Chuyên đề ôn thi THPT QG về Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Vấn đề 1: Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

-Phương pháp: Để tìm góc giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ta thực hiện các bước sau:

①. Tìm $O=a\cap \left(\alpha \right)$.

②. Lấy $A\in a$ và dựng $AH\mathrm{\perp }\left(\alpha \right)$ tại H. Khi đó $\left(a,\left(\alpha \right)\right)=\left(a,a^{\prime }\right)=\widehat{AOH}$.

③. Tính số đo của góc $\widehat{AOH}$

Chú ý: $0^0\le (\widehat{a,(\alpha )})\le {90}^0$

Vấn đề 2: Tính góc giữa hai mặt phẳng.

-Phương pháp:

Cho hai mặt phẳng $\left(\alpha \right)\mathrm{\perp }\left(\beta \right)$ và $\left(\alpha \right)\cap \left(\beta \right)=\mathrm{\Delta }$. Trong $\left(\alpha \right)$ vẽ đường thẳng $a\mathrm{\perp }\mathrm{\Delta }$ và trong $\left(\beta \right)$ vẽ đường thẳng $b\mathrm{\perp }\mathrm{\Delta }$. Khi đó, ta có$\widehat{\left(\left(\alpha \right),\left(\beta \right)\right)}=\widehat{\left(a,b\right)}$.

Ví dụ: Cho hình chóp $S.ABC$, có cạnh bên $SA\mathrm{\perp }\left(ABC\right)$. Góc giữa đường thẳng $SC$ và đáy là góc nào dưới đây?

A.$\widehat{SAC}$. 

B.$\widehat{SCA}$ hoặc ${180}^{\circ }–\widehat{SCA}$.

C.$\widehat{SCA}$. 

D.$\widehat{CSA}$.

Lời giải

Chọn C

Hình chiếu vuông góc của $SC$ lên $\left(ABC\right)$ là AC, cho nên:

$\left(SC,\left(ABC\right)\right)=\left(SC,AC\right)=\widehat{SCA}$.

Câu 1: [Mức độ 2] Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh a, biết $SA\mathrm{\perp }\left(ABCD\right)$ và $SA=a\sqrt{5}$. Gọi M là trung điểm của $SB$. Tính góc giữa đường thẳng CM và $\left(ABCD\right)$

A.${30}^{\circ }$. 

B.${45}^{\circ }$. 

C.${60}^{\circ }$. 

D.${90}^{\circ }$.

Lời giải

Chọn B

Gọi N là trung điểm của đoạn $AB$.

MN là đường trung bình của tam giác $SAB$ nên $MN=\frac{1}{2}SA=\frac{a\sqrt{5}}{2}$ đồng thời $MN\mathrm{\perp }\left(ABCD\right)$.

Hình chiếu vuông góc của CM lên đáy $\left(ABCD\right)$ là CN, cho nên

$\left(CM,\left(ABCD\right)\right)=\left(CM,CN\right)=\widehat{MCN}$.

Ta có $N{C}^2=B{C}^2+B{N}^2=a^2+\frac{a^2}{4}=\frac{5a^2}{4}\Rightarrow CN=\frac{a\sqrt{5}}{2}$

Trong tam giác vuông CMN ta có: $\tan \widehat{MCN}=\frac{MN}{NC}=\frac{\frac{a\sqrt{5}}{2}}{\frac{a\sqrt{5}}{2}}=1\Rightarrow \widehat{MCN}={45}^{\circ }$.

Vậy góc giữa CM và đáy bằng ${45}^{\circ }$.

Câu 2: [Mức độ 2] Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh bằng 2, biết $SA\mathrm{\perp }\left(ABCD\right)$ và $SA=2\sqrt{5}$. Gọi M là trung điểm của $SD$. Tính góc giữa đường thẳng BM và $\left(ABCD\right)$

A.${30}^{\circ }$. 

B.${45}^{\circ }$. 

C.${60}^{\circ }$. 

D.${90}^{\circ }$.

Lời giải

Chọn B

Gọi N là trung điểm của đoạn $AB$.

MN là đường trung bình của tam giác $SAD$ nên $MN=\frac{1}{2}SA=\sqrt{5}$ đồng thời $NP\mathrm{\perp }\left(ABCD\right)$.

Hình chiếu vuông góc của BM lên đáy $\left(ABCD\right)$ là BN, cho nên

$\left(BM,\left(ABCD\right)\right)=\left(BM,BN\right)=\widehat{MBN}$.

