I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Bất phương trình mũ là bất phương trình có dạng: \({a^x} > b\) hoặc \({a^x} \ge b;{a^x} < b;{a^x} \le b\) với \(0 < a \ne 1\)
Ta xét bất phương trình \({a^x} > b\)
TH1: Nếu \(b \le 0\) thì tập nghiệm của bất phương trình là \(\mathbb{R}\)
TH2: Nếu \(b > 0\) thì bất phương trình tương đương với \({a^x} > {a^{{{\log }_a}b}}\)
+Với \(a > 1\) thì nghiệm của bất phương trình là \(x > {\log _a}b\)
+Với \(a < 1\) thì nghiệm của bất phương trình là \(x < {\log _a}b\)
-
Khi giải bất phương trình mũ, ta cần chú ý đến tính đơn điệu của hàm số mũ.
-
Tương tự với bất phương trình dạng: \(\left[ \begin{array}{l}{a^{f\left( x \right)}} \ge {a^{g\left( x \right)}}\\{a^{f\left( x \right)}} < {a^{g\left( x \right)}}\\{a^{f\left( x \right)}} \le {a^{g\left( x \right)}}\end{array} \right.\)
Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì: \({a^M} > {a^N} \Leftrightarrow \left( {a – 1} \right)\left( {M – N} \right) > 0\)
-
\({a^{f\left( x \right)}} > b \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}\left\{\begin{gathered}a > 1 \hfill \\f\left( x \right) > {\log _a}b \hfill \\\end{gathered} \right. \hfill \\\left\{ \begin{gathered}0 < a < 1 \hfill \\f\left( x \right) < {\log _a}b \hfill \\\end{gathered} \right. \hfill \\\end{gathered} \right.\,\,(b > 0)\) hoặc \(\left\{ \begin{gathered}b < 0 \hfill \\f\left( x \right)\,\,\,có nghĩa \hfill \\\end{gathered} \right.\)
-
Tương tự với bất phương trình dạng: \(\left[ \begin{array}{l}{a^{f\left( x \right)}} \ge b\\{a^{f\left( x \right)}} < b\\{a^{f\left( x \right)}} \le b\end{array} \right.\)
Ví dụ: Tập nghiệm của bất phương trình \({3^{4 – {x^2}}} \ge 27\) là:
A. \(\left[ { – 1;1} \right]\).
B. \(\left( { – \infty ;1} \right]\).
C. \(\left[ { – \sqrt 7 ;\sqrt 7 } \right]\).
D. \(\left[ {1; + \infty } \right)\).
Lời giải
Chọn A
Ta có: \({3^{4 – {x^2}}} \ge 27 \Leftrightarrow \)\({3^{4 – {x^2}}} \ge {3^3} \Leftrightarrow 4 – {x^2} \ge 3 \Leftrightarrow {x^2} \le 1\Leftrightarrow – 1 \le x \le 1\).
II. BÀI TẬP
Câu 1. Tập nghiệm của bất phương trình \({2^x} > {3^{x + 1}}\) là:
A. \(\left( { – \infty ;{{\log }_2}3} \right]\).
B. \(\left( { – \infty ;{{\log }_{\frac{2}{3}}}3} \right)\).
C. \(\emptyset \).
D. \(\left( {{{\log }_{\frac{2}{3}}}3; + \infty } \right)\).
Lời giải
Chọn B
Ta có:\({2^x} > {3^{x + 1}} \Leftrightarrow {2^x} > {3.3^x} \Leftrightarrow {\left( {\frac{2}{3}} \right)^x} > 3 \Leftrightarrow x < {\log _{\frac{2}{3}}}3\).
Câu 2. Giải bất phương trình \(\frac{1}{9}{.3^{3x}} > 1\) .
A. \(x > \frac{2}{3}\) .
B. \(x < \frac{2}{3}\).
C. \(x > \frac{3}{2}\).
D. \(x < \frac{3}{2}\).
Lời giải
Chọn A
Ta có \(\frac{1}{9}{.3^{3x}} > 1 \Leftrightarrow {3^{3x}} > {3^2} \Leftrightarrow x > \frac{2}{3}\).
Câu 3. Bất phương trình \({2^{{x^2} – 3x + 4}} \le {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{2x – 10}}\) có bao nhiêu nghiệm nguyên dương?
A. 2.
B. 4.
C. 6.
D. 3.
Lời giải
Chọn D
Ta có \({2^{{x^2} – 3x + 4}} \le {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{2x – 10}} \Leftrightarrow {x^2} – 3x + 4 \le 10 – 2x \Leftrightarrow {x^2} – x – 6 \le 0 \Leftrightarrow – 2 \le x \le 3\).
Do đó, nghiệm nguyên dương của bất phương trình là \(\left\{ {1;2;3} \right\}\).
Câu 4. Tập nghiệm của bất phương trình \({2^x} + {2^{x + 1}} \le {3^x} + {3^{x – 1}}\)
A. \(x \in \left[ {2; + \infty } \right)\).
B. \(x \in \left( {2; + \infty } \right)\).
C. \(x \in \left( { – \infty ;2} \right)\).
D. \(\left( {2; + \infty } \right)\).
Lời giải
Chọn A
Ta có: \({2^x} + {2^{x + 1}} \le {3^x} + {3^{x – 1}} \Leftrightarrow {3.2^x} \le \frac{4}{3}{.3^x} \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{2}} \right)^x} \ge \frac{9}{4} \Leftrightarrow x \ge 2\).
