1. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
-
Khoảng cách từ \(M({{x}_{0}};y{}_{0};{{z}_{0}})\) đến mặt phẳng \((\alpha )\) có phương trình \(Ax\text{ }+\text{ }by\text{ }+\text{ }Cz\text{ }+\text{ }D\text{ }=\text{ }0\)là:
\(d(M,(P))=\frac{\left| A{{x}_{0}}+B{{y}_{0}}+C{{z}_{0}}+D \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}}.\)
-
Khoảng cách giữa hai mp song song là khoảng cách từ một điểm thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng - khoảng cách giữa hai đường thẳng
-
Khoảng cách từ điểm M đến một đường thẳng dqua điểm Mo có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}\):
\(d(M,\,\,d)\,\,=\,\,\frac{\left| \left[ \overrightarrow{{{M}_{0}}M};\,\,\overrightarrow{u} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|}.\)
-
Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia.
-
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
d đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}\) và d’ đi qua điểm M’ và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u'}\) là:
\(d(\,d,\,\,d')\,\,=\,\,\frac{\left| \left[ \overrightarrow{u};\,\,\overrightarrow{u'} \right].\overrightarrow{{{M}_{0}}M} \right|}{\left| \left[ \overrightarrow{u};\,\,\overrightarrow{u'} \right] \right|}.\)
-
Khoảng cách từ giữa đường thẳng và mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng đến mặt phẳng hoặc khoảng cách từ một điểm thuộc mặt phẳng đến đường thẳng.
Ví dụ: Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm \(A\left( 1;~\,\,2;\,\,2 \right)\) đến mặt phẳng \((\alpha )\): \(x+2y-2z-4=0\) bằng:
A. \(3.\)
B. \(1.\)
C.\(\frac{13}{3}.\)
D. \(\frac{1}{3}.\)
Hướng dẫn giải
\(d(A,(\alpha ))=\frac{\left| 1.{{x}_{A}}+2.{{y}_{A}}-2.{{z}_{A}}-4 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{(-2)}^{2}}}}=1.\)
3. Bài tập
Câu 1.Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song \((\alpha )\): \(2x-y-2z-4=0\) và \((\beta ):\)\(2x-y-2z+2=0\).
A. 2.
B. 6.
C. \(\frac{10}{3}.\)
D. \(\frac{4}{3}.\)
Hướng dẫn giải
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kỳ của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
Ta lấy điểm H(2; 0; 0) thuộc \((\alpha )\). Khi đó \(d\left( (\alpha ),(\beta ) \right)=d\left( H,(\beta ) \right)=\frac{\left| 2.2-1.0-2.0+2 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{(-1)}^{2}}+{{(-2)}^{2}}}}=2\).
Câu 2. Khoảng cách từ điểm \(M\left( 3;\,\,2;\,\,1 \right)\) đến mặt phẳng (P): \(Ax+Cz+D=0\), \(A.C.D\ne 0\). Chọn khẳng định đúngtrong các khẳng định sau:
A. \(d(M,(P))=\frac{\left| 3A+C+D \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{C}^{2}}}}\)
B. \(d(M,(P))=\frac{\left| A+2B+3C+D \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}}.\)
C. \(d(M,(P))=\frac{\left| 3A+C \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{C}^{2}}}}.\)
D. \(d(M,(P))=\frac{\left| 3A+C+D \right|}{\sqrt{{{3}^{2}}+{{1}^{2}}}}.\)
Câu 3.Tính khoảng cách giữa mặt phẳng \((\alpha )\): \(2x-y-2z-4=0\) và đường thẳng d: \(\left\{ \begin{align} & x=1+t \\ & y=2+4t \\ & z=-t \\ \end{align} \right.\)
A. \(\frac{1}{3}.\)
B. \(\frac{4}{3}.\)
C. 0.
D. 2.
Hướng dẫn giải
Đường thẳng d song song với mặt phẳng \((\alpha )\).
Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kỳ của đường thẳng đến mặt phẳng.
Ta lấy điểm \(H\left( 1;\text{ }2;\text{ }0 \right)\) thuộc đường thẳng d. Khi đó:
\(d(d,(\alpha ))=d(H,(\alpha ))=\frac{\left| 2.1-1.2-2.0-4 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{(-1)}^{2}}+{{(-2)}^{2}}}}=\frac{4}{3}.\)
Câu 4. Khoảng cách từ điểm \(A\left( 2;\,\,4;\,\,3 \right)\) đến mặt phẳng \((\alpha )\): \(2x+y+2z+1=0\) và \((\beta )\): \(x=0\) lần lượt là \(d(A,(\alpha ))\), \(d(A,(\beta ))\). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. \(d\left( A,(\alpha ) \right)=3.d\left( A,(\beta ) \right).\)
B. \(d\left( A,(\alpha ) \right)>d\left( A,(\beta ) \right).\)
C. \(d\left( A,(\alpha ) \right) = d\left( A,(\beta ) \right).\)
D. 2.\(d\left( A,(\alpha ) \right) = d\left( A,(\beta ) \right).\)
Hướng dẫn giải
\(d\left( A,(\alpha ) \right)=\frac{\left| 2.{{x}_{A}}+{{y}_{A}}+2.{{z}_{A}}+1 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}+{{2}^{2}}}}=1\) ;
\(d\left( A,(\beta ) \right)=\frac{\left| {{x}_{A}} \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}}}=2.\)
Kết luận: \(d\left( A,(\beta ) \right)=2.d\left( A,(\alpha ) \right)\).
Câu 5. Tìm tọa độ điểm Mtrên trục Oy sao cho khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P): \(2x-y+3z-4=0\) nhỏ nhất?
A.\(M\left( 0;2;0 \right).\)
B.\(M\left( 0;4;0 \right).\)
C. \(M\left( 0;-4;0 \right).\)
D. \(M\left( 0;\frac{4}{3};0 \right)\).
Hướng dẫn giải
Khoảng cách từ M đến (P) nhỏ nhất khi M thuộc (P).
Nên M là giao điểm của trục Oy với mặt phẳng (P).
Thay x = 0, z = 0 vào phương trình (P) ta được y = \(-\) 4.
Vậy M(0;\(-\)4;0).
Cách giải khác
Tính khoảng cách từ điểm M trong các đáp án đến mặt phẳng (P) sau đó so sánh chọn đáp án.
...
--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--
Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Chuyên đề tính khoảng cách trong mặt phẳng tọa độ Oxyz. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.
Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.
Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:
Chúc các em học tốt!
