1. Phương pháp
Cho hình chóp S.ABC có 3 điểm A’. B’, C’ lần lượt nằm trên 3 cạnh SA, SB, SC. Khi đó, ta có công thức về tỷ số thể tích như sau:
\(\frac{{{V}_{S.A'B'C'}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\frac{SA'}{SA}.\frac{SB'}{SB}.\frac{SC'}{SC}\)
.png?enablejsapi=1)
Chú ý 1:
.png)
+ Công thức tỷ số thể tích trên ta chỉ áp dụng cho chóp có đáy là tam giác.
+ Công thức trên vẫn đúng trong trường hợp A’ trùng với A. Khi đó:
\(\frac{{{V}_{S.A'B'C'}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\frac{SA'}{SA}.\frac{SB'}{SB}.\frac{SC'}{SC}=\frac{SB'}{SB}.\frac{SC'}{SC}\)
Chú ý 2: (Áp dụng cho khối chóp với mọi đáy)
+ Hai hình chóp có cùng chiều cao thì tỉ số thể tích chính là tỉ số diện tích đáy tương ứng.
+ Hai hình chóp có cùng diện tích đáy thì tỉ số thể tích chính là tỉ số đường cao tương ứng.
Ví dụ: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có thể tích bằng V với đáy là hình bình hành. Gọi C’ là trung điểm cạnh SC. Mặt phẳng qua AC’ và song song với BD cắt các cạnh SB,SD lần lượt tại B’; D’. Khi đó thể tích của khối chóp S.A’B’C’D’ bằng
A. \(\frac{V}{3}\)
B. \(\frac{2V}{3}\)
C. \(\frac{V}{4}\)
D. \(\frac{V}{2}\)
Hướng dẫn giải:
Phân tích: Để giải quyết được bài toán này các em cần dựng được mặt phẳng đi qua AC’ và song song với BD sau đó tìm giao điểm của nó với các cạnh SB, SD
Để dựng được mặt phẳng đi qua AC’ và song song với BD ta làm như sau: Gọi O là giao điểm của AC và BD, gọi I là giao điểm của SO và AC’. Qua I kẻ B’D’ song song với BD, khi đó ta có mặt phẳng cần tìm là mặt phẳng (AD’C’B’).
Ta dễ dàng nhận thấy rằng I là trọng tâm của tam giác SAC nên \(\frac{SI}{SO}=\frac{2}{3}\)
Theo định lí Ta lét ta có \(\frac{SD'}{SD}=\frac{SI}{SO}=\frac{SB'}{SB}=\frac{2}{3}\)
Áp dụng công thức tính tỉ số thể tích của khối chóp tam giác (tứ diện) ta có:
\(\frac{{{V}_{SAD'C'}}}{{{V}_{SADC}}}=\frac{SA}{SA}.\frac{SD'}{SD}.\frac{SC'}{SC}=1.\frac{2}{3}.\frac{1}{2}=\frac{1}{3}\)
\(\frac{{{V}_{SAB'C'}}}{{{V}_{SABC}}}=\frac{SA}{SA}.\frac{SB'}{SB}.\frac{SC'}{SC}=1.\frac{2}{3}.\frac{1}{2}=\frac{1}{3}\)
Mà \({{V}_{SADC}}={{V}_{SABC}}=\frac{1}{2}{{V}_{SABCD}}\) nên \({{V}_{SAD'C'B'}}={{V}_{SAD'C'}}+{{V}_{SAB'C'}}=\frac{1}{2}.2.\frac{1}{2}{{V}_{SABCD}}=\frac{V}{3}\)
Chọn đáp án A.
2. Bài tập
Câu 1: Hình chóp S.ABC có A’B’C’ lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC; tỷ số thể tích của hai khối chóp SA’B’C’ và SABC là:
A. \(\frac{1}{4}\)
B. \(\frac{1}{6}\)
C. \(\frac{1}{10}\)
D. \(\frac{1}{8}\)
Hướng dẫn giải:
Sử dụng công thức \(\frac{{{V}_{S.A'B'C'}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\frac{SA'}{SA}.\frac{SB'}{SB}.\frac{SC'}{SC}=\frac{1}{8}\).
Chọn đáp án D.
Câu 2: Cho hàm số S.ABC. Trên 3 cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy 3 điểm A', B', C' sao cho \(SA'=\frac{1}{2}SA\); \(SB'=\frac{1}{2}SB;SC'=\frac{1}{2}SC\). Gọi V và V' lần lượt là thể tích của các khối chóp S.ABCD và S'.A'B'C'. Khi đó tỷ số \(\frac{V'}{V}\) là:
A. \(\frac{1}{8}\)
B. \(\frac{1}{12}\)
C. \(\frac{1}{6}\)
D. \(\frac{1}{16}\)
Hướng dẫn giải:
Áp dụng công thức tính tỉ số thể tích ta có
\(\frac{V'}{V}=\frac{SA'}{SA}.\frac{SB'}{SB}.\frac{SC'}{SC}=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{3}=\frac{1}{12}\)
Chọn đáp án B.
