Chuyên đề tìm GTLN và GTNN của hàm hợp trên đoạn Toán 12

1. Giá trị lớn nhất

Định nghĩa:

Số M gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên D nếu

\(i)\,\forall x \in D:f(x) \le M\,\)

\(ii)\,\exists {x_0} \in D:f({x_0}) = M\)

Kí hiệu \(M = \mathop {\max }\limits_{x \in D} f(x)\).

2. Giá trị nhỏ nhất

Định nghĩa:

Số m gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên D nếu

\(i)\,\forall x \in D:f(x) \ge m\,\)

\(ii)\,\exists {x_0} \in D:f({x_0}) = m\)

Kí hiệu \(m = \mathop {\min }\limits_{x \in D} f(x)\).

3. Cách tìm GTLN và GTNN của hàm số trên 1 đoạn.

Định lý 1: Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.

Quy tắc tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục trong 1 đoạn

Nhận xét. Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f’\left( x \right)\) giữ nguyên dấu trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\)thì hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên cả đoạn . Do đó, \(f\left( x \right)\) đạt được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất tại các đầu mút của đoạn.

Quy tắc: Để tìm GTLN, GTNN của hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\)ta làm như sau

• B1: Tính \(f’\left( x \right)\) và tìm các điểm \({x_1},{\rm{ }}{x_2},…,{x_n}\) mà tại đó \(f’\left( x \right) = 0\) hoặc hàm số \(f’\left( x \right)\) không xác định.

• B2: Tính các giá trị \(f({x_1}),f({x_2}),…,f({x_n}),f(a),f(b)\).

• B3: Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Khi đó

\(M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;\,b} \right]} f(x); m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {a\,;\,b} \right]} f(x)\)

* Hàm số liên tục trên 1 khoảng có thể không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên khoảng đó.

Ví dụ: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị \(f’\left( x \right)\) như hình vẽ

Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) + \frac{1}{3}{x^3} – x\) trên đoạn \(\left[ { – 1;2} \right]\) bằng

A.\(f\left( 2 \right) + \frac{2}{3}\). 

B. \(f\left( { – 1} \right) + \frac{2}{3}\). 

C. \(\frac{2}{3}\). 

D. \(f\left( 1 \right) – \frac{2}{3}\).

Lời giải

Chọn D

Ta có \(g\left( x \right) = f\left( x \right) + \frac{1}{3}{x^3} – x\)\( \Rightarrow g’\left( x \right) = f’\left( x \right) + {x^2} – 1\)

\(g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f’\left( x \right) = – {x^2} + 1 \Leftrightarrow x = \pm 1\)

Bảng biến thiên

Từ BBT ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 1;2} \right]} g\left( x \right) = g\left( 1 \right) = f\left( 1 \right) – \frac{2}{3}\).

Câu 1. Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị hàm số \(y = f’\left( x \right)\) như hình vẽ

Đặt \(g\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} – x – f\left( x \right) + 2020\). Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(g\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { – \sqrt 3 ;\,\sqrt 3 } \right]\). Hãy tính M + m.

A. \(f\left( {\sqrt 3 } \right) + f\left( { – \sqrt 3 } \right)\). 

B. \(f\left( {\sqrt 3 } \right) – f\left( { – \sqrt 3 } \right)\).

C. \(2020 + f\left( { – \sqrt 3 } \right)\). 

D. \(4040 – f\left( {\sqrt 3 } \right) – f\left( { – \sqrt 3 } \right)\).

Lời giải

Chọn D

Xét \(g\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} – x – f\left( x \right) + 2020\), với \(x \in \left[ { – \sqrt 3 \,;\,\sqrt 3 } \right]\).

Ta có \(g’\left( x \right) = {x^2} – 1 – f’\left( x \right)\).

\(g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \)\(f’\left( x \right) = {x^2} – 1\Leftrightarrow \)\(\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm \sqrt 3 \end{array} \right.\).

Bảng biến thiên của hàm số \(g\left( x \right)\)

Do đó

\(M = \mathop {\max }\limits_{\left[ { – \sqrt 3 \,;\,\sqrt 3 } \right]} g\left( x \right) = g\left( {\sqrt 3 } \right) = – f\left( {\sqrt 3 } \right) + 2020\),

\(m = \mathop {\min }\limits_{\left[ { – \sqrt 3 \,;\,\sqrt 3 } \right]} g\left( x \right) = g\left( { – \sqrt 3 } \right) = – f\left( { – \sqrt 3 } \right) + 2020\).

Vậy \(M + m = – f\left( {\sqrt 3 } \right) – f\left( { – \sqrt 3 } \right) + 4040.\)

Câu 2. Cho hàm số \(f(x)\). Biết hàm số \(y = f'(x)\) có đồ thị như hình bên. Trên đoạn \({\rm{[}} – 4;3]\),hàm số\(g(x) = 2f(x) + {(1 – x)^2}\)đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm.

A. \({x_0} = – 1\). 

B. \({x_0} = 3\). 

C. \({x_0} = – 4\). 

D. \({x_0} = – 3\).

Lời giải

Chọn A

Ta có \(g(x) = 2f(x) + {(1 – x)^2} \Rightarrow g'(x) = 2f'(x) – 2(1 – x) = 2[f'(x) – (1 – x){\rm{]}}\)

\(g'(x) = 0 \Leftrightarrow f'(x) = 1 – x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 4\\x = – 1\\x = 3\end{array} \right.\).

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, suy ra \(g(x)\) đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn \({\rm{[}} – 4;3]\) tại \({x_0} = – 1\)

Ta có:\(g(x) = 2f(x) + {(1 – x)^2} \Rightarrow g'(x) = 2f'(x) – 2(1 – x) = 2[f'(x) – (1 – x){\rm{]}}\)

Vì trong đoạn \({\rm{[}} – 4; – 1]\) đồ thị hàm số \(y = f'(x)\) nằm phía dưới đồ thị hàm số \(y = 1 – x\)

\(\Rightarrow f'(x) < 1 – x\forall x \in {\rm{[}} – 4; – 1] \Rightarrow g'(x) < 0\forall x \in [ – 4; – 1] \Rightarrow g(x)\) nghịch biến trên \({\rm{( – 4; – 1)}}\)

\( \Rightarrow g( – 4) > g( – 3) > g( – 1)\) (*)

Vì trong đoạn \({\rm{[ – 1;3}}]\) đồ thị hàm số \(y = f'(x)\) nằm phía trên đồ thị hàm số \(y = 1 – x\)

\( \Rightarrow f'(x) > 1 – x\forall x \in {\rm{[ – 1}};3] \Rightarrow g'(x) > 0\forall x \in [ – 1;3] \Rightarrow g(x)\) đồng biến trên \({\rm{( – 1;3)}}\)

\( \Rightarrow g(3) > g( – 1)(**)\)

Từ (*) và (**) suy ra \(g(x)\) đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn \({\rm{[}} – 4;3]\) tại \({x_0} = – 1\)

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Chuyên đề tìm GTLN và GTNN của hàm hợp trên đoạn Toán 12. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Chuyên đề viết phương trình mặt cầu Toán 12

• Phương pháp tìm điều kiện để hàm số có cực trị cùng dấu hoặc trái dấu Toán 12

Chúc các em học tập tốt!