Ta có $B{N}^2=A{B}^2+A{N}^2=2^2+1^2=5\Rightarrow BN=\sqrt{5}$

Trong tam giác vuông CMN ta có: $\tan \widehat{MBN}=\frac{MN}{BN}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=1\Rightarrow \widehat{MBN}={45}^{\circ }$.

Vậy góc giữa BM và đáy bằng ${45}^{\circ }$.

Câu 3: [Mức độ 2] Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh bằng a, biết $SA\mathrm{\perp }\left(ABCD\right)$ và $SA=2a$. Gọi M và N lần lượt là là trung điểm của $BC,SD$. Tính góc giữa đường thẳng MN và $\left(ABCD\right)$

A.${30}^{\circ }$. 

B.${45}^{\circ }$. 

C.${60}^{\circ }$. 

D.${90}^{\circ }$.

Lời giải

Chọn B

Gọi P là trung điểm của đoạn AD.

NP là đường trung bình của tam giác $SAD$ nên $NP=\frac{1}{2}SA=a$ đồng thời $NP\mathrm{\perp }\left(ABCD\right)$.

Hình chiếu vuông góc của $MN$ lên đáy $\left(ABCD\right)$ là $MP$, cho nên

$\left(MN,\left(ABCD\right)\right)=\left(MN,MP\right)=\widehat{PMN}$.

Trong tam giác vuông $MNP$ ta có: $\tan \widehat{PMN}=\frac{NP}{MP}=\frac{NP}{AB}=\frac{a}{a}=1\Rightarrow \widehat{PMN}={45}^{\circ }$.

Vậy góc giữa $MN$ và đáy bằng ${45}^{\circ }$.

Câu 4: [Mức độ 2] Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh bằng \)a\), mặt bên $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $SC$ và đáy. Khẳng định nào sau đây đúng?

A.$\tan \alpha =\frac{\sqrt{15}}{3}$. 

B.$\sin \alpha =\frac{\sqrt{5}}{4}$. 

C.$\cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{4}$. 

D.$\tan \alpha =\frac{\sqrt{15}}{5}$.

Lời giải

Chọn D

Gọi H là trung điểm của $AB\Rightarrow SH\mathrm{\perp }\left(ABCD\right)$.

Hình chiếu vuông góc của $SC$ lên mặt phẳng $\left(ABCD\right)$ là HC, cho nên:

$\left(SC,\left(ABCD\right)\right)=\left(SC,HC\right)=\widehat{SCH}$.

Ta có

$SH=\sqrt{S{A}^2–A{H}^2}=\sqrt{A{B}^2–\frac{A{B}^2}{4}}=\sqrt{a^2–\frac{a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

$HC=\sqrt{B{C}^2+B{H}^2}=\sqrt{a^2+\frac{a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{5}}{2}$

Trong tam giác vuông $SHC$ ta có:

$\tan \alpha =\tan \widehat{SCH}=\frac{SH}{HC}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{a\sqrt{5}}{2}}=\frac{\sqrt{15}}{5}$.

Câu 5: [Mức độ 2] Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh bằng a, mặt bên $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của BC và $SD$. Gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng MN và đáy. Khẳng định nào sau đây đúng?

A.$\alpha ={60}^{\circ }$. 

B.$\alpha ={45}^{\circ }$. 

C.$\alpha ={15}^{\circ }$. 

D.$\alpha ={30}^{\circ }$.

Lời giải

Chọn D

Gọi H là trung điểm của $AB\Rightarrow SH\mathrm{\perp }\left(ABCD\right)$.

Gọi P là trung điểm của HD, khi đó NP là đường trung bình của tam giác $SHD$, suy ra

$NP=\frac{1}{2}SH=\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{4}a$ và $NP\mathrm{\perp }\left(ABCD\right)$.

Hình chiếu vuông góc của MN lên mặt phẳng $\left(ABCD\right)$ là MP, cho nên:

$\left(MN,\left(ABCD\right)\right)=\left(MN,MP\right)=\widehat{PMN}$.

MP là đương trung bình của hình thang BCDH nên ta có: $MP=\frac{BH+CD}{2}=\frac{a+\frac{a}{2}}{2}=\frac{3a}{4}$.

Trong tam giác vuông $MNP$ ta có:

$\tan \alpha =\tan \widehat{PMN}=\frac{NP}{MP}=\frac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow \alpha ={30}^{\circ }$.

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Chuyên đề ôn thi THPT QG về Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Chuyên đề ôn thi THPT QG về Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Chúc các em học tập tốt!