Phương pháp tính thể tích hình lăng trụ Toán 12

1. Thể tích khối lăng trụ

V= B.h

với B là diện tích đáy, h là chiều cao      

2) Thể tích khối hộp chữ nhật

V = a.b.c

với a, b, c là ba kích thước

3) Thể tích khối lập phương

V = a³

với a là độ dài cạnh       

Ví dụ: Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a\). Mặt phẳng \(\left( AB'C' \right)\) tạo với mặt đáy góc \({{60}^{0}}\). Tính theo \(a\) thể tích lăng trụ \(ABC.A'B'C'\).

A. \(V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}\).

B. \(V=\frac{3{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}\).

C. \(V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}\).           

D. \(V=\frac{3{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}\).

Hướng dẫn giải:

Vì \(ABC.A'B'C'\) là lăng trụ đứng nên \(AA'\bot \left( ABC \right)\).

Gọi \(M\) là trung điểm \(B'C'\), do tam giác \(A'B'C'\) đều

Nên suy ra \(A'M\bot B'C'\).

Khi đó \({{60}^{0}}=\widehat{\left( AB'C' \right),\left( A'B'C' \right)}=\widehat{AM,A'M}=\widehat{AMA'}\).

Tam giác \(AA'M\), có

\(A'M=\frac{a\sqrt{3}}{2}\); \(AA'=A'M.\tan \widehat{AMA'}=\frac{3a}{2}\).

Diện tích tam giác đều \({{S}_{\Delta A'B'C'}}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}\).

Vậy \(V={{S}_{\Delta ABC}}.AA'=\frac{3{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}\) (đvtt).

Chọn đáp án D.

Câu 1: Thể tích (cm³) khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy và cạnh bên cùng bằng \(\sqrt{2}\)cm là:

A. \(\frac{\sqrt{6}}{2}\)                                    

B. \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) 

C. \(\sqrt{2}\) 

D. \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Hướng dẫn giải:

Dễ dàng tính được V = \(\frac{\sqrt{6}}{2}\)

Chọn đáp án A

Câu 2: Thể tích khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a là:

A. \(\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}\) 

B. \(\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}\)          

C. \(\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}\)

D. \(\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}\)

Hướng dẫn giải:

\(V={{S}_{ABC}}\text{.AA}'=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.2a=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}\) nên chọn C.

Chọn đáp án C.

Câu 3: Cho lăng trụ đứng \(ABC.{A}'{B}'{C}'\)có đáy ABC là tam giác vuông tại B. AB = 2a, BC = a, \(A{A}'=2a\sqrt{3}\). Tính theo a thể tích khối lăng trụ \(ABC.{A}'{B}'{C}'\).

A. \(\frac{2{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}\)                   

B. \(\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}\)          

C. \(4{{a}^{3}}\sqrt{3}\)

D. \(2{{a}^{3}}\sqrt{3}\)

Hướng dẫn giải:

\(V={{S}_{\Delta ABC}}.AA'=\frac{1}{2}2a.a.2a\sqrt{3}=2{{a}^{3}}\sqrt{3}\)

Chọn đáp án D.

Câu 4: Gọi V là thể tích của hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). \({{V}_{1}}\) là thể tích của tứ diện \(A'ABD\) . Hệ thức nào sau đây là đúng ?

A. \(V=6{{V}_{1}}\)      

B. \(V=4{{V}_{1}}\)

C. \(V=3{{V}_{1}}\)

D. \(V=2{{V}_{1}}\)

Hướng dẫn giải:

Ta có hình vẽ sau:

Ta có \(V={{S}_{ABCD}}.AA';\) \({{V}_{1}}=\frac{1}{3}.{{S}_{ABD}}.AA'\)

Mà \({{S}_{ABD}}=\frac{1}{2}{{S}_{ABCD}}\Rightarrow \frac{V}{{{V}_{1}}}=\frac{2.{{S}_{ABD}}.AA'}{\frac{1}{3}{{S}_{ABD}}.AA'}=6\)

\(\Rightarrow V=6{{V}_{1}}\)

Chú ý nhiều độc giả tư duy nhanh nên chỉ xét tỉ số giữa diện tích đáy mà quên mất rằng với khối chóp thì còn tích với \(\frac{1}{3}\) nữa, và nhanh chóng chọn ý D là sai. Vì thế, nhanh nhưng cần phải chính xác bạn nhé.

Chọn đáp án A.

Câu 5: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có diện tích mặt chéo ACC’A’ bằng \(2\sqrt{2}{{a}^{2}}\). Thể tích của khối lập phương ABCD.A'B'C'D' là:

A. \(2\sqrt{2}{{a}^{3}}\)                                

B. \(2{{a}^{3}}\)        

C. \(\sqrt{2}{{a}^{3}}\)         

D. \({{a}^{3}}\)

Hướng dẫn giải:

Để tính được thể tích của hình lập phương thì ta cần biết cạnh của hình lập phương đó, từ dữ liệu diện tích mặt chéo A’ACC’ ta sẽ tính được cạnh của hình lập phương

Gọi cạnh của hình lập phương là x suy ra

\(A'C'=x\sqrt{2}\). Diện tích mặt chéo A’ACC’ là \(x.x\sqrt{2}=2\sqrt{2}{{a}^{2}}\Rightarrow x=a\sqrt{2}\). Thể tích hình lập phương là \(V={{x}^{3}}=2\sqrt{2}{{a}^{3}}\)

Chọn đáp án A.

