mãn: $0=t_1<t_2$

- Để (1) có đúng 4 nghiệm thì (2) có nghiệm $t_1,t_2$ thỏa mãn: $0<t_1<t_2$

Ví dụ: Số giao điểm của đồ thị hàm số $y=2x^4-3x^2$ với trục hoành là

A. $1$. 

B. $2$. 

C. $3$. 

D. $4$.

Lời giải

Chọn C

Giao điểm của đồ thị hàm số $y=2x^4-3x^2$ với trục hoành thỏa mãn

$2x^4-3x^2=0\iff x^2\left(2x^2-3\right)=0\iff x=0;x=\pm \sqrt{\frac{3}{2}}$

Câu 1. Số giao điểm của đồ thị hàm số $y=-\frac{x^4}{2}+x^2+\frac{3}{2}$ với trục hoành là

A. $1$. 

B. $2$. 

C. $3$. 

D. $4$.

Lời giải:

Chọn B

$-\frac{x^4}{2}+x^2+\frac{3}{2}=0$$\iff x^4-2x^2-3=0$$\iff [\begin{array}{l}{x}^2=-1\\ x^2=3\end{array}$$\iff x=\pm \sqrt{3}$.

Vậy phương trình có $2$ nghiệm nên đồ thị cắt trục hoành tại $2$ điểm

Câu 2. Tìm giao điểm của đồ thị $(C):y=x^4+2x^2-3$ và trục hoành?

A. $A\left(0;-3\right),B\left(1;0\right)$ 

B. $A\left(-1;0\right),B\left(-1;1\right)$ 

C. $A\left(-1;1\right),B\left(1;0\right)$ 

D. $A\left(-1;0\right),B\left(1;0\right)$

Lời giải.

Chọn D

Phương trình hoành độ giao điểm: $x^4+2x^2-3=0\iff [\begin{array}{l}{x}^2=1\\ x^2=-3\end{array}\Rightarrow x=1\vee x=-1.$

Vậy có hai giao điểm: $A\left(-1;0\right),B\left(1;0\right).$

Câu 3. Hoành độ giao điểm của đồ thị $(C)$: $y=\frac{2x+1}{2x-1}$ và đường thẳng $d:y=x+2.$

A. $x=-\frac{3}{2};x=1$. 

B. $x=-\frac{1}{2};x=1$ 

C. $x=-2;x=\frac{1}{2}$. 

D. $x=\frac{3}{2};x=1$.

Lời giải

Chọn A

Phương trình hoành độ giao điểm: $\frac{2x+1}{2x-1}=x+2$ $\left(1\right)$

Điều kiện: $x\ne \frac{1}{2}$. Khi đó $(1)$$\iff 2x+1=\left(2x-1\right)\left(x+2\right)$$\iff 2x^2+x-3=0$

$\iff$$[\begin{array}{l}x=-\frac{3}{2}\\ x=1\end{array}$

Câu 4. Cho hàm số $y=x^4-4x^2-2$ có đồ thị $(C)$ và đồ thị $(P)$: $y=1-x^2$. Số giao điểm của $(P)$ và đồ thị $(C)$ là

A. $3$. 

B. $1$. 

C. $2$. 

D. $6$.

Lời giải:

Chọn C

Phương trình hoành độ giao điểm:

$x^4-4x^2-2=-x^2+1\iff x^4-3x^2-3=0\iff [\begin{array}{l}{x}^2=\frac{3+\sqrt{21}}{2}\iff x=\sqrt{\frac{3+\sqrt{21}}{2}}\vee x=-\sqrt{\frac{3+\sqrt{21}}{2}}\\ x^2=\frac{3-\sqrt{21}}{2}<0\end{array}$

Vậy số giao điểm là 2.

Câu 5. Tọa độ giao điểm giữa đồ thị $(C):y=\frac{2x-1}{x+2}$ và đường thẳng $d:y=x-2$ là

A. $A\left(-1;-3\right),B\left(3;1\right).$ 

B. $A\left(1;3\right),B\left(3;1\right).$

C. $A\left(1;-3\right),B\left(3;1\right).$ 

D. $A\left(-1;-3\right),B\left(3;1\right).$

Lời giải:

Chọn A

Lập phương trình hoành độ giao điểm $\frac{2x-1}{x+2}=x-2\iff [\begin{array}{l}x=3\Rightarrow y=1\\ x=-1\Rightarrow y=-3\end{array}$ .

Vậy chọn $A\left(-1;-3\right),B\left(3;1\right).$

Câu 6. Đường thẳng $y=m$ không cắt đồ thị hàm số $y=-2x^4+4x^2+2$ thì tất cả các giá trị tham số $m$ là

A. $m>4$. 

B. $m\ge 4$.

C. $m\le 2$. 

D. $2<m<4$.

Lời giải

Chọn A

Lập phương trình hoành độ giao điểm: $-2x^4+4x^2+2=m$

Ta có: $y^{\prime }=-8x^3+8x$ ; $y^{\prime }=0\iff x=0\vee x=1\vee x=-1.$

Bảng biến thiên:

Do đó, đường thẳng $y=m$ không cắt đồ thị hàm số khi $m>4$.

Vậy chọn $m>4$.

Câu 7. Tất cả giá trị của tham số $m$ để phương trình $x^4-2x^2-m+3=0$ có bốn nghiệm phân biệt là

A. $2<m<3.$ 

B. $2\le m\le 3.$ 

C. $m\ge 2.$ 

D. $m>2.$

Lời giải:

Chọn A

$x^4-2x^2+3=m$

Ta khảo sát hàm số $\left(C\right):y=x^4-2x^2+3$ ta tìm được $y_{CT}=2,y_{CD}=3$.

Yêu cầu bài toán $\iff 2<m<3$. Vậy chọn $2<m<3$.

Câu 8. Tất cả giá trị của tham số $m$ để phương trình $x^4-2x^2-m+3=0$ có hai nghiệm phân biệt là

A. $m>3.$ 

B. $m\ge 3.$

C. $m>3$hoặc $m=2.$ 

D. $m=3$ hoặc $m=2.$

Lời giải:

Chọn C

Phương pháp tự luận:

Tương tự ta khảo sát hàm số $\left(C\right):y=x^4-2x^2+3$ ta tìm được $y_{CT}=2,y_{CD}=3$.

Yêu cầu bài toán $\iff m=2\vee m>3$. Vậy chọn $m=2\vee m>3$.

Phương pháp trắc nghiệm:

+Với $m=3,$ ta giải phương trình $x^4-2x^2=0\iff x=0\vee x=\sqrt{2}\vee x=-\sqrt{2}\Rightarrow$ loại B, D.

+Với $m=2,$ ta giải phương trình $x^4-2x^2+1=0\iff x=1\vee x=-1\Rightarrow$ loại A.

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Phương pháp tìm sự tương giao của hàm số bậc bốn. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Phương pháp tìm sự tương giao của đồ thị bậc ba

• Phương pháp tìm tự tương giao của hàm số phân thức

Chúc các em học tập tốt!