I. Kiến thức cần nhớ
1. Các tính chất tích phân:
-
\(\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)\text{d}x}=\int\limits_{a}^{c}{f\left( x \right)\text{d}x}+\int\limits_{c}^{b}{f\left( x \right)\text{d}x}\)
-
\(k\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)\text{d}x}=\int\limits_{a}^{b}{kf\left( x \right)}\,\text{d}x\,\left( k\ne 0 \right)\)
-
\(\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)\text{d}x}=-\int\limits_{b}^{a}{f\left( x \right)}\,\text{d}x\)
-
\(\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)\text{d}x}=\left. F\left( x \right) \right|_{a}^{b}=F\left( b \right)-F\left( a \right)\)
-
\(\int\limits_{a}^{b}{\left( f\left( x \right)+g\left( x \right) \right)\text{d}x}=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)}\,\text{d}x+\int\limits_{a}^{b}{g\left( x \right)\,\text{d}x}\)
-
\(\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)\text{d}x}=\int\limits_{a}^{b}{f\left( t \right)}\,\text{d}t=\int\limits_{a}^{b}{f\left( z \right)}\,\text{d}z\)
-
\(\int\limits_{a}^{b}{{f}'\left( x \right)\text{d}x}=\left. f\left( x \right) \right|_{a}^{b}=f\left( b \right)-f\left( a \right)\)
2. Công thức đổi biến số:
\(\int{f\left( u\left( x \right) \right).{u}'\left( x \right)dx}=\int{f\left( u \right)du},\,\,u=u\left( x \right)\)
\(\int\limits_{a}^{b}{f\left( u\left( x \right) \right).{u}'\left( x \right)dx}=\int\limits_{u\left( a \right)}^{u\left( b \right)}{f\left( u \right)du},\,\,u=u\left( x \right)\).
Phương pháp đổi biến số thường được sử dụng theo hai cách sau đây:
-
Giả sử cần tính \(\int\limits_{a}^{b}{g\left( x \right)dx}\). Nếu ta viết được \(g\left( x \right)\) dưới dạng \(f\left( u\left( x \right) \right){u}'\left( x \right)\) thì \(\int\limits_{a}^{b}{g\left( x \right)dx}=\int\limits_{u\left( a \right)}^{u\left( b \right)}{f\left( u \right)du}\). Vậy bài toán quy về tính \(\int\limits_{u\left( a \right)}^{u\left( b \right)}{f\left( u \right)du}\), trong nhiều trường hợp thì tích phân mới này đơn giản hơn .
-
Giả sử cần tính \(\int\limits_{\alpha }^{\beta }{f\left( x \right)dx}\). Đặt \(x=x\left( t \right)\) thỏa mãn \(\alpha =x\left( a \right),\,\,\beta =x\left( b \right)\) thì
\(\int\limits_{\alpha }^{\beta }{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x\left( t \right) \right){x}'\left( t \right)dt}=\int\limits_{a}^{b}{g\left( t \right)dt}\), trong đó \(g\left( t \right)=f\left( x\left( t \right) \right).{x}'\left( t \right)\)
Ví dụ: Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2} - 1}&{{\rm{ khi }}x \ge 2}\\ {{x^2} - 2x + 3}&{{\rm{ khi }}x < 2} \end{array}} \right.\). Tích phân \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f(2\sin x+1)\cos x~\text{d}x}\) bằng:
A. \(\frac{23}{3}\).
B. \(\frac{23}{6}\).
C. \(\frac{17}{6}\).
D. \(\frac{17}{3}\).
Lời giải
Chọn B
Xét \(I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f(2\sin x+1)\cos x~\text{d}x}\)
Đặt \(t=2\sin x+1\Rightarrow \frac{1}{2}\text{d}t=\cos x\text{d}x\)
Đổi cận:
\(\begin{align} & x=0\Rightarrow t=1 \\ & x=\frac{\pi }{2}\Rightarrow t=3 \\ \end{align}\)
\(I=\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{3}{f(t)\text{d}t}=\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{3}{f(x)\text{d}}x=\frac{1}{2}\left[ \int\limits_{1}^{2}{\left( {{x}^{2}}-2x+3 \right)\text{d}x}+\int\limits_{2}^{3}{\left( {{x}^{2}}-1 \right)\text{d}x} \right]=\frac{23}{6}\).
II. Bài tập
Câu 1: Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\rm{e}}^{2x}}}&{{\rm{ }}khi{\rm{ }}x \ge 0}\\ {{x^2} + x + 2}&{{\rm{ }}khi{\rm{ }}x < 0} \end{array}} \right.\). Biết tích phân \(\int\limits_{-1}^{1}{f(x)~\text{d}x}=\frac{a}{b}+\frac{{{\text{e}}^{2}}}{c}\) (\(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản). Giá trị a+b+c bằng
A. \(7\).
B. \(8\).
C. \(9\).
D. \(10\).
Lời giải
Chọn C
Ta có: \(I=\int\limits_{-1}^{1}{f(x)\text{dx}}=\int\limits_{-1}^{0}{\left( {{x}^{2}}+x+2 \right)\text{d}x}+\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{2x}}\text{d}x}=\frac{4}{3}+\frac{{{e}^{2}}}{2}\).