Câu 6: Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AC = 2a biết rằng (A'BC) hợp với đáy (ABC) một góc 45^o.Thể tích lăng tru là:

A. \(\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{2}\)                

B. \(\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}\)          

C.  \({{a}^{3}}\sqrt{3}\)           

D. \({{a}^{3}}\sqrt{2}\)

Hướng dẫn giải:

- \(\widehat{ABC}={{45}^{0}}\)

- \(AC=AB\sqrt{2}\Rightarrow 2a=AB\sqrt{2}\Rightarrow AB=BC=AA'=a\sqrt{2}\)

- \(V=\frac{1}{2}AB.BC.AA'={{a}^{3}}\sqrt{2}\)

Chọn đáp án D.

Câu 7: Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC. A₁B₁C₁ có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của AA₁. Thể tích khối chóp M.BCA₁ là:

A. \(V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}\)              

B. \(V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}\)  

C. \(V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}\) 

D. \(V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}\)

Hướng dẫn giải:

\(\Delta ABC\) là tam giác đều cạnh a nên có diện tích \({{S}_{ABC}}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}\)

Ta có \(AM=\frac{\text{A}{{\text{A}}_{1}}}{2}=\frac{a}{2}\)

Hai tứ diện MABC và MA1BC có chung đỉnh C, diện tích hai đáy MAB và MA1B bằng nhau nên có thể tích bằng nhau, suy ra

\({{V}_{M.BC{{A}_{1}}}}={{V}_{M.ABC}}=\frac{1}{3}AM.{{S}_{ABC}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}\)

Chọn đáp án B.

Câu 8: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’, cạnh đáy bằng a. Gọi N, I lần lượt là trung điểm của AB, BC; góc giữa hai mặt phẳng (C’AI) và (ABC) bằng \({{60}^{o}}\). Tính theo a thể tích khối chóp NAC’I?

A. \(32\sqrt{3}{{a}^{3}}\)                              

B. \(\frac{{{a}^{3}}}{32}\)     

C. \(\frac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{32}\)     

D. \(\frac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{4}\)

Hướng dẫn giải:

Ta có \(\widehat{\left( \left( C'AI \right),\left( ABC \right) \right)}=\widehat{CIC}={{60}^{o}}\)

Mặt khác  \(\tan \widehat{CIC'}=\frac{CC'}{CI}\Rightarrow CC'=CI.\tan \widehat{CIC'}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

Ta có \({{S}_{ANI}}=\frac{1}{4}{{S}_{ABC}}=\frac{1}{4}.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{16}\)

\(\Rightarrow {{V}_{C'.NAI}}=\frac{1}{3}CC'.{{S}_{NAI}}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}=\frac{{{a}^{3}}}{32}\)

Chọn đáp án B.

Câu 9: Cho lăng trụ đứng \(ABC.ABC\) có đáy là tam giác ABC vuông cân tại \(B,\text{ }BA=BC=a,\text{ }AB\) tạo với (ABC) một góc 60⁰. Thể tích của khối lăng trụ \(ABC.ABC\) là:

A. \(\frac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{2}\)                     

B. \(\frac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{6}\)          

C. \(\sqrt{3}{{a}^{3}}\)           

D. \(\frac{{{a}^{3}}}{4}\)   

Hướng dẫn giải:

Góc giữa A”B và đáy là góc \(\widehat{ABA'}={{60}^{o}},AA'=a\sqrt{3}\)

\({{S}_{ABC}}=\frac{{{a}^{2}}}{2}\).

Vậy thể tích của lăng trụ là : \(V={{S}_{ABC}}.AA'=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}\)

Chọn đáp án A.

Câu 10: Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh bằng \(a\) và \(\left( {A}'BC \right)\) hợp với mặt đáy \(ABC\) một góc \({{30}^{0}}\). Tính thể tích khối lăng trụ \(ABC.{A}'{B}'{C}'\)là

A. \(\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}\)                   

B. \(\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}\)        

C. \(\frac{3{{a}^{3}}}{24}\)  

D. \(\frac{{{a}^{3}}\sqrt{5}}{24}\)

Hướng dẫn giải:

Gọi M là trung điểm của cạnh \(BC.\) Ta có \(SA\bot \left( ABC \right)\Rightarrow \)\(AM\) là hình chiếu vuông góc của \({A}'M\) trên \(\left( ABC \right)\), nên \(\widehat{\left( {A}'BC \right),\left( ABC \right)}\) bằng góc \(\widehat{{A}'MA}={{30}^{0}}\)

Xét \(\Delta {A}'MA\)vuông tại \(A\). Ta có \({A}'A=AM.\tan \widehat{{A}'MA}\ \ =\frac{a\sqrt{3}}{2}.\tan {{30}^{0}}\ =\frac{a}{2}\)

\(S=\frac{1}{2}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.a=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}\)

Vậy \({{V}_{{A}'.ABC}}=\frac{1}{3}.{{S}_{\Delta ABC}}.{A}'A=\frac{1}{3}.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.\frac{a}{2}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}\)

Chọn đáp án B.

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Phương pháp tính thể tích hình lăng trụ Toán 12​​. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Phương pháp tính tỉ số thể tích hình chóp Toán 12

• Lý thuyết và bài tập về tính thể tích hình chóp Toán 12

Chúc các em học tốt!