Lý thuyết và bài tập về mặt trụ - khối trụ Toán 12

1. Định nghĩa mặt trụ

- Cho đường thẳng $\mathrm{\Delta }$. Xét 1 đường thẳng $l$ song song với $\mathrm{\Delta }$, cách $\mathrm{\Delta }$ một khoảng R.

Khi đó:

Mặt tròn xoay sinh bởi đường thẳng $l$ như thế được gọi là mặt trụ tròn xoay hay đơn giản là mặt trụ.

- $\mathrm{\Delta }$ gọi là trục của mặt trụ, $l$ gọi là đường sinh và R gọi là bán kính mặt mặt trụ.

2. Hình trụ và khối trụ

Cắt mặt trụ $\left(T\right)$ trục $\mathrm{\Delta }$, bán kính R bởi 2 mặt phẳng phân biệt $\left(P\right)$ và $\left(P^{\prime }\right)$ cùng vuông góc với $\mathrm{\Delta }$ ta được giao tuyến là hai đường tròn $\left(C\right),\left(C^{\prime }\right).$

a) Phần mặt trụ $\left(T\right)$ nằm giữa hai mặt phẳng $\left(P\right)$ và $\left(P^{\prime }\right)$cùng với hai hình tròn xác định bởi $\left(C\right),\left(C^{\prime }\right)$ được gọi là hình trụ.

- Hai đường tròn $\left(C\right),\left(C^{\prime }\right)$ được gọi là hai đường tròn đáy, 2 hình tròn xác định bởi chúng được gọi là 2 mặt đáy của hình trụ, bán kính của chúng gọi là bán kính hình trụ. Khoảng cách giữa 2 mặt đáy gọi là chiều cao của hình trụ.

- Nếu gọi O và O’ là tâm hai hình tròn đáy thì đoạn OO’ gọi là trục của hình trụ

- Phần mặt trụ nằm giữa 2 đáy gọi là mặt xung quanh của hình trụ.

b) Hình trụ cùng với phần bên trong của nó gọi là khối trụ.

3. Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình trụ và thể tích của khối trụ

Với R là bán kính đáy, $h$ là chiều cao.

- Diện tích xung quanh của hình trụ: $S_{xq}=2\pi Rh$

- Diện tích toàn phần của hình trụ: $S_{tp}=S_{xq}+2S_{day}=2\pi Rh+2\pi R^2.$

- Thể tích khối trụ $V=\pi R^{2}h$ ( chiều cao nhân diện tích đáy).

Ví dụ: Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }.$ Gọi O’, O là tâm của hai hình vuông ABCD và $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ và $O^{\prime }O=a.$ Gọi $V_1$ là thể tích của hình trụ tròn xoay đáy là hai đường tròn ngoại tiếp các hình vuông $ABCD,A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ và $V_2$ là thể tích hình nón tròn xoay đỉnh O’ và đáy là đường tròn nội tiếp hình vuông $ABCD.$ Tỉ số thể tích $\frac{V_1}{V_2}$ là:

A. 2                                 B. 3                               C. 4                               D. 6

Hướng dẫn giải:

Gọi M trung điểm của AB thì tam giác OAM vuông cân tại M.

$R_1=OA=\frac{\sqrt{2}}{2};R_2=OM=\frac{1}{2}$

$\frac{V_1}{V_2}=\frac{\pi R_1^2.h}{\frac{1}{3}\pi R_2^2.h}=3{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2:\left(\frac{1}{4}\right)=6$

Chọn D.

Câu 1: Cho lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime },$ đáy $ABC$ là tam giác có $AB=5,AC=8$ và góc $\widehat{(AB,AC)}={60}^0.$ Gọi $V,V^{\prime }$ lần lượt là thể tích của khối lăng trụ ngoại tiếp và nội tiếp khối lăng trụ đã cho. Tính tỉ số $\frac{V^{\prime }}{V}?$

A. $\frac{9}{49}$          

B. $\frac{9}{4}$          

C. $\frac{19}{49}$     

D. $\frac{29}{49}$

Hướng dẫn giải:

Áp dụng đinh lý cosin trong tam giác ABC ta c$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2AB.AC.c\text{os6}{\text{0}}^0=25+64-2.5.8.\frac{1}{2}=49.$

