Chuyên đề viết phương trình mặt cầu Toán 12

1. Phương trình mặt cầu :

a. Phương trình mặt cầu dạng chính tắc : 

Cho mặt cầu có tâm \(I\left( {a\,;\,b\,;\,c} \right)\), bán kính \(R\).

Khi đó phương trình chính tắc của mặt cầu là \(\left( S \right)\,:\,{\left( {x – a} \right)^2} + {\left( {y – b} \right)^2} + {\left( {z – c} \right)^2} = {R^2}\).

b. Phương trình mặt cầu dạng khai triển :

Phương trình mặt cầu dạng khai triển là \(\left( S \right)\,:\,{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2ax – 2by – 2cz + d = 0\)

Khi đó mặt cầu có tâm \(I\left( {a\,;\,b\,;\,c} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} – d} \,\,\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} – d > 0} \right)\).

2. Vị trí tương đối giữa điểm và mặt cầu :

Cho điểm A và mặt cầu \(S\left( {O;\,R} \right)\). Ta có :

• Điểm \(A\) thuộc mặt cầu \( \Leftrightarrow OA = R\).

• Điểm \(A\) nằm trong mặt cầu \( \Leftrightarrow OA < R\).

• Điểm \(A\) nằm ngoài mặt cầu \( \Leftrightarrow OA > R\).

3. Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu :

Cho mặt phẳng \(\left( P \right)\) và mặt cầu \(S\left( {O;\,R} \right)\). Ta có :

• Mặt phẳng \(\left( P \right)\) không cắt mặt cầu \(S\left( {O;\,R} \right) \Leftrightarrow d\left( {O;\left( P \right)} \right) > R\).

• Mặt phẳng \(\left( P \right)\) tiếp xúc với mặt cầu \(S\left( {O;\,R} \right) \Leftrightarrow d\left( {O;\left( P \right)} \right) = R\).

• Mặt phẳng \(\left( P \right)\) cắt mặt cầu \(S\left( {O;\,R} \right)\) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính \(r = \sqrt {{R^2} – {d^2}\left( {O,\left( P \right)} \right)}  \Leftrightarrow d\left( {O;\left( P \right)} \right) < R\). Khi \(\left( P \right)\) đi qua tâm O của mặt cầu ta nói \(\left( P \right)\) cắt \(S\left( {O;\,R} \right)\)theo giao tuyến là một đường tròn lớn có tâm chính là O và bán kính là R.

4. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu :

Cho đường thẳng \(\Delta \) và mặt cầu \(S\left( {O;\,R} \right)\). Ta có :

• Đường thẳng \(\Delta \) ko cắt mặt cầu \(S\left( {O;\,R} \right) \Leftrightarrow d\left( {O;\left( \Delta \right)} \right) > R\).

• Đường thẳng \(\Delta \) tiếp xúc với mặt cầu \(S\left( {O;\,R} \right) \Leftrightarrow d\left( {O;\left( \Delta \right)} \right) = R\).

• Đường thẳng \(\Delta \) cắt mặt cầu \(S\left( {O;\,R} \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A,B \Leftrightarrow d\left( {O;\left( \Delta \right)} \right) < R\). Khi đó ta có \({R^2} = \frac{1}{4}A{B^2} + {d^2}\left( {O;\left( \Delta \right)} \right)\).

Ví dụ:  Trong không gian mặt cầu có tâm là gốc tọa độ \(O\left( {0;0;0} \right)\) và đi qua điểm \(M\left( {0;0;2} \right)\) có phương trình là

A. \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 2\).

B. \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 4\).

C. \({x^2} + {y^2} + {\left( {z – 2} \right)^2} = 4\). 

D. \({x^2} + {y^2} + {\left( {z – 2} \right)^2} = 2\).

Lời giải

Chọn C

Ta có mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm là \(O\left( {0;0;0} \right)\) và đi qua \(M\left( {0;0;2} \right)\) có bán kính là: R = IM = 2.

Vậy \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {\left( {z – 2} \right)^2} = 4\).

Câu 1. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x + 4y – 4z – m = 0\) có bán kính R = 5. Giá trị của tham số m bằng

A. – 16.

B. 16.

C. 4.

D. – 4.

Lời giải

Chọn B

Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I\left( {1; – 2;2} \right)\).

Ta có \(R = \sqrt {1 + 4 + 4 + m} = 5 \Leftrightarrow m = 16\).

Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} – \left( {2m – 2} \right)x + 3my + \left( {6m – 2} \right)z – 7 = 0\). Gọi R là bán kính của \(\left( S \right)\), giá trị nhỏ nhất của R bằng:

A. 7

B. \(\frac{{\sqrt {377} }}{7}\) 

C. \(\sqrt {377} \) 

D. \(\frac{{\sqrt {377} }}{4}\)

Lời giải:

Chọn D

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {m – 1; – \frac{{3m}}{2};1 – 3m} \right)\).

Ta có \(R = \sqrt {{{(m – 1)}^2} + {{\left( { – \frac{{3m}}{2}} \right)}^2} + {{(1 – 3m)}^2} + 7} = \sqrt {\frac{{49{m^2}}}{4} – 8m + 9} = \sqrt {{{\left( {\frac{7}{2}m – \frac{8}{7}} \right)}^2} + \frac{{377}}{{49}}} \ge \frac{{\sqrt {377} }}{7}\)

Vậy \({R_{\min }} = \frac{{\sqrt {377} }}{7} \Leftrightarrow m = \frac{{16}}{{49}}\).

Câu 3. Trong không gian Oxyz, phươngtrình mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(1; – 3;2)\) và qua điểm \(A(5; – 1;4)\) là

A. \({(x – 1)^2} + {(y + 3)^2} + {(z – 2)^2} = \sqrt {24} .\) 

B. \({(x + 1)^2} + {(y – 3)^2} + {(z + 2)^2} = \sqrt {24} .\)

C. \({(x + 1)^2} + {(y – 3)^2} + {(z + 2)^2} = 24.\) 

D. \({(x – 1)^2} + {(y + 3)^2} + {(z – 2)^2} = 24.\)

Lời giải

Chọn D

Phương trình mặt cầu \((S)\) có tâm I(1; – 3;2) bán kính \(R = IA = \sqrt {{4^2} + {2^2} + {2^2}} = 2\sqrt 6 \) là

\({(x – 1)^2} + {(y + 3)^2} + {(z – 2)^2} = 24.\)

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Chuyên đề viết phương trình mặt cầu Toán 12. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Chuyên đề viết phương trình đường thẳng trong không gian Toán 12

• Phương pháp tìm điều kiện để hàm số có cực trị cùng dấu hoặc trái dấu Toán 12

Chúc các em học tập tốt!