Chuyên đề bất phương trình mũ và lôragit vận dụng cao ôn thi tốt nghiệp THPT

1. Bất phương trình mũ

+ Nếu a > 1 thì $a^{f\left(x\right)}>a^{g\left(x\right)}\iff f\left(x\right)>g\left(x\right)$.

+ Nếu 0 < a < 1 thì $a^{f\left(x\right)}>a^{g\left(x\right)}\iff f\left(x\right)<g\left(x\right)$.

+ Nếu a chứa ẩn thì $a^{f\left(x\right)}>a^{g\left(x\right)}\iff \left(a–1\right)\left[f\left(x\right)–g\left(x\right)\right]>0$

2. Bất phương trình logarit

+ Nếu a > 1 thì ${\log }_{a}f\left(x\right)>{\log }_{a}g\left(x\right)\iff f\left(x\right)>g\left(x\right)$

+ Nếu 0 < a < 1 thì ${\log }_{a}f\left(x\right)>{\log }_{a}g\left(x\right)\iff f\left(x\right)<g\left(x\right)$

+ Nếu a chứa ẩn thì $[\begin{array}{l}{\log }_{a}B>0\iff \left(a–1\right)\left(B–1\right)>0\\ \frac{{\log }_{a}A}{{\log }_{a}B}>0\iff \left(A–1\right)\left(B–1\right)>0\end{array}$.

Ví dụ: 

Có bao nhiêu số nguyên dương y sao cho ứng với mỗi y có không quá 10 số nguyên x thỏa mãn $\left(2^{x+1}–\sqrt{2}\right)\left(2^x–y\right)<0?$

A. 1024. 

B. 2047. 

C. 1022. 

D. 1023.

Lời giải

Chọn A

Cách 1:

Ta có: $y\ge 1\iff {\log }_{2}y\ge 0$. Gọi $\left(2^{x+1}–\sqrt{2}\right)\left(2^x–y\right)<0$ (*)

+ Trường hợp 1: $\{\begin{array}{l}{2}^{x+1}–\sqrt{2}<0\\ 2^x–y>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{2}^x<\frac{\sqrt{2}}{2}\\ 2^x>y\ge 1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x<–\frac{1}{2}\\ x>{\log }_{2}y\ge 0\end{array}\iff VN$

+ Trường hợp 2: $\{\begin{array}{l}{2}^{x+1}–\sqrt{2}>0\\ 2^x–y<0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{2}^x>\frac{\sqrt{2}}{2}\\ 2^x>y\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x>–\frac{1}{2}\\ x<{\log }_{2}y\end{array}\iff –\frac{1}{2}<x<{\log }_{2}y$

Theo đề bài, ứng với mỗi số nguyên dương y có không quá 10 số nguyên x thỏa mãn bất phương trình (*) tương đương với tập nghiệm $S=\left(\frac{1}{2};{\log }_{2}y\right)$ chứa không quá 10 số nguyên, nghĩa là: $\{\begin{array}{c}y\in {\mathbb{Z}}^{+}\\ {\log }_{2}y\le 10\end{array}\iff \{\begin{array}{c}y\in {\mathbb{Z}}^{+}\\ y\le 2^{10}=1024\end{array}$

Vậy có tất cả 1024 giá trị y thỏa mãn yêu cầu đề.

Cách 2:

Đặt $t=2^x>0$ thì ta có bất phương trình $(2t–\sqrt{2})(t–y)<0$ hay $(t–\frac{\sqrt{2}}{2})(t–y)<0(\ast ).$

Vì $y\in {\mathbb{Z}}^{+}$ nên $y>\frac{\sqrt{2}}{2}$, do đó $(\ast )\iff \frac{\sqrt{2}}{2}<t<y\iff \frac{\sqrt{2}}{2}<2^x<y\iff –\frac{1}{2}<x<{\log }_{2}y.$

Nếu ${\log }_{2}y>10$ thì $x\in \{0,1,2,\dots ,10\}$ đều là nghiệm nên không thỏa yêu vầu bài toán. Suy ra ${\log }_{2}y\le 10$ hay $y\le 2^{10}=1024$, mà $y\in {\mathbb{Z}}^{+}$ nên $y\in \{1,2,\dots ,1024\}.$

Câu 1. Giả sử $\left(x_0;y_0\right)$ là cặp nghiệm nguyên không âm có tổng $S=x_0+y_0$ lớn nhất của bất phương trình $4^x+2^x{.3}^y–{9.2}^x+3^y\le 10$, giá trị của S bằng

A. 2. 

B. 4. 

C 3

D. 5

Lời giải:

Chọn C

Ta có $4^x+2^x{.3}^y–{9.2}^x+3^y\le 10\iff \left(2^x+1\right)\left(2^x+3^y–10\right)\le 0$.

Vì $2^x+1>0$ nên bất phương trình tương đương với $2^x+3^y–10\le 0$.

Với cặp số $\left(x,y\right)$ nguyên không âm thì $\left(x,y\right)$ chỉ có thể là: $\left(0;0\right),\left(0;1\right),\left(0;2\right),\left(1;0\right),\left(1;1\right),\left(2;0\right);\left(2;1\right),\left(3;0\right)$.

Vậy tổng S = 3.

Câu 2. Có bao nhiêu cặp số nguyên dương $\left(x;y\right)$ thỏa mãn $1\le x\le 10$ và $x+x^2–9^y\ge 3^y$

A. 10 

B. 11 

C. 9

D. 8

Lời giải

Chọn A

Ta có $x+x^2–9^y\ge 3^y\iff x+x^2\ge 9^y+3^y$.

Xét hàm số đặc trưng $f\left(t\right)=t^2+t$ với t > 0.

