Chuyên đề tìm min max của hàm số trên một đoạn

1. Định nghĩa

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên tập D.

Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên D nếu: \(\left\{ \begin{array}{l}f(x) \le M,\forall x \in D\\\exists {x_0} \in D,f({x_0}) = M\end{array} \right.\).

Kí hiệu: \(M = \mathop {\max }\limits_{x \in D} {\kern 1pt} f(x)\).

Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\)trên \)D\) nếu: \(\left\{ \begin{array}{l}f(x) \ge m,\forall x \in D\\\exists {x_0} \in D,f({x_0}) = m\end{array} \right.\).

Kí hiệu: \(m = \mathop {\min }\limits_{x \in D} {\kern 1pt} f(x)\).

2. Phương pháp

• Bước 1. Tính đạo hàm \(f'(x)\).

• Bước 2. Tìm tất cả các nghiệm \({x_i} \in [a;b]\) của phương trình \(f'(x) = 0\) và tất cả các điểm \({\alpha _i} \in [a;b]\) làm cho \(f'(x)\) không xác định.

• Bước 3. Tính \(f(a)\), \(f(b)\), \(f({x_i})\), \(f({\alpha _i})\).

• Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận \(M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} {\kern 1pt} f(x)\), \(m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} {\kern 1pt} f(x)\).

Chú ý:

• Nếu \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left[ {a;b} \right]\) thì \(M = \mathop {max}\limits_{\left[ {a;b} \right]} {\kern 1pt} f(x) = f\left( b \right);\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} {\kern 1pt} f(x) = f\left( a \right)\).

• Nếu \(f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left[ {a;b} \right]\) thì \(M = \mathop {max}\limits_{\left[ {a;b} \right]} {\kern 1pt} f(x) = f\left( a \right);\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} {\kern 1pt} f(x) = f\left( b \right)\).

Ví dụ: Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} – 2{x^2} + 3\) trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\). Tổng M + m bằng

A.11. 

B.14. 

C.5. 

D.13.

Lời giải

Chọn D

Ta có \(f'(x) = 4{x^3} – 4x\) và \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0,x = \pm 1\).

Trên [0;2], ta xét các giá trị

\(f(0) = 3,{\rm{ }}f(1) = 2,{\rm{ }}f(2) = 11.\)

Do đó M = 11,m = 2 và M + m = 13.

Câu 1. Giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} – 8{x^2} + 16x – 9\) trên đoạn \(\left[ {1;\,3} \right]\) là

A. \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;\,3} \right]} f\left( x \right) = 5\). 

B. \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;\,3} \right]} f\left( x \right) = – 6\). 

C. \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;\,3} \right]} f\left( x \right) = \frac{{13}}{{27}}\). 

D. \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;\,3} \right]} f\left( x \right) = 0\).

Lời giải

Chọn C

Ta có \(f’\left( x \right) = 3{x^2} – 16x + 16 \Rightarrow f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} – 16x + 16 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4 \notin \left[ {1\,;\,3} \right]\\x = \frac{4}{3}\end{array} \right.\).

\(f\left( 1 \right) = 0\), \(f\left( 3 \right) = – 6\), \(\left[ {\overrightarrow {MB} ;\overrightarrow {MC} } \right].\overrightarrow {MN} = 0\).

Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;\,3} \right]} f\left( x \right) = \frac{{13}}{{27}}\).

Câu 2. Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^4} – 8{x^2} + 16\) trên đoạn \(\left[ { – 1;3} \right]\).

A. \(9\). 

B. \(19\). 

C. \(25\). 

D. \(0\).

Lời giải

Chọn C

\(y = {x^4} – 8{x^2} + 16 \Rightarrow y’ = 4{x^3} – 16x\).

Cho \(y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\\x = – 2 \notin \left[ { – 1\,;\,3} \right]\end{array} \right.\)

\(y\left( { – 1} \right) = 9;y\left( 2 \right) = 0;y\left( 3 \right) = 25\) .

Vậy \(\mathop {\max y}\limits_{\left[ { – 1;3} \right]} = 25\)

Câu 3. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y = x + 1 + \frac{4}{{x + 2}}\) trên đoạn [-1; 5].

A.\(\mathop {\max y}\limits_{\left[ { – 1;5} \right]} = 3\). 

B.\(\mathop {\max y}\limits_{\left[ { – 1;5} \right]} = 4\). 

C.\(\mathop {\max y}\limits_{\left[ { – 1;5} \right]} = – 5\). 

D.\(\mathop {\max y}\limits_{\left[ { – 1;5} \right]} = \frac{{46}}{7}\).

Lời giải

Chọn D

\(\begin{array}{l}y\,\,’ = 1 – \frac{4}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 4x}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\\y’ = 0 \Leftrightarrow x = 0;x = – 4\end{array}\).