Diện tích tam giác ABC là: $S=\frac{1}{2}AB.AC.\sin {60}^0=\frac{1}{2}.5.8.\frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}.$

Mặt khác:

$S_{ABC}=\frac{AB.AC.BC}{4R},$ với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC.$

$\Rightarrow R=\frac{AB.AC.BC}{4S_{ABC}}=\frac{5.8.7}{4.10\sqrt{3}}=\frac{7\sqrt{3}}{3}.$

Ngoài ra: $S_{ABC}=pr,$ trong đó $p=\frac{1}{2}(AB+BC+AC)=10$ và r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC $\Rightarrow r=\frac{S_{ABC}}{p}=\frac{10\sqrt{3}}{10}=\sqrt{3}$

Hình trụ ngoại tiếp và nội tiếp lăng trụ đã cho có bán kính đáy lần lượt là $R,r$ và có chiều cao bằng chiều cao của hình lăng trụ.

Giả sử $h$ là chiều cao hình lăng trụ, ta có: $V=\pi R^{2}h$ và $V=\pi r^{2}h$

Vậy $\frac{V^{\prime }}{V}=\frac{9}{49}.$

Chọn A.

Câu 2: Cho một khối trụ có bán kính đáy $r=a$ và chiều cao $h=2a$. Mặt phẳng $(P)$ song song với trục $O{O}^{\prime }$ của khối trụ chia khối trụ thành 2 phần, gọi $V_1$ là thể tích phần khối trụ chứa trục $O{O}^{\prime }$, $V_2$ là thể tích phần còn lại của khối trụ. Tính tỉ số $\frac{V_1}{V_2}$, biết rằng $(P)$ cách $O{O}^{\prime }$ một khoảng bằng $\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

A. $\frac{3\pi +2}{\pi -2}$. 

B. $\frac{3\pi -2}{\pi -2}$.     

C. $\frac{2\pi +3}{\pi -2}$. 

D. $\frac{2\pi -3}{\pi -2}$.

Hướng dẫn giải:

Thể tích khối trụ $V=\pi r^{2}h=\pi a^2.2a=2\pi a^3$.

Gọi thiết diện là hình chữ nhật $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$.

Dựng lăng trụ $ABCD.ABCD$ như hình vẽ.

Gọi H là trung điểm $AB.$

Ta có $OH\mathrm{\perp }AB\Rightarrow OH\mathrm{\perp }(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ Þ $OH=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

⇒ $AH=BH=\frac{a\sqrt{2}}{2}=OH$.

⇒ DOAB vuông cân tại O ⇒ ABCD là hình vuông.

Từ đó suy ra:

$V_2=\frac{1}{4}(V-V_{ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }})=\frac{1}{4}(2\pi a^3-{(a\sqrt{2})}^2.2a)=\frac{a^3(\pi -2)}{2}$.

$V_1=V-V_2=2\pi a^3-\frac{a^3(\pi -2)}{2}=\frac{a^3(3\pi +2)}{2}$. Suy ra $\frac{V_1}{V_2}=\frac{3\pi +2}{\pi -2}$.

Chọn A.

Câu 3: Cho một hình trụ có bán kính đáy $R=5,$ chiều cao $h=6.$ Một đoạn thẳng $AB$ có độ dài bằng 10 và có hai đầu mút nằm trên hai đường tròn đáy. Tính khoảng cách giữa đường thẳng $AB$ và trục của hình trụ?

A. 3                                 B. 4                               C. 2                               D. 1

Hướng dẫn giải:

Gọi hai đường tròn đáy là $\left(O\right),\left(O^{\prime }\right)$ và $A\in \left(O\right),B\in \left(O^{\prime }\right).$ Kẻ hai đường sinh $AD,BC$ ta được tứ giác $ABCD$ là một hình chữ nhật và $mp\left(ABCD\right)//{\text{OO}}^{\prime }.$

Do đó, khoảng cách giữa OO’ và AB bằng khoảng cách từ O đến $mp\left(ABCD\right).$

Tam giác ACB vuông tại C nên ta có:

$AC=\sqrt{A{B}^2-B{C}^2}=\sqrt{{10}^2-6^2}=8.$

Gọi I là trung điểm AC, ta có:

$\{\begin{array}{rl}& OI\mathrm{\perp }AC\\ & OI\mathrm{\perp }AD\end{array}\Rightarrow OI\mathrm{\perp }\left(ABCD\right)$

Vậy khoảng cách giữa đường thẳng AB và trục OO’ của hình trụ là: $OI=\sqrt{O{A}^2-I{A}^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3.$

Chọn B.