Câu 3: Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD.\) Gọi A', B', C', D' theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD, \(DA.\) Khi đó tỉ số thể tích của hai khối chóp S.A'B'C'D' và S.ABCD bằng ?
A. \(\frac{1}{2}\)
B. \(\frac{1}{3}\)
C. \(\frac{1}{4}\)
D. \(\frac{1}{8}\)
Hướng dẫn giải:
.png)
Ta thấy 2 hình chóp S.ABCD và S.A'B'C'D'. Có chung chiều cao kẻ từ đỉnh S xuống đáy. Vậy để đi tìm tỉ số khoảng cách thì chúng ta chỉ cần tìm tỉ số diện tích 2 đáy mà ta có hình vẽ như sau:
Ta thấy
\({{S}_{A'B'C'D'}}=A'D'.A'B'={{\left( \frac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}=\frac{{{a}^{2}}}{2}=\frac{1}{2}{{S}_{ABCD}}\)\(\Rightarrow \frac{{{V}_{A'B'C'D'}}}{{{V}_{ABCD}}}=\frac{1}{2}\)
Chọn đáp án A.
Câu 4: Hình chóp SABC có M, N, P theo thứ tự là trung điểm \(SA,\text{ }SB,\text{ }SC.\) Đặt \(k=\frac{{{V}_{MNPABC}}}{{{V}_{SABC}}}\). Khi đó giá trị của k là
A. \(\frac{8}{7}\)
B. \(\frac{7}{8}\)
C. 8
D. \(\frac{1}{8}\)
Hướng dẫn giải:
.png)
Ta có \(\frac{{{V}_{SMNP}}}{{{V}_{SABC}}}=\frac{SM}{SA}.\frac{SN}{SB}.\frac{SP}{SC}=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}=\frac{1}{8}\)
\(\Rightarrow \frac{{{V}_{MNPABC}}}{{{V}_{SABC}}}=\frac{{{V}_{SABC}}-{{V}_{SMNP}}}{{{V}_{SABC}}}=1-\frac{{{V}_{SMNP}}}{{{V}_{SABC}}}\frac{7}{8}\)
Chọn đáp án B.
Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành, M là trung điểm \(SC.\) Mặt phẳng (P) qua AM và song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại P và Q.Khi đó tỉ số thể tích giữa khối SAPMQ và khối SABCD bằng :
A. \(\frac{2}{9}\)
B. \(\frac{1}{8}\)
C. \(\frac{1}{3}\)
D. \(\frac{2}{3}\)
Hướng dẫn giải:
Vì mp song song với BD nên PQ song song với \(BD.\) Gọi O là tâmhình bình hành \(ABCD.\)
Suy luận được SO,AM, PQ đồng qui tại G và G là trọng tâm tam giác \(SAC.\)
Suy luận được tỉ số=\(\frac{SQ}{SD}=\frac{SP}{SB}=\frac{2}{3}\);
Chứng minh được tỉ số thể tích :\(\frac{{{V}_{SAQM}}}{{{V}_{SADC}}}=\frac{{{V}_{SAPM}}}{{{V}_{SABC}}}=\frac{1}{3}\);
Suy ra được:\(\frac{{{V}_{SAQM}}+{{V}_{SAPM}}}{{{V}_{SADC}}+{{V}_{SABC}}}=\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{{{V}_{SAPMQ}}}{{{V}_{SABCD}}}=\frac{1}{3}\)
Chọn đáp án C.
Câu 6: Cho hình chóp \(S.ABC,\,\,M\) là trung điểm của SB, điểm N thuộc SC thỏa \(SN=2NC.\) Tỉ số \(\frac{{{V}_{S.AMN}}}{{{V}_{S.ABC}}}\)
A. \(\frac{1}{6}\)
B. \(\frac{1}{5}\)
C. \(\frac{1}{4}\)
D. \(\frac{1}{3}\)
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án A.
\(\frac{{{V}_{S.AMN}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\frac{SM}{SB}.\frac{SN}{SC}=\frac{1}{2}.\frac{1}{3}=\frac{1}{6}\)
Câu 7: Cho khối tứ diện \(OABC\) với \(OA,\,\,OB,\,\,OC\) vuông góc từng đôi một và \(OA=a,\text{ }OB=2a,\text{ }OC=3a.\) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh \(AC,\,\,BC.\) Thể tích của khối tứ diện \(OCMN\) tính theo a bằng:
A. \(\frac{2{{a}^{3}}}{3}\)
B. \({{a}^{3}}\)
C. \(\frac{3{{a}^{3}}}{4}\)
D. \(\frac{{{a}^{3}}}{4}\)
Hướng dẫn giải:
\(\frac{{{V}_{COMN}}}{{{V}_{COAB}}}=\frac{CM}{CA}.\frac{CN}{CB}=\frac{1}{4}\) \(\Rightarrow {{V}_{COMN}}=\frac{1}{4}{{V}_{COAB}}=\frac{1}{4}.\frac{1}{3}.\frac{1}{2}OB.OC.OA=\frac{{{a}^{3}}}{4}\)(dvtt)
Chọn đáp án D.
Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có thể tích bằng 48 và ABCD là hình thoi. Các điểm M, N, P, Q lần lượt là các điểm trên các đoạn SA, SB, SC, SD thỏa mãn: \(SA=2SM,SB=3SN;\) \(SC=4SP;SD=5SQ\). Tính thể tích khối chóp S.MNPQ
A. \(\frac{2}{5}\)
B. \(\frac{4}{5}\)
C. \(\frac{6}{5}\)
D. \(\frac{8}{5}\)
Hướng dẫn giải:
Lưu ý công thức tỉ lệ thể tích chỉ dùng cho chóp tam giác chung đỉnh và tương ứng tỉ lệ cạnh. Ta có:
\(\frac{{{V}_{SMNP}}}{{{V}_{SABC}}}+\frac{{{V}_{SMQP}}}{{{V}_{SADC}}}=\frac{SM}{SA}.\frac{SN}{SB}.\frac{SP}{SC}+\frac{SM}{SA}.\frac{SQ}{SD}.\frac{SP}{SC}\)\(=\frac{1}{2}.\frac{1}{3}.\frac{1}{4}+\frac{1}{2}.\frac{1}{5}.\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{{{V}_{SMNPQ}}}{{{V}_{SABCD}}}=\frac{1}{2}.\left( \frac{{{V}_{SMNP}}}{{{V}_{SABC}}}+\frac{{{V}_{SMQP}}}{{{V}_{SADC}}} \right)=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{2}.\frac{1}{3}.\frac{1}{4}+\frac{1}{2}.\frac{1}{5}.\frac{1}{4} \right)\)\(\Rightarrow {{V}_{SMNPQ}}=1+\frac{3}{5}=\frac{8}{5}\)
Chọn đáp án D.
Câu 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy là \(\Delta ABC\) vuông cân ở B, \(AC=a\sqrt{2},SA=a\) và \(SA\bot \left( ABC \right)\). Gọi G là trọng tâm của \(\Delta SBC\), một mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua AG và song song vsơi BC cắt SC, SB lần lượt tại M, N. Thể tích khối chóp S.AMN bằng
A. \(\frac{4{{a}^{3}}}{27}\)
B. \(\frac{4{{a}^{3}}}{9}\)
C. \(\frac{4{{a}^{3}}}{27}\)
D. \(\frac{2{{a}^{3}}}{27}\)
Hướng dẫn giải:
.png)
Tam giác ABC vuông tại \(B\Rightarrow AC=AB\sqrt{2}\Leftrightarrow AB=BC=a\)
Gọi I là trung điểm BC, G là trọng tâm của tam giác SBC
Nên \(\frac{SG}{SI}=\frac{2}{3}\) mà MN song song với BC suy ra \(\frac{SM}{SC}=\frac{SN}{SB}=\frac{SG}{SI}=\frac{2}{3}\)
Do đó \(\frac{{{V}_{S.AMN}}}{{{V}_{S.ACB}}}=\frac{SM}{SC}.\frac{SN}{SB}=\frac{4}{9}\Rightarrow {{V}_{S.AMN}}=\frac{4}{9}{{V}_{S.ACB}}\)
Mặt khác \({{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}.SA.{{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{3}.a.\frac{1}{2}.{{a}^{2}}=\frac{{{a}^{3}}}{6}\)
Suy ra \({{V}_{S.AMN}}=\frac{4}{9}{{V}_{S.ACB}}=\frac{4}{9}.\frac{{{a}^{3}}}{6}=\frac{2{{a}^{3}}}{27}\).
Chọn đáp án D.
Câu 10: Cho khối chóp \(S.ABC.\) Lấy A', B' lần lượt thuộc SA, SB sao cho \(2SA'=3A'A;\text{ }3SB'=B'B.\) Tỉ số thể tích giữa hai khối chóp \(S.A'B'C\) và \(S.ABC\) là:
A. \(\frac{3}{20}\)
B. \(\frac{2}{15}\)
C. \(\frac{1}{6}\)
D. \(\frac{3}{10}\)
Hướng dẫn giải:
Tỉ số thể tích giữa hai khối chóp \(S.A'B'C\) và \(S.ABC\) là:
\(\frac{3}{5}\).\(\frac{1}{4}\)=\(\frac{3}{20}\).
Chọn đáp án A.
...
--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--
Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Phương pháp tính tỉ số thể tích hình chóp Toán 12. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.
Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.
Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:
Chúc các em học tốt!
