I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Định nghĩa về phép thử và không gian mẫu
Phép thử là một thí nghiệm hay một hành động mà kết quả của nó không đoán trước được nhưng có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó, và thường được kí hiệu bằng chữ T.
Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử, người ta kí hiệu bởi chữ cái Hi lạp \(\Omega \) (đọc là ô – mê – ga). Khi đó người ta nói phép thử T được mô tả bởi tập hợp \(\Omega \).
Như vậy ta có thể hiểu không gian mẫu là một tập hợp, kí hiệu \(\Omega \) chỉ kí hiệu của tập hợp.
Số phần tử của tập hợp \(\Omega \) được gọi là số phần tử của không gian mẫu, kí hiệu là \(\left| \Omega \right|\) hoặc \(n\left( \Omega \right)\).
Việc đếm số phần tử của tập hợp không gian mẫu là quan trọng với các bài toán mà ta không thể tự liệt kê hết được tất cả các phần tử có trong tập không gian mẫu, chẳng hạn tập hợp gồm các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau, tập hợp số cách hoàn thành một đề thi trắc nghiệm gồm 50 câu – mỗi câu gồm 4 phương án trả lời, trong đó chỉ có 1 phương án đúng,…
2. Định nghĩa về biến cố
Biến cố \(A\) liên quan đến phép thử T là biến cố mà việc xảy ra hay không xảy ra của \(A\) Phụ thuộc vào kết quả của phép thử T.
Mỗi kết quả của phép thử T làm cho biến cố \(A\) xảy ra, được gọi là một kết quả thuận lợi cho \(A\).
Tập hợp tất cả các kết quả thuận lợi cho \(A\) được kí hiệu là \({\Omega _A}\). Khi đó người ta nói biến cố \(A\) đượcmô tả bởi tập hợp \({\Omega _A}\).
Như vậy ta có nhận xét \({\Omega _A} \subset \Omega \).
Số phần tử của tập hợp \({\Omega _A}\), được gọi là số phần tử của biến cố \(A\), và được kí hiệu là \(\left| {{\Omega _A}} \right|\) hay \(n\left( A \right)\)
Biến cố đối
Cho A là một biến cố. Khi đó biến cố “Không xảy ra A”, kí hiệu là \(\overline A \), được gọi là biến cố đối của A.
Nếu \({\Omega _A}\) là tập hợp các kết quả thuận lợi cho A thì tập hợp các kết quả thuận lợi cho \(\overline A \) là \(\Omega \backslash {\Omega _A}\). Ta nói A và \(\overline A \) là hai biến cố đối nhau.
Chú ý.
Hai biến cố đối nhau là hai biến cố xung khắc nhưng hai biến cố xung khắc chưa chắc là hai biến cố đối nhau.
3. Định nghĩa xác suất
Xét phép thử T và biến cố \(A\) liên quan đến phép thử T, xác suất xảy ra biến cố \(A\) là một số và được kí hiệu là \(P\left( A \right)\) và được xác định theo công thức \(P\left( A \right) = \frac{{\left| {{\Omega _A}} \right|}}{{\left| \Omega \right|}}\).
Từ định nghĩa ta có:
\(0 \le P\left( A \right) \le 1\).
\(P\left( \Omega \right) = 1;P\left( \emptyset \right) = 0\).
Định lí. Cho biến cố A. Xác suất của biến cố đối \(\overline A \) là \(P(\overline A ) = 1 – P(A)\)
Ví dụ: Chọn ngẫu nhiên một số trong 15 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được số chẵn bằng
A.\(\frac{7}{8}\).
B.\(\frac{8}{{15}}\).
C.\(\frac{7}{{15}}\).
D.\(\frac{1}{2}\).
Lời giải
Chọn C
Xác suất cần tính là: \(P = \frac{7}{{15}}\).
II. BÀI TẬP
Câu 1. Gieo hai con súc sắc, tính xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc bằng 7.
A. \(\frac{1}{6}\).
B. \(\frac{7}{{36}}\).
C. \(\frac{2}{9}\).
D. \(\frac{5}{{36}}\).
Lời giải
Chọn A
Không gian mẫu có số phần tử là: \(\left| \Omega \right| = 36\)
Gọi \(A\): “tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc bằng 7”.
\(A = \left\{ {\left( {1,6} \right);\left( {2,5} \right);\left( {3,4} \right);\left( {4,3} \right);\left( {5,2} \right);\left( {6,1} \right)} \right\}\).
Xác suất cần tính là: \(P\left( A \right) = \frac{6}{{36}} = \frac{1}{6}\).
Câu 2. Gieo một con xúc sắc cân đối đồng chất. Xác suất để xuất hiện mặt có số chấm là một số nguyên tố bằng
A. \(\frac{1}{4}\).
B. \(\frac{1}{2}\).
C. \(\frac{2}{3}\).
D. \(\frac{1}{3}\).
Lời giải
Chọn B
Không gian mẫu có số phần tử là: \(\left| \Omega \right| = 6\)
Gọi \(A\): “xuất hiện mặt có số chấm là một số nguyên tố”.