Câu 4: Một hình trụ có bán kính đáy bằng 50cm và có chiều cao là 50cm. Một đoạn thẳng AB có chiều dài là 100cm và có hai đầu mút nằm trên hai đường tròn đáy. Tính khoảng cách d từ đoạn thẳng đó đến trục hình trụ.

A. $d=50cm$                

B. $d=50\sqrt{3}cm$ 

C. $d=25cm$              

D. $d=25\sqrt{3}cm$

Hướng dẫn giải:

Kẻ AA₁ vuông góc với đáy, A₁ thuộc đáy. Suy ra:

$O{O}_1//A{A}_1\Rightarrow O{O}_1//\left(A{A}_{1}B\right)\Rightarrow d(O{O}_1,AB)=d(O{O}_1,\left(A{A}_{1}B\right))=d(O_1,\left(A{A}_{1}B\right))$

Tiếp tục kẻ $O_{1}H\mathrm{\perp }{A}_{1}B$ tại H, vì O₁H nằm trong đáy nên cũng vuông góc với A₁A suy ra:

$O_{1}H\mathrm{\perp }\left(A{A}_{1}B\right)$. Do đó $d(O{O}_1,AB)=d(O{O}_1,\left(A{A}_{1}B\right))=d(O_1,\left(A{A}_{1}B\right))=O_{1}H$

Xét tam giác vuông $A{A}_{1}B$ ta có $A_{1}B=\sqrt{A{B}^2-A{A}_1^2}=50\sqrt{3}$

Vậy $O_{1}H=\sqrt{O_1{A}_1^2-A_1{H}^2}=25cm$

Chọn C.

Câu 5: Cho hình trụ có bán kính đáy R và chiều cao R lấy hai điểm A, B nằm trên hai đường tròn đáy sao cho $AB=2R.$ Tính khoảng cách từ AB đến hình trụ theo R.

A. $\frac{R}{2}$           

B. $\frac{R}{3}$         

C. $\frac{R}{5}$        

D. $\frac{R}{4}$

Hướng dẫn giải:

Giả sử $A\in$ đường tròn O, $B\in O^{\prime }.$

Từ A vẽ đường song song OO’ cắt đường tròn $\left(O^{\prime }\right)$ tại A’.

Vẽ O’H vuông góc $AB.$

Từ H vẽ đường thẳng song song với OO’, cắt AB tại K. Vẽ $KI//O^{\prime }H.$

Ta có: $O^{\prime }H\mathrm{\perp }{A}^{\prime }B$ và ${\text{AA}}^{\prime }$ nên: $O^{\prime }H\mathrm{\perp }mp\left(A{A}^{\prime }B\right)\Rightarrow O^{\prime }H\mathrm{\perp }HK$ và $AB$

Vậy tứ giác $KI{O}^{\prime }H$ là hình chữ nhật $\Rightarrow KI\mathrm{\perp }{\text{OO}}^{\prime }.$

Vậy KI là đoạn vuông góc chung của AB và ${\text{OO}}^{\prime }.\mathrm{\Delta }A{A}^{\prime }B$ vuông

$\Rightarrow A^{\prime }{B}^2=A{B}^2-AA{{}^{\prime }}^2=4R^2-R^2=3R^2.$

Do H trung điểm A’B nên: \)HA'=\frac{R\sqrt{3}}{2}.\Delta O'A'H\Rightarrow O'{{H}^{2}}=O'{{A}^{2}}-A'{{H}^{2}}={{R}^{2}}-\frac{3{{R}^{2}}}{4}=\frac{{{R}^{2}}}{4}\)

Do đó: $d(AB,{\text{OO}}^{\prime })=KI=O^{\prime }H=\frac{R}{2}.$

Chọn A.

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Lý thuyết và bài tập về mặt trụ - khối trụ Toán 12​​. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Phương pháp tính thể tích hình lăng trụ Toán 12

• Lý thuyết và bài tập về mặt cầu - khối cầu Toán 12

Chúc các em học tốt!