Lý thuyết và bài tập về mặt cầu - khối cầu Toán 12

1. Định nghĩa mặt cầu

Định nghĩa: Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm O cố định một khoảng cách R cho trước là mặt cầu tâm O và bán kính R. Kí hiệu $S(O;R).$

Như vậy, khối cầu $S(O;R)$ là tập hợp các điểm M sao cho $OM\le R.$

2. Công thức tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu

Gọi R là bán kính mặt cầu, ta có:

- Diện tích mặt cầu: $S=4\pi R^2.$

- Thể tích khối cầu: $V=\frac{4}{3}\pi R^3.$

3) Phương pháp tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

Để tìm mặt cầu ngoại tiếp một hình chóp bất kì ta cần phải tìm được điểm I cách đều tất cả các đỉnh.

• Bước 1: Dựng trục của đáy: là đường thẳng đi qua tâm của đáy và vuông góc với đáy.

• Bước 2: Ta thường dựng trung trực của một cạnh bên nào đó cắt trục của đáy tại I, hoặc dựng trục của một mặt bên nào đó cắt trục của đáy tại I. Tâm mặt cầu chính là điểm I, ở bước 2 này phải tùy vào đề bài mà ta có cách xử lý cụ thể.

Ví dụ: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và $AB=a.$ Cạnh bên $SA=a\sqrt{2}$, hình chiếu của điểm S lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm của cạnh huyền AC. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp $S.ABC$ là:

A. $\frac{a\sqrt{2}}{2}$ 

B. $\frac{a\sqrt{6}}{3}$         

C. $\frac{a\sqrt{6}}{2}$

D. $\frac{a\sqrt{2}}{3}$

Hướng dẫn giải:

Gọi M trung điểm AC, suy ra $SM\mathrm{\perp }\left(ABC\right)\Rightarrow SM\mathrm{\perp }AC$

Tam giác $SAC$ có SM là đường cao và cũng là trung tuyến nên tam giác SAC cân tại S.

Ta có $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=a\sqrt{2},$ suy ra tam giác $SAC$ đều.

Gọi G trọng tâm tam giác SAC, suy ra $GS=GA=GC\left(1\right)$

Tam giác ABC vuông tại B, có M là trung điểm cạnh huyền AC nên M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC.$

Lại có $SM\mathrm{\perp }\left(ABC\right)$ nên SM là trục của tam giác $ABC.$

Mà G thuộc SM nên suy ra $GA=GB=GC\left(2\right)$

Từ $\left(1\right),\left(2\right)$, suy ra $GS=GA=GB=GC$ hay G là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp $S.ABC.$

Bán kính mặt cầu $R=GS=\frac{2}{3}SM=\frac{a\sqrt{6}}{3}.$

Chọn B.

Câu 1: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh bên bằng cạnh đáy bằng $a$. Khi đó mặt cầu nội tiếp hình chóp $S.ABCD$ có bán kính bằng:

A. $\frac{a(1+\sqrt{3})}{\sqrt{2}}.$ 

B. $\frac{a(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4}.$         

C. $\frac{a(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{4}.$      

D. $\frac{a(\sqrt{3}-1)}{\sqrt{2}}.$

Hướng dẫn giải:

Gọi $H$ là tâm của hình vuông $ABCD$.

Ta có $SH$ là trục đường tròn ngoại tiếp đáy.

Gọi $M$ là trung điểm của $CD$ và $I$ là chân đường phân giác trong của góc $\widehat{SMH}\text{ (}I\in SH)$.

Suy ra $I$ là tâm của mặt cầu nội tiếp hình chóp, bán kính $r=IH$.

Ta có 

$\begin{array}{rl}& SH=\sqrt{S{A}^2-A{H}^2}=\frac{a\sqrt{2}}{2};\\ & SM=\frac{a\sqrt{3}}{2};MH=\frac{a}{2}.\end{array}$

Dựa vào tính chất của đường phân giác ta có:

$\frac{IS}{IH}=\frac{MS}{MH}$$\Rightarrow \frac{SH}{IH}=\frac{MS+MH}{MH}\Rightarrow IH=\frac{SH.MH}{MS+MH}=\frac{a}{\sqrt{2}+\sqrt{6}}=\frac{a(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4}.$

Chọn B.

Câu 2: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại C và $BC=a.$ Mặt phẳng $\left(SAB\right)$ vuông góc với đáy, $SA=SB=a,\widehat{\text{ASB}}={120}^0.$ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ là:

A. $\frac{a}{4}$            

B. $\frac{a}{2}$          

C. $a$                         

D. $2a$

Hướng dẫn giải:

Gọi M trung điểm AB, suy ra $SM\mathrm{\perp }AB$ và $SM\mathrm{\perp }\left(ABC\right).$

Do đó, $SM$ là trục của tam giác $ABC.$

Trong mặt phẳng $\left(SBM\right),$ kẻ đường trung trực $d$ của đoạn SB cắt SM tại I. Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$, bán kính $R=SI.$

Ta có: $AB=\sqrt{S{A}^2+S{B}^2-2SA.SB.c\text{os}\widehat{\text{ASB}}}=a\sqrt{3}$.

Trong tam giác vuông $SMB$ ta có $SM=SB.c\text{os}\widehat{MSB}=a.c\text{os6}{\text{0}}^0=\frac{a}{2}$

Ta có $\mathrm{\Delta }SPI\sim \mathrm{\Delta }SMB.$ Suy ra $\frac{SM}{SB}=\frac{SP}{SI}\Rightarrow R=SI=\frac{SB.SP}{SM}=a.$

Chọn C.