\(f(0) = – 3;f( – 1) = 4;f(5) = \frac{{46}}{7}\).

Suy ra \(\mathop {\max y}\limits_{\left[ { – 1;5} \right]} = \frac{{46}}{7}\).

Câu 4. Tìm giá trị lớn nhất (max) và giá trị nhỏ nhất (min) của hàm số \(y = x + \frac{1}{x}\) trên đoạn \(\left[ {\frac{3}{2};\,3} \right]\).

A.\(\mathop {\max }\limits_{\left[ {\frac{3}{2};\,3} \right]} y = \frac{{10}}{3}\), \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {\frac{3}{2};\,3} \right]} y = \frac{5}{2}\). 

B.\(\mathop {\max }\limits_{\left[ {\frac{3}{2};\,3} \right]} y = \frac{{10}}{3}\), \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {\frac{3}{2};\,3} \right]} y = \frac{{13}}{6}\).

C.\(\mathop {\max }\limits_{\left[ {\frac{3}{2};\,3} \right]} y = \frac{{10}}{3}\), \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {\frac{3}{2};\,3} \right]} y = 2\). 

D.\(\mathop {\max }\limits_{\left[ {\frac{3}{2};\,3} \right]} y = \frac{{16}}{3}\), \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {\frac{3}{2};\,3} \right]} y = 2\).

Lời giải

Chọn B

Ta có:

\(y’ = 1 – \frac{1}{{{x^2}}}\), \(y’ = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 1 \notin \left[ {\frac{3}{2};\,3} \right]\\x = 1 \notin \left[ {\frac{3}{2};\,3} \right]\end{array} \right.\).

\(y\left( {\frac{3}{2}} \right) = \frac{{13}}{6}\), \(y\left( 3 \right) = \frac{{10}}{3}\).

Suy ra \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {\frac{3}{2};\,3} \right]} y = \frac{{10}}{3}\), \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {\frac{3}{2};\,3} \right]} y = \frac{{13}}{6}\).

Câu 5. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{{x + 2{m^2} – m}}{{x – 3}}\) trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) bằng \( – 2\).

A.m = – 1 hoặc \(m = \frac{3}{2}\). 

B.m = 2 hoặc \(m = – \frac{3}{2}\).

C.m = 1 hoặc \(m = – \frac{1}{2}\). 

D.m = 3 hoặc \(m = – \frac{5}{2}\).

Lời giải

Chọn A

\(y = \frac{{x + 2{m^2} – m}}{{x – 3}} \Rightarrow y’ = \frac{{ – 3 – 2{m^2} + m}}{{{{\left( {x – 3} \right)}^2}}} < 0\)

\( \Rightarrow {y_{\min }} = {y_{\left( 1 \right)}} = \frac{{2{m^2} – m + 1}}{{ – 2}}\)

\( \Rightarrow {y_{\min }} = – 2 \Leftrightarrow \frac{{2{m^2} – m + 1}}{{ – 2}} = – 2 \Leftrightarrow 2{m^2} – m + 1 = 4\)

\( \Leftrightarrow 2{m^2} – m – 3 – 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = – 1\\m = \frac{3}{2}\end{array} \right.\)

Câu 6. Số các giá trị tham số m để hàm số \(y = \frac{{x – {m^2} – 1}}{{x – m}}\) có giá trị lớn nhất trên \(\left[ {0;\,4} \right]\) bằng \( – 6\) là

A.0. 

B.2. 

C.1. 

D.3.

Lời giải.

Chọn C

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ m \right\}\).

Có \(y’ = \frac{{{m^2} – m + 1}}{{{{\left( {x – m} \right)}^2}}} > 0\), \(\forall x \in D\) (do \({m^2} – m + 1 = {\left( {m – \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0\), \(\forall m \in \mathbb{R}\)).

Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { – \infty ;\,m} \right)\) và \(\left( {m;\, + \infty } \right)\).

Suy ra \(\mathop {max}\limits_{\left[ {0;\,4} \right]} f\left( x \right) = f\left( 4 \right)\)

Để hàm số đã cho có giá trị lớn nhất trên \(\left[ {0;\,4} \right]\) bằng \( – 6\) thì

\(\left\{ \begin{array}{l}m \notin \left[ {0;\,4} \right]\\f\left( 4 \right) = – 6\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \notin \left[ {0;\,4} \right]\\\frac{{3 – {m^2}}}{{4 – m}} = – 6\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \notin \left[ {0;\,4} \right]\\{m^2} + 6m – 27 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \notin \left[ {0;\,4} \right]\\\left[ \begin{array}{l}m = 3\\m = – 9\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow m = – 9\).

Vậy có một giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Chuyên đề tìm min max của hàm số trên một đoạn. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Ứng dụng đơn điệu của hàm số trong tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

• Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất liên quan đến hàm số lượng giác

Chúc các em học tập tốt!