Chuyên đề ôn thi THPT QG về tính đơn điệu của hàm số

1. Định nghĩa 1

Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và $y=f\left(x\right)$ là một hàm số xác định trên K. Ta nói:

+ Hàm số $y=f\left(x\right)$ được gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu

$\mathrm{\forall }{x}_1,x_2\in K,x_1<x_2\Rightarrow f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$

+ Hàm số $y=f\left(x\right)$ được gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu

$\mathrm{\forall }{x}_1,x_2\in K,x_1<x_2\Rightarrow f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K gọi chung là đơn điệu trên K.

2. Nhận xét

a. Nhận xét 1

Nếu hàm số $f\left(x\right)$ và $g\left(x\right)$ cùng đồng biến (nghịch biến) trên K thì hàm số $f\left(x\right)+g\left(x\right)$ cũng đồng biến (nghịch biến) trên K. Tính chất này có thể không đúng đối với hiệu $f\left(x\right)–g\left(x\right)$.

b. Nhận xét 2

Nếu hàm số$f\left(x\right)$ và $g\left(x\right)$ là các hàm số dương và cùng đồng biến (nghịch biến) trên K thì hàm số $f\left(x\right).g\left(x\right)$ cũng đồng biến (nghịch biến) trên K. Tính chất này có thể không đúng khi các hàm số $f\left(x\right),g\left(x\right)$ không là các hàm số dương trên K.

c. Nhận xét 3

Cho hàm số $u=u\left(x\right)$, xác định với $x\in \left(a;b\right)$ và $u\left(x\right)\in \left(c;d\right)$. Hàm số $f\left[u\left(x\right)\right]$ cũng xác định với $x\in \left(a;b\right)$. Ta có nhận xét sau:

Giả sử hàm số $u=u\left(x\right)$ đồng biến với $x\in \left(a;b\right)$. Khi đó, hàm số $f\left[u\left(x\right)\right]$ đồng biến với $x\in \left(a;b\right)\iff f\left(u\right)$ đồng biến với $u\in \left(c;d\right)$.

3. Định lí 1

Giả sử hàm số $f$ có đạo hàm trên khoảng K. Khi đó:

a) Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì $f^{\prime }\left(x\right)\ge 0,\mathrm{\forall }x\in K$.

b) Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì $f^{\prime }\left(x\right)\le 0,\mathrm{\forall }x\in K$.

4. Định lí 2

Giả sử hàm số $f$ có đạo hàm trên khoảng K. Khi đó:

a) Nếu $f^{\prime }\left(x\right)>0,\mathrm{\forall }x\in K$ thì hàm số $f$ đồng biến trên K.

b) Nếu $f^{\prime }\left(x\right)<0,\mathrm{\forall }x\in K$ thì hàm số $f$ nghịch biến trên K.

c) Nếu $f^{\prime }\left(x\right)=0,\mathrm{\forall }x\in K$ thì hàm số $f$ không đổi trên K.

Chú ý: Khoảng K trong định lí trên ta có thể thay thế bởi đoạn hoặc một nửa khoảng. Khi đó phải có thêm giả thuyết “ Hàm số liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó’. Chẳng hạn:

Nếu hàm số $f$ liên tục trên đoạn $\left[a;b\right]$ và $f^{\prime }\left(x\right)>0,\mathrm{\forall }x\in \left(a;b\right)$ thì hàm số $f$ đồng biến trên đoạn $\left[a;b\right]$.

Ta thường biểu diển qua bảng biến thiên như sau:

5. Định lí 3 (mở rộng của định lí 2)

Giả sử hàm số $f$ có đạo hàm trên khoảng K. Khi đó:

a) Nếu $f^{\prime }\left(x\right)\ge 0,\mathrm{\forall }x\in K$ và $f^{\prime }\left(x\right)=0$ chỉ tại hữu hạn điểm thuộc K thì hàm số $f$ đồng biến trên K.

b) Nếu $f^{\prime }\left(x\right)\le 0,\mathrm{\forall }x\in K$ và $f^{\prime }\left(x\right)=0$ chỉ tại hữu hạn điểm thuộc K thì hàm số $f$ đồng biến trên K.

Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số.

Giả sử hàm số $f$ có đạo hàm trên K

· Nếu $f^{\prime }\left(x\right)\ge 0$ với mọi $x\in K$ và $f^{\prime }\left(x\right)=0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm $x\in K$ thì hàm số $f$ đồng biến trên K.

· Nếu $f^{\prime }\left(x\right)\le 0$ với mọi $x\in K$ và $f^{\prime }\left(x\right)=0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm $x\in K$ thì hàm số $f$ nghịch biến trên K.