Câu 3: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a.$ Đường thẳng $SA=a\sqrt{2}$ vuông góc với đáy $\left(ABCD\right).$ Gọi M trung điểm SC, mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ đi qua hai điểm A và M đồng thời song song với BD cắt $SB,SD$ lần lượt tại $E,F.$ Bán kính mặt cầu đi qua năm điểm $S,A,E,M,F$ nhận giá trị nào sau đây?

A. $a\sqrt{2}$               

B. $a$                          

C. $\frac{a\sqrt{2}}{2}$        

D. $\frac{a}{2}$

Hướng dẫn giải:

Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại E, F nên $\text{EF}//BD.\mathrm{\Delta }SAC$ cân tại A, trung tuyến AM nên $AM\mathrm{\perp }SC\left(1\right)$

Ta có $\{\begin{array}{l}BD\mathrm{\perp }AC\\ BD\mathrm{\perp }SA\end{array}\Rightarrow BD\mathrm{\perp }\left(SAC\right)\Rightarrow BD\mathrm{\perp }SC.$ Do đó $\mathrm{E}\mathrm{F}\mathrm{\perp }SC\left(2\right)$

Từ $\left(1\right),\left(2\right)$ suy ra $SC\mathrm{\perp }\left(\alpha \right)\Rightarrow SC\mathrm{\perp }AE(\ast )$.

Lại có: $\{\begin{array}{l}BC\mathrm{\perp }AB\\ BC\mathrm{\perp }SA\end{array}\Rightarrow BC\mathrm{\perp }\left(SAB\right)\Rightarrow BC\mathrm{\perp }AE\left(\ast \ast \right)$

Từ $(\ast ),(\ast \ast )$ suy ra $AE\mathrm{\perp }\left(SBC\right)\Rightarrow AE\mathrm{\perp }SB.$

Tương tự ta cũng có $\text{AF}\mathrm{\perp }SD.$ Do đó $\widehat{SEA}=\widehat{SMA}=\widehat{SFA}={90}^0$ nên 5 điểm $S,A,E,M,F$ cùng thuộc mặt cầu tâm I là trung điểm của SA, bán kính $R=\frac{SA}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$

Câu 4: Cho khối chóp$S.ABC$có $SA\mathrm{\perp }(ABC)$; tam giác $ABC$ cân tại $A$,$AB=a$;$\widehat{BAC}=120{}^{\circ }$. Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu của $A$ lên $SB,SC$. Tính bán kính mặt cầu đi qua 5 điểm $A,B,C,K,H$.

A. $R=a\sqrt{3}$

B. $R=a$

C. $R=2a$ 

D. Không tồn tại mặt cầu như vậy

Hướng dẫn giải:

Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ và $AD$ là một đường kính của đường tròn $(I)$.

Tam giác $ACD$ vuông tại $C$, suy ra: $DC\mathrm{\perp }AC$ mà $DC\mathrm{\perp }SA$ nên $DC\mathrm{\perp }(SAC)$.

Ta lại có: $\{\begin{array}{l}AK\mathrm{\perp }KC\\ AK\mathrm{\perp }DC(doDC\mathrm{\perp }(KCD)\end{array}\Rightarrow AK\mathrm{\perp }KC$.

Suy ra tam giác $AKD$ vuông tại $K$, suy ra: $IA=ID=IK$.

Tương tự như trên ta cũng có: $IA=ID=IH$.

Vậy thì $IA=IB=IC=IK=IH$,

do đó 5 điểm $A,B,C,K,H$ cùng nằm trên một mặt cầu(đpcm).

Bán kính $R$ của mặt cầu cũng là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Áp dụng định lý cos ta có: $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2-2AB.AC.\cos 120{}^{\circ }}=a\sqrt{3}$.

Áp dụng định lý sin ta có: $\frac{BC}{\sin A}=2R\Rightarrow R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{a\sqrt{3}}{2.\frac{\sqrt{3}}{2}}=a$.

Chọn B.

Câu 5: Cho lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có $AB=AC=a,BC=\sqrt{3}a$. Cạnh bên $A{A}^{\prime }=2a$. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $A{B}^{\prime }{C}^{\prime }C$ bằng

A. $a$.                           

B. $\sqrt{2}a$.            

C. $\sqrt{5}a$.            

D. $\sqrt{3}a$.

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Dễ thấy tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $A{B}^{\prime }{C}^{\prime }C$ cũng là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ đứng đã cho.

Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Đường thẳng qua $O$ vuông góc với $\left(ABC\right)$ cắt mặt phẳng trung trực của $A{A}^{\prime }$ tại $I$. Khi đó $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp.

Mặt khác $\cos \hat{A}=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2.AB.AC}=\frac{1}{2}$

Ta có: $R_{ABC}=\frac{BC}{2\mathrm{sinA}}=\frac{a\sqrt{3}}{2\sin {120}^0}=a$ do đó $R=IA=\sqrt{O{I}^2+O{A}^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$.

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Lý thuyết và bài tập về mặt cầu - khối cầu Toán 12. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Chuyên đề tính diện tích và thể tích của mặt cầu, khối cầu

• Lý thuyết và bài tập về sự tương giao và sự tiếp xúc của mặt cầu

Chúc các em học tốt!