\(A = \left\{ {2;3;5} \right\}\).
Xác suất cần tính là: \(P\left( A \right) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\).
Câu 3. Một hộp đựng 11 viên bi được đánh số từ 1 đến 11. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi, rồi cộng các số trên các bi lại với nhau. Xác suất để kết quả thu được là một số lẻ bằng?
A.\(\frac{{31}}{{32}}\).
B.\(\frac{{11}}{{32}}\).
C.\(\frac{{16}}{{33}}\).
D.\(\frac{{21}}{{32}}\).
Lời giải
Chọn C
Không gian mẫu có sốp phần tử là: \(C_{11}^4 = 330\).
Để tổng của bốn số là số lẻ thì trong bốn số phải có 1 số lẻ, ba số chẵn hoặc ba số lẻ, 1 số chẵn do đó ta có: \(C_6^3.C_5^1 + C_6^1.C_5^3 = 160\) cách lấy bốn số có tổng là số lẻ.
Xác suất cần tính là: \(P = \frac{{160}}{{330}} = \frac{{16}}{{33}}\).
Câu 4. Cho 14 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 14. Chọn ngẫu nhiên 3 tấm thẻ. Xác suất để tích 3 số ghi trên 3 tấm thẻ này chia hết cho 3 bằng?
A.\(\frac{{30}}{{91}}\).
B.\(\frac{{61}}{{91}}\).
C.\(\frac{{31}}{{91}}\).
D.\(\frac{{12}}{{17}}\).
Lời giải
Chọn B
Không gian mẫu có sốp phần tử là: \(C_{14}^3 = 364\).
Để tích của ba số ghi trên 3 tấm thẻ chia hết cho 3 thì trong ba số phải có ít nhất 1 số chia hết cho 3 do đó ta có: \(C_4^1.C_{10}^2 + C_4^2.C_{10}^1 + C_4^3 = 244\) cách lấy ra ba số để tích ba số ghi trên 3 tấm thẻ chia hết cho 3.
Xác suất cần tính là: \(P = \frac{{244}}{{364}} = \frac{{61}}{{91}}\).
Câu 5. Chọn ngẫu nhiên 3 số khác nhau từ 35 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được 3 số lập thành cấp số cộng có công sai là số lẻ bằng
A.\(\frac{9}{{385}}\).
B. \(\frac{8}{{385}}\).
C. \(\frac{{17}}{{385}}\).
D. \(\frac{{30}}{{112019}}\).
Lời giải
Chọn A
Ta có \(n\left( \Omega \right) = C_{35}^3\).
Gọi \(A,\,b,\,c\) là 3 số theo thứ tự lập thành cấp số cộng có công sai d (\(1 \le a < \,b < \,c \le 35\)).
Nhận thấy ứng với mỗi trường hợp d lẻ, một cách chọn b sẽ có duy nhất một cách chọn cặp \(A,\,c\).
TH1: \(d = 17 \Rightarrow b = 18\), có 1 cách chọn b.
TH2: \(d = 15 \Rightarrow 16 \le b \le 20\), có 5 cách chọn b.
TH3: \(d = 13 \Rightarrow 14 \le b \le 22\), có 9 cách chọn b.
………………………………………………
TH8: \(d = 3 \Rightarrow 4 \le b \le 32\), có 29 cách chọn b.
TH9: \(d = 1 \Rightarrow 2 \le b \le 34\), có 33cách chọn b.
\( \Rightarrow n\left( A \right) = 1 + 5 + 9 + … + 29 + 33 = \frac{{\left( {1 + 33} \right).9}}{2} = 153\)
\( \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{{153}}{{C_{35}^3}} = \frac{9}{{385}}\).
Câu 6. Chọn ngẫu nhiên hai số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau. Tính xác suất để chọn được ít nhất một số chẵn. ( kết quả làm tròn đến hàng phần nghìn)
A. 0,652.
B. 0,256.
C. 0,756.
D. 0,922.
Lời giải
Chọn C
Số các số tự nhiên có 4chữ số khác nhau là \(9.A_9^3 = 4536\).
Gọi \(\Omega \) là không gian mẫu,\(\left| \Omega \right| = C_{4536}^2\).
Gọi A là biến cố “ chọn được ít nhất một số chẵn”
\(\overline A \) là biến cố “ chọn được cả hai số lẻ”
Số các số tự nhiên lẻ có 4 chữ số khác nhau là \(5.8.A_8^2 = 2240\).
Suy ra \(\left| {\overline A } \right| = C_{2240}^2\).
Xác suất để chọn được ít nhất một số chẵn là
\(P\left( A \right) = 1 – P\left( {\overline A } \right) = 1 – \frac{{\left| {\overline A } \right|}}{{\left| \Omega \right|}} = 1 – \frac{{C_{2240}^2}}{{C_{4536}^2}} \approx 0,756\).
...
--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--
Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Chuyên đề ôn thi THPT QG về tính xác suất. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.
Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.
Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:
Chúc các em học tập tốt!
