1. Lý thuyết
Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho \(I\left( a;b \right)\), \(M\left( x;y \right)\), gọi \(M'\left( x';y' \right)\) là ảnh của \(M\) qua phép đối xứng tâm \(I\) thì \(\left\{ \begin{align} & x'=2a-x \\ & y'=2b-y \\ \end{align} \right.\)
Ví dụ: Trong mặt phẳng \(Oxy\), ảnh của đường tròn \(\left( C \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1\) qua phép đối xứng tâm\(I\left( 1;0 \right)\).
A. \(\left( {{C}'} \right):{{\left( x2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=1\).
B. \(\left( {{C}'} \right):{{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=1\).
C. \(\left( {{C}'} \right):{{x}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}=1\).
D. \(\left( {{C}'} \right):{{x}^{2}}+{{\left( y2 \right)}^{2}}=1\).
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
+ \(\left( C \right)\) có tâm \(O\left( 0;0 \right)\) bán kính \(R=1\).
+ \(\left( {{C}'} \right)\) là ảnh của đường tròn \(\left( C \right)\) qua phép đối xứng tâm \(I\left( 1;0 \right)\) nên đường tròn \(\left( {{C}'} \right)\) có tâm \({O}'\left( 2;0 \right)\) bán kính \({R}'=1\).
Vậy \(\left( {{C}'} \right):{{\left( x2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=1\).
2. Bài tập
Câu 1: Ảnh của điểm \(M\left( 3;1 \right)\) qua phép đối xứng tâm \(I\left( 1;2 \right)\) là:
A. \(\left( 2;\text{ }1 \right)\).
B. \(\left( 1;\text{ }5 \right)\).
C. \(\left( 1;\text{ }3 \right)\).
D. \(\left( 5;4 \right)\).
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có: \({{\tilde{N}}_{I}}\left( M \right)={M}'\Leftrightarrow \) .
Vậy \({M}'\left( 1;\text{ }5 \right).\)
Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(d:x=2\). Trong các đường thẳng sau đường thẳng nào là ảnh của \(d\) qua phép đối xứng tâm \(O\)?
A. \(x=2\).
B. \(y=2\).
C. \(x=2\).
D. \(y=2\).
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Gọi \(M\left( x;y \right)\in d\), \({M}'\left( {x}';{y}' \right)\) là ảnh của \(M\) qua phép đối xứng tâm \(O\).
Khi đó ta có:
Do \(M\in d\Rightarrow {x}'=-2.\)
Vậy \({d}':x=-2\).
Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(d:x-y+4=0\). Hỏi trong các đường thẳng sau đường thẳng nào có thể biến thành \(d\) qua một phép đối xứng tâm?
A. \(2x+y4=0\).
B. \(x+y1=0\).
C. \(2x2y+1=0\).
D. \(2x+2y3=0\).
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Qua phép đối xứng tâm đường thẳng d sẽ biến thành đường thẳng \({d}'\) song song hoặc trùng với nó. Khi đó vectơ pháp tuyến của d và \({d}'\)cùng phương nhau. Trong các đáp án chỉ có đáp án C là thỏa.
Tập hợp tâm đối xứng đó nằm là đường thẳng cách đều d và \({d}'\) có phương trình là \(\Delta :4x-4y-7=0\).
Câu 4: Cho điểm \(I\left( 1;1 \right)\)và đường thẳng \(d:x+2y+3=0\). Tìm ảnh của \(d\) qua phép đối xứng tâm \(I\).
A. \(d':x+y-3=0\)
B. \(d':x+2y-7=0\)
C. \(d':2x+2y-3=0\)
D. \(d':x+2y-3=0\)
Hướng dẫn giải:
Cách 1. Lấy điểm \(M\left( x;y \right)\in d\Rightarrow x+2y+3=0\text{ }\left( * \right)\)
Gọi \(M'\left( x';y' \right)={{}_{I}}\left( M \right)\) thì .
Thay vào \(\left( * \right)\) ta được \(\left( 2-x' \right)+2\left( 2-y' \right)+3=0\Leftrightarrow x'+2y'-9=0\)
Vậy ảnh của \(d\) là đường thẳng \(d':x+2y-3=0\).
Cách 2. Gọi \(d'\) là ảnh của \(d\) qua phép đối xứng tâm \(I\), thì \(d'\) song song hoặc trùng với \(d\) nên phương trình \(d'\) có dạng \(x+2y+c=0\).
Lấy \(N\left( -3;0 \right)\in d\), gọi \(N'={{}_{I}}\left( N \right)\) thì \(N'\left( 5;2 \right)\).
Lại có \(N'\in d'\Rightarrow 5+2.2+c=0\Leftrightarrow c=-9\).
Vậy \(d':x+2y-3=0\).
Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho điểm\(I\left( a;b \right)\). Nếu phép đối xứng tâm \(I\) biến điểm \(M\left( x;\text{ }y \right)\) thành \({M}'\left( {x}';\text{ }{y}' \right)\) thì ta có biểu thức:
A. \(\left\{ \begin{array}{l} x' = a + x\\ y' = b + y \end{array} \right.\).
B. \(\left\{ \begin{array}{l} x' = 2a - x\\ y' = 2b - y \end{array} \right.\).
C. \(\left\{ \begin{array}{l} x' = a - x\\ y' = b - y \end{array} \right.\).
D. \(\left\{ \begin{array}{l} x = 2x' - a\\ y = 2y' - b \end{array} \right.\).
Câu 6: Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho phép đối xứng tâm \(I\left( 1;2 \right)\) biến điểm \(M\left( x;y \right)\) thành \({M}'\left( {x}';{y}' \right)\). Khi đó
A. \(\left\{ \begin{array}{l} x' = - x + 2\\ y' = - y - 2 \end{array} \right.\).
B. \(\left\{ \begin{array}{l} x' = - x + 2\\ y' = - y + 4 \end{array} \right.\).
C. \(\left\{ \begin{array}{l} x' = - x + 2\\ y' = - y - 4 \end{array} \right.\).
D. \(\left\{ \begin{array}{l} x' = x + 2\\ y' = y - 2 \end{array} \right.\).
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Theo biểu thức tọa độ phép đối xứng
\(\left\{ \begin{array}{l} x' = 2a - x = - x + 2\\ y' = 2b - y = - y + 4 \end{array} \right.\).
Câu 7: Một hình \(\left( H \right)\) có tâm đối xứng nếu và chỉ nếu:
A. Tồn tại phép đối xứng tâm biến hình \(\left( H \right)\) thành chính nó.
B. Tồn tại phép đối xứng trục biến hình \(\left( H \right)\) thành chính nó.
C. Hình \(\left( H \right)\) là hình bình hành.
D. Tồn tại phép dời hình biến hình \(\left( H \right)\) thành chính nó.
Câu 8: Trong mặt phẳng \(Oxy\), ảnh của điểm \(A\left( 5;3 \right)\) qua phép đối xứng tâm \(I\left( 4;1 \right)\) là:
A. \({A}'\left( 5;3 \right)\).
B. \({A}'\left( 5;3 \right)\).
C. \({A}'\left( 3;1 \right)\).
D. \({A}'\left( \frac{9}{2};2 \right)\).
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
+ Thay biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm \(I\left( 4;1 \right)\) ta được: \(\left\{ \begin{array}{l} x' = 2.4 - 5 = 3\\ y' = 2.1 - 3 = - 1 \end{array} \right.\).
Câu 9: Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho đường thẳng \(d:x+y2=0\), ảnh của \(d\) qua phép đối xứng tâm\(I\left( 1;2 \right)\) là đường thẳng:
A. \({d}':x+y+4=0\).
B. \({d}':x+y4=0\).
C. \({d}':xy+4=0\).
D. \({d}':xy4=0\).
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
+ Giả sử phép đối xứng tâm\(I\left( 1;2 \right)\) biến điểm \(M\left( x;y \right)\in d\) thành điểm \({M}'\left( {x}';{y}' \right)\) ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l} x' = 2.1 - x = 2 - x\\ y' = 2.2 - y = 4 - y \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 2 - x'\\ y = 4 - y' \end{array} \right. \Rightarrow M\left( {2 - x';4 - y'} \right)\).
+ \(M\in d\) nên ta có: \(\left( 2-{x}' \right)+\left( 4-{y}' \right)2=0\Leftrightarrow {x}'+{y}'-4=0\).
Vậy \({d}':x+y4=0\).
Câu 10: Trong mặt phẳng \(Oxy\), ảnh của đường tròn \(\left( C \right):{{\left( x3 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2~}}\text{= }9\) qua phép đối xứng tâm \(O\left( 0;0 \right)\) là đường tròn :
A. \(\left( {{C}'} \right):{{\left( x3 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=9\).
B. \(\left( {{C}'} \right):{{\left( x+3 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=9\).
C. \(\left( {{C}'} \right):{{\left( x3 \right)}^{2}}+{{\left( y1 \right)}^{2}}=9\).
D. \(\left( {{C}'} \right):{{\left( x+3 \right)}^{2}}+{{\left( y1 \right)}^{2}}=9\).
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
+ \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( 3;-1 \right)\) bán kính \(R=3\).
+ \(\left( {{C}'} \right)\) là ảnh của đường tròn \(\left( C \right)\) qua phép đối xứng tâm \(O\left( 0;0 \right)\) nên đường tròn \(\left( {{C}'} \right)\) có tâm \({I}'\left( -3;1 \right)\) bán kính \({R}'=3\).
Vậy \(\left( {{C}'} \right):{{\left( x+3 \right)}^{2}}+{{\left( y1 \right)}^{2}}=9\).
...
---(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---
Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.
Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.
Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:
Chúc các em học tập tốt!