Ta có $f^{\prime }\left(t\right)=2t+1>0,\mathrm{\forall }t>0\$suyra\text{(}f\left(t\right)$ là hàm số đồng biến trên $\left(t>0\right)$.

Suy ra $x+x^2\ge 9^y+3^y\iff f\left(x\right)\ge f\left(3^y\right)\iff x\ge 3^y$.

Với giả thiết $1\le x\le 10$ ta có: $3^y\le 10\Rightarrow y\le 2$.

TH1: $y=1\Rightarrow 3^1\le x\le 10\Rightarrow x\in \left\{3;4;5;6;7;8;9;10\right\}$ có 8 cặp nghiệm $\left(x;y\right)$ thỏa mãn.

TH2: $y=2\Rightarrow 3^2=9\le x\le 10\Rightarrow x\in \left\{9;10\right\}$ có 2 cặp nghiệm $\left(x;y\right)$ thỏa mãn.

Vậy có tất cả 10 cặp nghiệm $\left(x;y\right)$ thỏa mãn.

Câu 3. Có bao nhiêu cặp số nguyên $\left(x;y\right)$ thỏa mãn $x,y\in \left[5;50\right]$ và $\sqrt{x}\ge y^2+2y–x+2+\sqrt{y^2+2y+2}$

A. 2

B. 5

C. 15

D. 11

Lời giải

Chọn C

Có $\sqrt{x}\ge y^2+2y–x+2+\sqrt{y^2+2y+2}\iff x+\sqrt{x}\ge y^2+2y+2+\sqrt{y^2+2y+2}$ (2)

Xét hàm số $f\left(t\right)=t+\sqrt{t}$ trên khoảng $\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$ ta có:

$f^{\prime }\left(t\right)=1+\frac{1}{2\sqrt{t}}>0,\mathrm{\forall }t>0\Rightarrow f\left(t\right)$ đồng biến.

$\left(2\right)\iff f\left(x\right)\ge f\left(y^2+2y+2\right)\iff x\ge y^2+2y+2$.

Do $x,y\in \left[5;50\right]$ nên $5\le y^2+2y+2\le 50\iff 4\le {\left(y+1\right)}^2\le 49\iff 1\le y\le 6$

Do $y\in \mathbb{Z}$ và $y\in \left[5;50\right]$ nên y = 5 hoặc y = 6.

Với y = 5 có $37=y^2+2y+2\le x\le 50\Rightarrow x\in \left\{37;38;\dots ;50\right\}$ có 14 cặp $\left(x;y\right)$ thỏa mãn.

Với y = 6 có $50=y^2+2y+2\le x\le 50\Rightarrow x=50$ có 1 cặp $\left(x;y\right)$ thỏa mãn.

Vậy có tất cả 15 cặp $\left(x;y\right)$ thỏa mãn.

Câu 4. Có bao nhiêu cặp số nguyên dương $\left(x;y\right)$ thỏa mãn $\log \left(2x+2^y\right)\le 1$

A. 10

B. 11

C. 9

D. 8

Lời giải

Chọn D

$\log \left(2x+2^y\right)\le 1\iff \{\begin{array}{l}2x+2^y>0\\ 2x+2^y\le 10\end{array}\iff 2x+2^y\le 10$ (vì $\left(x;y\right)$ nguyên dương).

$\left(x;y\right)$ nguyên dương nên $2x+2^y\le 10\Rightarrow 2^y\le 8\Rightarrow 1\le y\le 3$.

Với $y=1\Rightarrow 2x\le 8\Rightarrow x\le 4\Rightarrow x\in \left\{1;2;3;4\right\}$ có 4 cặp $\left(x;y\right)$ thỏa mãn.

Với $y=2\Rightarrow 2x\le 6\Rightarrow x\le 3\Rightarrow x\in \left\{1;2;3\right\}$ có 3 cặp $\left(x;y\right)$ thỏa mãn.

Với $y=3\Rightarrow 2x\le 2\Rightarrow x\le 1\Rightarrow x=1$ có 1 cặp $\left(x;y\right)$ thỏa mãn.

Vậy có tất cả 8 cặp $\left(x;y\right)$ thỏa mãn đề bài.

Câu 5. Có bao nhiêu cặp số nguyên dương $\left(x;y\right)$ thỏa mãn ${2.2}^x+x+{\sin }^{2}y\le 2^{{\cos }^{2}y}$

A. 1

B. 0

C. 2

D. 3

Lời giải:

Chọn B

Ta có ${2.2}^x+x+{\sin }^{2}y\le 2^{{\cos }^{2}y}\iff 2^{x+1}+x+1\le 2^{{\cos }^{2}y}+{\cos }^{2}y$. (1)

Đặt $f\left(t\right)=2^t+t\Rightarrow f^{\prime }\left(t\right)=2^t.\ln 2+1>0,\mathrm{\forall }t>0$.

Suy ra hàm số $y=f\left(t\right)$ là hàm số đồng biến trên $\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$.

Suy ra $\left(1\right)\iff f\left(x+1\right)\le f\left({\cos }^{2}y\right)\iff x+1\le {\cos }^{2}y\iff x\le –{\sin }^{2}y\Rightarrow x\le 0$ vô lí.

Vậy không tồn tại cặp số nguyên dương $\left(x;y\right)$ nào thỏa mãn đề bài.

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Chuyên đề bất phương trình mũ và lôragit vận dụng cao ôn thi tốt nghiệp THPT. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Phương pháp tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về một phía, hai phía của hệ trục tọa độ

• Phương pháp tìm điều kiện để hàm số có cực trị cùng dấu hoặc trái dấu Toán 12

Chúc các em học tập tốt!