Chú ý:

*) Riêng hàm số: $y=\frac{ax+b}{cx+d}$. Có TXĐ là tập D. Điều kiện như sau:

+) Để hàm số đồng biến trên TXĐ thì $y^{\prime }>0,\mathrm{\forall }x\in D$

+) Để hàm số nghịch biến trên TXĐ thì $y^{\prime }>0,\mathrm{\forall }x\in D$

+) Để hàm số đồng biến trên khoảng $\left(a;b\right)$ thì $\{\begin{array}{l}{y}^{\prime }>0,\mathrm{\forall }x\in \left(a,b\right)\\ x\ne –\frac{d}{c}\end{array}$

+) Để hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(a;b\right)$ thì $\{\begin{array}{l}{y}^{\prime }<0,\mathrm{\forall }x\in \left(a,b\right)\\ x\ne –\frac{d}{c}\end{array}$

Giả sử $y=f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d\Rightarrow f^{\prime }\left(x\right)=3a{x}^2+2bx+c.$

Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$

$\iff f^{\prime }\left(x\right)\ge 0;\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}\iff [\begin{array}{l}\{\begin{array}{c}a>0\\ \mathrm{\Delta }\le 0\end{array}\\ \{\begin{array}{c}a=0\\ b=0\\ c>0\end{array}\end{array}.$

Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$

$\iff f^{\prime }\left(x\right)\le 0;\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}\iff [\begin{array}{l}\{\begin{array}{c}a<0\\ \mathrm{\Delta }\le 0\end{array}\\ \{\begin{array}{c}a=0\\ b=0\\ c<0\end{array}\end{array}.$

Trường hợp 2 thì hệ số c khác 0 vì khi $a=b=c=0$ thì$f\left(x\right)=d$

(Đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox thì không đơn điệu)

Ví dụ: Hàm số nào dưới đây đồng biến trên $\mathbb{R}$?

A. $y=\frac{x+1}{x–2}.$ 

B. $y=x^2+2x.$ 

C. $y=x^3–x^2+x.$ 

D. $y=x^4–3x^2+2.$

Lời giải

Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ trước hết phải có tập xác định $D=\mathbb{R},$ loại câu A, xét các câu khác. Chỉ có $(x^3–x^2+x{)}^{\prime }=3x^2–2x+1>0,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$ nên $y=x^3–x^2+x$ đồng biến trên $\mathbb{R}.$

Câu 1. Cho hàm số $y=\frac{x–2}{x+1}$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(–\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty }\right)$.

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(–1;+\mathrm{\infty }\right)$.

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(–\mathrm{\infty };–1\right)$.

D. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(–\mathrm{\infty };–1\right)$.

Lời giải

Chọn D

Tập xác định: $\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{–1\right\}$.

Ta có $y^{\prime }=\frac{3}{{\left(x+1\right)}^2}>0$, $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{–1\right\}$.

Câu 2. Cho hàm số $y=x^3–3x^2$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(0;2\right)$. 

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(0;2\right)$.

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(–\mathrm{\infty };0\right)$. 

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(2;+\mathrm{\infty }\right)$.

Lời giải

Chọn B

Ta có $y^{\prime }=3x^2–6x$; $y^{\prime }=0\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x=2\end{array}$.

Lập bảng biến thiên rồi suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(0;2\right)$

Câu 3. Cho hàm số $y=\sqrt{x^2–1}$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(1;+\mathrm{\infty }\right)$. 

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng$\left(–\mathrm{\infty };0\right)$.

C. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$. 

D. Hàm số đồng biến trên $\left(–\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty }\right)$.

Lời giải

Chọn A

Hàm số có tập xác định $D=\left(–\mathrm{\infty };–1\right]\cup \left[1;+\mathrm{\infty }\right)$ nên loại B, C, D.

Câu 4. Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đạo hàm $f^{\prime }\left(x\right)={\left(1–x\right)}^2{\left(x+1\right)}^3\left(3–x\right)$. Hàm số $y=f\left(x\right)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $\left(–\mathrm{\infty };1\right)$. 

B. $\left(–\mathrm{\infty };–1\right)$. 

C. $\left(1;3\right)$. 

D. $\left(3;+\mathrm{\infty }\right)$.

Lời giải

Chọn C

Ta có: $f^{\prime }\left(x\right)=0\iff {\left(1–x\right)}^2{\left(x+1\right)}^3\left(3–x\right)=0\iff [\begin{array}{c}x=1\\ x=–1\\ x=3\end{array}$.

Bảng xét dấu:

Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(–1;3\right)$.

Câu 5. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3+m{x}^2+4x–m$ đồng biến trên khoảng $\left(–\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty }\right)$.

A. $\left[–2;2\right]$. 

B. $\left(–\mathrm{\infty };2\right)$. 

C. $\left(–\mathrm{\infty };–2\right]$. 

D. $\left[2;+\mathrm{\infty }\right)$.

Lời giải

Chọn A

Ta có: $y^{\prime }=x^2+2mx+4$.

Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(–\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty }\right)$ khi và chỉ khi $y^{\prime }\ge 0,\mathrm{\forall }x\in \left(–\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty }\right)$.

$\iff \mathrm{\Delta }‘=m^2–4\le 0\iff –2\le m\le 2$.

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Chuyên đề ôn thi THPT QG về tính đơn điệu của hàm số. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Phương pháp tìm giá trị của tham số để hàm số đơn điệu trên miền D

• Ứng dụng đơn điệu của hàm số trong tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Chúc các em học tập tốt!