Vậy \(a+b+c=9\).
Câu 2: Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x\left( {1 + {x^2}} \right)}&{{\rm{ }}khi{\rm{ }}x \ge 3}\\ {\frac{1}{{x - 4}}}&{{\rm{ }}khi{\rm{ }}x < 3} \end{array}} \right.\). Tích phân \(\int\limits_{{{\text{e}}^{2}}}^{{{\text{e}}^{4}}}{\frac{f(\ln x)~}{x}\text{d}x}\) bằng:
A. \(\frac{40}{3}-\ln 2\).
B. \(\frac{95}{6}+\ln 2\).
C. \(\frac{189}{4}+\ln 2\).
D. \(\frac{189}{4}-\ln 2\).
Lời giải
Chọn D
Xét \(I=\int\limits_{{{e}^{2}}}^{{{e}^{4}}}{\frac{f(\ln x)~}{x}\text{d}x}\)
Đặt \(t=\ln x\Rightarrow \text{d}t=\frac{1}{x}\text{d}x\)
Đổi cận:
\(\begin{align} & x={{\text{e}}^{2}}\Rightarrow t=2 \\ & x={{\text{e}}^{4}}\Rightarrow t=4 \\ \end{align}\)
\(I=\int\limits_{2}^{4}{f(t)\text{d}t}=\int\limits_{2}^{4}{f(x)\text{d}}x=\int\limits_{2}^{3}{\frac{1}{x-4}\text{d}}x+\int\limits_{3}^{4}{x\left( 1+{{x}^{2}} \right)\text{d}}x=\frac{189}{4}-\ln 2\).
Câu 3. Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{1}{x}}&{{\rm{ }}khi{\rm{ }}x \ge 1}\\ {x + 1}&{{\rm{ }}khi{\rm{ }}x < 1} \end{array}} \right.\). Tích phân \(\int\limits_{-2}^{1}{f(\sqrt[3]{1-x})\text{d}x}=\frac{m}{n}\) (\(\frac{m}{n}\) là phân số tối giản), khi đó m-2n bằng:
A. \(1\).
B. \(2\).
C. \(3\).
D. \(4\).
Lời giải
Chọn A
Xét \(I=\int\limits_{-7}^{1}{f(\sqrt[3]{1-x})\text{d}x}\)
Đặt \(t=\sqrt[3]{1-x}\Rightarrow -3{{t}^{2}}\text{d}t=\text{d}x\)
Đổi cận:
\(\begin{align} & x=-7\Rightarrow t=2 \\ & x=1\Rightarrow t=0 \\ \end{align}\)
\(I=-3\int\limits_{2}^{0}{{{t}^{2}}f(t)\text{d}t}=3\int\limits_{0}^{2}{{{x}^{2}}f(x)\text{d}}x=3\left[ \int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}\left( x+1 \right)\text{d}}x+\int\limits_{1}^{2}{x\text{d}}x \right]=\frac{25}{12}\).
Câu 4: Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}=4\), \(\int\limits_{0}^{3}{f\left( x \right)\text{d}x}=6\). Tính \(I=\int\limits_{-1}^{1}{f\left( \left| 2x+1 \right| \right)\text{d}x}\)
A. \(I=3\).
B. \(I=5\).
C. \(I=6\).
D. \(I=4\).
Lời giải
Chọn B
Đặt \(u=2x+1\)\(\Rightarrow \operatorname{d}x=\frac{1}{2}\operatorname{d}u\). Khi \(x=-1\) thì \(u=-1\). Khi \(x=1\) thì \(u=3\).
Nên \(I=\frac{1}{2}\int\limits_{-1}^{3}{f\left( \left| u \right| \right)\operatorname{d}u}=\frac{1}{2}\left( \int\limits_{-1}^{0}{f\left( \left| u \right| \right)\operatorname{d}u}+\int\limits_{0}^{3}{f\left( \left| u \right| \right)\operatorname{d}u} \right)\)
\(=\frac{1}{2}\left( \int\limits_{-1}^{0}{f\left( -u \right)\operatorname{d}u}+\int\limits_{0}^{3}{f\left( u \right)\operatorname{d}u} \right)\).
Xét \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\operatorname{d}x}=4\). Đặt \(x=-u\)\(\Rightarrow \operatorname{d}x=-\operatorname{d}u\).
Khi \(x=0\) thì \(u=0\). Khi \(x=1\) thì \(u=-1\).