Câu 5. Tập nghiệm của bất phương trình \({3^x}.{x^2} + 54x + {5.3^x} > 9{x^2} + 6x{.3^x} + 45\) là:
A. \(\left( { – \infty ;1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\)
B. \(\left( { – \infty ;1} \right) \cup \left( {2;5} \right)\)
C. \(\left( { – \infty ;1} \right) \cup \left( {5; + \infty } \right)\)
D. \(\left( {1;2} \right) \cup \left( {5; + \infty } \right)\).
Lời giải
Chọn D
Bất phương trình \({3^x}.{x^2} + 54x + {5.3^x} > 9{x^2} + 6x{.3^x} + 45\) tương đương với:
\(\left( {{3^x}.{x^2} – 9{x^2}} \right) + \left( { – 6x{{.3}^x} + 54x} \right) + \left( {{{5.3}^x} – 45} \right) > 0 \Leftrightarrow {x^2}\left( {{3^x} – 9} \right) – 6x\left( {{3^x} – 9} \right) + 5\left( {{3^x} – 9} \right) > 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {{3^x} – 9} \right)\left( {{x^2} – 6x + 5} \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{3^x} – 9 > 0\\{x^2} – 6x + 5 > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{3^x} – 9 < 0\\{x^2} – 6x + 5 < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x > 2\\\left[ \begin{array}{l}x < 1\\x > 5\end{array} \right.\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 2\\1 < x < 5\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 5\\1 < x < 2\end{array} \right.\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: \(\left( {1;2} \right) \cup \left( {5; + \infty } \right)\).
Câu 6. Tập nghiệm của bất phương trình\(\frac{1}{{{2^{\sqrt {{x^2} – 2x} }}}} – \frac{{{2^x}}}{2} \le 0\)là:
A. \(\left[ {0;{\rm{ }}2} \right]\).
B. \(\left( { – \infty ;{\rm{ }}1} \right]\).
C. \(\left( { – \infty ;{\rm{ }}0} \right]\).
D. \(\left[ {2; + \infty } \right)\).
Lời giải
Chọn D
Ta có:\(\frac{1}{{{2^{\sqrt {{x^2} – 2x} }}}} – \frac{{{2^x}}}{2} \le 0 \Leftrightarrow {2^{ – \sqrt {{x^2} – 2x} }} – {2^{x – 1}} \le 0 \Leftrightarrow {2^{ – \sqrt {{x^2} – 2x} }} \le {2^{x – 1}}\Leftrightarrow – \sqrt {{x^2} – 2x} \le x – 1\)
\( \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} – 2x} \ge 1 – x \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x^2} – 2x \ge 0\\1 – x \le 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}1 – x > 0\\{x^2} – 2x \ge {(1 – x)^2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow x \ge 2\).
Câu 7. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \)m\)để bất phương trình \({4^{{{\sin }^2}x}} + {5^{{{\cos }^2}x}} \le m{.7^{{{\cos }^2}x}}\) có nghiệm.
A. \(m \ge – \frac{6}{7}\).
B. \(m \ge \frac{6}{7}\).
C. \(m < \frac{6}{7}\).
D. \(m < – \frac{6}{7}\).
Lời giải
Chọn B
Ta có \({4^{{{\sin }^2}x}} + {5^{{{\cos }^2}x}} \le m{.7^{{{\cos }^2}x}} \Leftrightarrow 4 \cdot {\left( {\frac{1}{{28}}} \right)^{{{\cos }^2}x}} + {\left( {\frac{5}{7}} \right)^{{{\cos }^2}x}} \le m\).
Đặt \(t = {\cos ^2}x,t \in \left[ {0;1} \right]\) thì BPT trở thành: \(4 \cdot {\left( {\frac{1}{{28}}} \right)^t} + {\left( {\frac{5}{7}} \right)^t} \le m\).
Xét \(f\left( t \right) = 4.{\left( {\frac{1}{{28}}} \right)^t} + {\left( {\frac{5}{7}} \right)^t}\) là hàm số nghịch biến trên \(\left[ {0;1} \right]\).
Suy ra: \(f\left( 1 \right) \le f\left( t \right) \le f\left( 0 \right) \Leftrightarrow \frac{6}{7} \le f\left( t \right) \le 5\).
Từ đó BPT có nghiệm \( \Leftrightarrow m \ge \frac{6}{7}\).
Câu 8. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình \({9^x} – 2\left( {m + 1} \right){.3^x} – 3 – 2m > 0\) nghiệm đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}.\)
A. m tùy ý.
B. \(m \ne – \frac{4}{3}.\)
C. \(m < – \frac{3}{2}.\)
D. \(m \le – \frac{3}{2}.\)
Lời giải.
Chọn D
Đặt \(t = {3^x}, t > 0\)
Phương trình trở thành \({t^2} – 2\left( {m + 1} \right)t – 3 – 2m > 0\)
ycbt \( \Leftrightarrow {t^2} – 2\left( {m + 1} \right)t – 3 – 2m > 0,\forall t > 0,\left( 1 \right)\)
ta có \(\Delta ‘ = {\left( {m + 2} \right)^2} \ge ,\forall m\)
Nếu \(\Delta ‘ = 0 \Leftrightarrow m = – 2\), khi đó từ \(\left( 1 \right)\)ta có \({\left( {2t + 1} \right)^2} > 0,\forall t \ne – \frac{1}{2}\)
Nếu \(m \ne – 2\) ta có \(\Delta ‘ > 0\)
khi đó \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm thỏa mãn ycbt khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ‘ > 0\\\frac{S}{2} < 0\\P \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne – 2\\m < – 1\\m \le – \frac{3}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le – \frac{3}{2}\)
Vậy \(m \le – \frac{3}{2}\).
...
--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--
Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Chuyên đề ôn thi THPT QG về bất phương trình mũ. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.
Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.
Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:
Chúc các em học tốt!
