1.Góc giữa hai mặt phẳng
Góc giữa hai mặt phẳng (P): \(Ax\text{ }+\text{ }By\text{ }+\text{ }Cz\text{ }+\text{ }D\text{ }=\text{ }0\), (Q): \(Ax\text{ }+\text{ }By\text{ }+\text{ }Cz\text{ }+\text{ }D\text{ }=\text{ }0\) được ký hiệu:\({{0}^{o}}\le ((P),(Q))\le {{90}^{o}}\), xác định bởi hệ thức
\(\cos ((P),(Q))=\frac{\left| AA'+BB'+CC' \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}.\sqrt{A{{'}^{2}}+B{{'}^{2}}+C{{'}^{2}}}}.\)
Đặc biệt: \((P)\bot (Q)\Leftrightarrow AA'+BB'+CC'=0.\)
2. Góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
a) Góc giữa hai đường thẳng (d) và (d’) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=(a;b;c)\) và \(\overrightarrow{u'}=(a';b';c')\) là \(\phi \)
\(\cos \phi =\frac{\left| aa'+bb'+cc' \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}.\sqrt{a{{'}^{2}}+b{{'}^{2}}+c{{'}^{2}}}}\) \(({{0}^{o}}\le \phi \le {{90}^{o}}).\)
Đặc biệt: \((d)\bot (d')\Leftrightarrow aa'+bb'+cc'=0.\)
b) Góc giữa đường thẳng d có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=(a;b;c)\) và mp\((\alpha )\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=(A;B;C).\)
\(\sin \phi \,\,=\,\,\left| \cos (\overrightarrow{n},\,\,\overrightarrow{u}) \right|=\frac{\left| Aa+Bb+Cc \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}.\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}} ({{0}^{o}}\le \phi \le {{90}^{o}}).\)
Đặc biệt: \((d)//(\alpha )\) hoặc \((d)\subset (\alpha )\)\(\Leftrightarrow Aa+Bb+Cc=0.\)
Ví dụ: Cho vectơ \(\overrightarrow{u}\left( -2;\,\,-\,2;\,\,0 \right);\,\,\overrightarrow{v}\left( \sqrt{2};\,\,\sqrt{2};\,\,2 \right)\). Góc giữa vectơ \(\overrightarrow{u}\) và vectơ \(\overrightarrow{v}\) bằng:
A. \(135{}^\circ \).
B. \(45{}^\circ \).
C. \(60{}^\circ \).
D. \(150{}^\circ \).
Hướng dẫn giải
Ta có \(\cos (\overrightarrow{u},\,\,\overrightarrow{v})\,\,=\,\,\frac{\overrightarrow{u}.\,\overrightarrow{v}}{\left| \overrightarrow{u} \right|.\,\left| \,\overrightarrow{v} \right|}\,\,=\,\,\frac{-2.\sqrt{2}-2.\sqrt{2}\,\,+2.0}{\sqrt{{{(-2)}^{2}}\,\,+\,\,{{(-2)}^{2}}}.\sqrt{{{\left( \sqrt{2} \right)}^{2}}\,\,+{{\left( \sqrt{2} \right)}^{2}}\,\,+{{2}^{2}}}}\,\,=\,\,-\frac{1}{\sqrt{2}}\)\(\Rightarrow \,\,(\overrightarrow{u},\,\,\overrightarrow{v})\,\,=\,\,135{}^\circ \).
3. Bài tập
Câu 1. Cho đường thẳng \(\Delta :\,\,\frac{x}{1}\,\,=\,\,\frac{y}{-\,2}\,\,=\,\,\frac{z}{1}\) và mặt phẳng (P): \(5x\,\,+\,\,11y\,\,+\,\,2z\,\,-\,\,4\,\,=\,\,0\). Góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng (P) là:
A. \(60{}^\circ \).
B. \(-\,30{}^\circ \).
C. \(30{}^\circ \).
D. \(-\,\,60{}^\circ \).
Câu 2. Cho mặt phẳng \((\alpha ):\,\,2x\,\,-\,\,y\,\,+\,\,2z\,\,-\,\,1\,\,=\,\,0;\,\,(\beta ):\,\,x\,\,+\,\,2y\,\,-\,\,2z\,\,-\,\,3\,\,=\,\,0\). Cosin góc giữa mặt phẳng \((\alpha )\) và mặt phẳng\(\,(\beta )\) bằng:
A. \(\frac{4}{9}\)
B. \(-\frac{4}{9}.\)
C.\(\frac{4}{3\sqrt{3}}.\)
D. \(-\frac{4}{3\sqrt{3}}.\)
Câu 3. Cho mặt phẳng \((P):\,\,3x\,\,+\,\,4y\,\,+\,\,5z\,\,+\,\,2\,\,=\,\,0\) và đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng \((\alpha ):\,\,x\,\,-\,\,2y\,\,+\,\,1\,\,=\,\,0;\,\,(\beta ):\,\,x\,\,-\,\,2z\,\,-\,\,3\,\,=\,\,0\). Gọi \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P). Khi đó:
A. \(60{}^\circ \).
B. \(45{}^\circ \).
C. \(30{}^\circ \).
D. \(90{}^\circ \).
Câu 4. Cho mặt phẳng \((\alpha ):\,\,3x\,\,-\,\,2y+\,\,2z\,\,-\,\,5\,\,=\,\,0\). Điểm A(1; – 2; 2). Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua A và tạo với mặt phẳng \((\alpha )\) một góc \(45{}^\circ .\)
A. Vô số.
B. 1.
C. 2.
D. 4.
Câu 5. Hai mặt phẳng nào dưới đây tạo với nhau một góc \(60{}^\circ \)
A. \((P):\,\,2x\,\,+\,\,11y\,\,-\,\,5z\,\,+\,\,3=\,\,0\) và \((Q):\,\,x\,\,+\,\,2y\,\,-\,\,z\,\,-\,\,2=\,\,0\).
B. \((P):\,\,2x\,\,+\,\,11y\,\,-\,\,5z\,\,+\,\,3=\,\,0\) và \((Q):\,\,-x\,\,+\,\,2y\,\,+\,\,z\,\,-\,\,5=\,\,0\).
C. \((P):\,\,2x\,\,-\,\,11y\,\,+\,\,5z\,\,-\,\,21=\,\,0\) và \((Q):\,\,2x\,\,+\,\,y\,\,+\,\,z\,\,-\,\,2=\,\,0\).
D. \((P):\,\,2x\,\,-\,\,5y\,\,+\,\,11z\,\,-\,\,6=\,\,0\) và \((Q):\,\,-x\,\,+\,\,2y\,\,+\,\,z\,\,-\,\,5=\,\,0\).
Câu 6. Cho vectơ \(\overrightarrow{u}(1;\,\,1;\,\,-\,2),\,\,\overrightarrow{v}(1;\,\,0;\,\,m)\). Tìm m để góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{u},\,\,\overrightarrow{v}\) có số đo bằng \(45{}^\circ \).
Một học sinh giải như sau:
Bước 1: Tính \(\cos \left( \overrightarrow{u},\,\,\overrightarrow{v} \right)\,\,=\,\,\frac{1\,\,-\,\,2m}{\sqrt{6}.\sqrt{{{m}^{2}}\,\,+\,\,1}}\)
Bước 2: Góc giữa \(\overrightarrow{u},\,\,\overrightarrow{v}\) có số đo bằng \(45{}^\circ \) nên \(\frac{1\,\,-\,\,2m}{\sqrt{6}.\sqrt{{{m}^{2}}\,\,+\,\,1}}\,=\,\,\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\Leftrightarrow \,\,1\,\,-\,\,2m\,\,=\,\,\sqrt{3({{m}^{2}}\,\,+\,\,1)}\) (*)
Bước 3: Phương trình \((*)\,\,\Leftrightarrow \,\,{{(1\,\,-\,\,2m)}^{2}}\,\,=\,\,3({{m}^{2}}\,\,+\,\,1)\)
\( \Leftrightarrow \,\,{m^2}\,\, - \,\,4m\,\, - \,\,2\,\, = \,\,0\,\, \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l} m\,\, = \,\,2\,\, - \,\,\sqrt 6 \\ m\,\, = \,\,2\,\, + \,\,\sqrt 6 . \end{array} \right.\)
Bài giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào?
A. Sai ở bước 3.
B. Sai ở bước 2.
C. Sai ở bước 1.
D. Đúng.
Câu 7. Cho hai điểm \(A(1;\,\,-\,\,1;\,\,1);\,\,B(2;\,\,-\,\,2;\,\,4)\). Có bao nhiêu mặt phẳng chứa A, Bvà tạo với mặt phẳng \((\alpha ):\,\,x\,\,-\,\,2y\,\,+\,\,z\,\,-\,\,7\,\,=\,\,0\) một góc \(60{}^\circ \).
A. 1.
B. 4.
C. 2.
D. Vô số.
Câu 8. Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai đường thẳng AB, CD. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng:
A. \(\cos \alpha =\frac{\left| \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} \right|}{\left| \overrightarrow{AB} \right|.\left| \overrightarrow{CD} \right|}.\)
B. \(\cos \alpha \,\,=\,\,\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}}{\left| \overrightarrow{AB} \right|.\left| \overrightarrow{CD} \right|}.\)
C. \(\cos \alpha \,\,=\,\,\frac{\left| \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} \right|}{\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD} \right] \right|}.\)
D. \(\cos \alpha \,\,=\,\,\frac{\left| \left[ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{AB} \right|.\left| \overrightarrow{CD} \right|}.\)
Câu 9. Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\,\)có cạnh bằng a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh \(BB',\,\,CD,\,\,A'D'\). Góc giữa hai đường thẳng MP và C’N là:
A. 30o.
B. 120o.
C. 60o.
D. 90o.
Câu 10. Cho hình chóp A.BCD có các cạnh AB, AC, AD đôi một vuông góc. \(\Delta ABC\)cân, cạnh bên bằng a, \(AD\,\,=\,\,2a\). Cosin góc giữa hai đường thẳng BD và DC là:
A. \(\frac{4}{5}.\)
B. \(-\,\,\frac{2}{\sqrt{5}}.\)
C. \(\frac{4}{\sqrt{5}}.\)
D. \(\frac{1}{\sqrt{5}}.\)
...
--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--
Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Phương pháp tính góc giữa hai mặt phẳng, giữa hai đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng toán 12. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.
Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.
Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:
Chúc các em học tốt!