Nên \(4=\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\operatorname{d}x}=-\int\limits_{0}^{-1}{f\left( -u \right)\operatorname{d}u}=\int\limits_{-1}^{0}{f\left( -u \right)\operatorname{d}u}\).
Ta có \(\int\limits_{0}^{3}{f\left( x \right)\operatorname{d}x}=6\)\(\Rightarrow \int\limits_{0}^{3}{f\left( u \right)\operatorname{d}u}=6\).
Nên \(I=\frac{1}{2}\left( \int\limits_{-1}^{0}{f\left( -u \right)\operatorname{d}u}+\int\limits_{0}^{3}{f\left( u \right)\operatorname{d}u} \right)=\frac{1}{2}\left( 4+6 \right)=5\).
Câu 5: Cho \(f\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=\left| 1+x \right|-\left| 1-x \right|\) trên tập \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(f\left( 1 \right)=3\). Tính tổng \(f\left( 0 \right)+F\left( 2 \right)+F\left( -3 \right)\).
A. \(8\).
B. \(12\).
C. \(14\).
D. \(10\).
Lời giải:
Chọn C
Bảng khử dấu giá trị tuyệt đối:
.png?enablejsapi=1)
Ta có: \(\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)\text{d}x}=F\left( 2 \right)-F\left( 1 \right)=F\left( 2 \right)-3\) mà \(\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)\text{d}x}=\int\limits_{1}^{2}{2\text{d}x}=2\) nên \(f\left( 2 \right)=5\).
\(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}=F\left( 1 \right)-F\left( 0 \right)=3-F\left( 0 \right)\) mà \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}=\int\limits_{0}^{1}{2x\text{d}x}={{x}^{2}}\left| _{0}^{1} \right.=1\) nên \(f\left( 0 \right)=2\).
\(\int\limits_{-1}^{0}{f\left( x \right)\text{d}x}=F\left( 0 \right)-F\left( -1 \right)=2-F\left( -1 \right)\) mà \(\int\limits_{-1}^{0}{f\left( x \right)\text{d}x}=\int\limits_{-1}^{0}{2x\text{d}x}={{x}^{2}}\left| _{-1}^{0}=-1 \right.\) nên \(f\left( -1 \right)=3\).
\(\int\limits_{-3}^{-1}{f\left( x \right)\text{d}x}=F\left( -1 \right)-F\left( -3 \right)=3-F\left( -3 \right)\) mà \(\int\limits_{-3}^{-1}{f\left( x \right)\text{d}x}=\int\limits_{-3}^{-1}{-2\text{d}x}=-4\) nên \(f\left( -3 \right)=7\).
Vậy \(f\left( 0 \right)+F\left( 2 \right)+F\left( -3 \right)=2+5+7=14\).
Câu 6. Biết \(I=\int\limits_{1}^{5}{\frac{2\left| x-2 \right|+1}{x}\text{d}x}=4+a\ln 2+b\ln 5\) với \(a,b\in \mathbb{Z}\). Tính \(S=a+b\).
A. \(S=9\).
B. \(S=11\).
C. \(S=-3\).
D. \(S=5\).
Lời giải:
Chọn D
Ta có \(\left| x-2 \right|=\left\{ \begin{align} & x-2\text{ khi }x\ge 2 \\ & 2-x\text{ khi }x\le 2 \\ \end{align} \right.\)
Do đó \(I=\int\limits_{1}^{2}{\frac{2\left| x-2 \right|+1}{x}}\text{ d}x+\int\limits_{2}^{5}{\frac{2\left| x-2 \right|+1}{x}\text{ }}\text{d}x\).
\(=\int\limits_{1}^{2}{\frac{2\left( 2-x \right)+1}{x}}\text{ d}x+\int\limits_{2}^{5}{\frac{2\left( x-2 \right)+1}{x}\text{ }}\text{d}x=\int\limits_{1}^{2}{\left( \frac{5}{x}-2 \right)}\text{ d}x+\int\limits_{2}^{5}{\left( 2-\frac{3}{x} \right)\text{ }}\text{d}x\)
\(=\left( 5\ln \left| x \right|-2x \right)\left| \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ \end{matrix}+ \right.\left( 2x-3\ln \left| x \right| \right)\left| \begin{matrix} 5 \\ 2 \\ \end{matrix} \right.\)\(=4+8\ln 2-3\ln 5\)
\(\Rightarrow \left\{ \begin{align} & a=8 \\ & b=-3 \\ \end{align} \right.\)\(\Rightarrow S=a+b=5\)
...
--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--
Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Chuyên đề tích phân hàm ẩn phát triển từ câu 41 của đề tham khảo môn Toán 2021 của Bộ Giáo dục. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.
Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.
Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:
Chúc các em học tập tốt!
