Trong bài học này, chúng ta sẽ làm quen với Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp). Đây là phần tiếp theo của bài học trước, ở bài học này chúng ta sẽ xét các hằng đẳng thức liên quan đến lập phương của một tổng hoặc một hiệu.
Tóm tắt lý thuyết
1.1 Kiến thức cần nhớ
1. Lập phương của một tổng: \({(A + B)^3} = {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}\)
2. Lập phương của một hiệu: \({(A - B)^3} = {A^3} - 3{A^2}B + 3A{B^2} - {B^3}\)
Việc chứng minh các hằng đẳng thức này cũng dựa trên việc nhân đa thức với đa thức.
Chẳng hạn như ở hằng đẳng thức lâp phương của một tổng ta có thể chứng minh như sau :
\(\begin{array}{l} {(A + B)^3} = (A + B){(A + B)^2}\\ = (A + B)({A^2} + 2AB + {B^2})\\ = {A^3} + 2{A^2}B + A{B^2} + {A^2}B + 2A{B^2} + {B^3}\\ = {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3} \end{array}\)
chúng ta cũng chứng minh tương tự cho hằng đẳng thức lập phương của một hiệu.
Bài tập minh họa
Bài 1. Tính nhanh:
a. \({97^3} + {3.97^2}.3 + {3.97.3^2} + {3^3}\)
b. \({16^3} - {3.16^2}.6 + {3.16.6^2} - {6^3}\)
Hướng dẫn:
a.
\(\begin{array}{l} {97^3} + {3.97^2}.3 + {3.97.3^2} + {3^3}\\ = {\left( {97 + 3} \right)^3} = {100^3} = 1000000 \end{array}\)
b.
\(\begin{array}{l} {16^3} - {3.16^2}6 + {3.16.6^2} - {6^3}\\ = {\left( {16 - 6} \right)^3} = {10^3} = 1000 \end{array}\)
Bài 2. Khai triển biểu thức: \({\left( {x + y + 1} \right)^3}\)
Hướng dẫn:
\(\begin{array}{l} {\left( {x + y + 1} \right)^3}\\ = {\left[ {(x + y) + 1} \right]^3}\\ = {(x + y)^3} + 3{(x + y)^2} + 3(x + y) + 1\\ = {x^3} + 3{x^2}y + 3x{y^2} + {y^3} + 3\left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right) + 3x + 3y + 1\\ = {x^3} + 3{x^2}y + 3x{y^2} + {y^3} + 3{x^2} + 6xy + 3{y^2} + 3x + 3y + 1 \end{array}\)
Bài 3. Chứng minh rằng: \({\left( {x + y + z} \right)^3} = {x^3} + {y^3} + {z^3} + 3(x + y)(y + z)(z + x)\)
Hướng dẫn:
Ta có thể biến đổi vế phải như sau
\(\begin{array}{l} {x^3} + {y^3} + {z^3} + 3(x + y)(y + z)(z + x)\\ = {x^3} + {y^3} + {z^3} + 3(xy + xz + {y^2} + yz)(z + x)\\ = {x^3} + {y^3} + {z^3} + 3(xyz + x{z^2} + {y^2}z + y{z^2} + {x^2}y + {x^2}z + {y^2}x + xyz)\\ = {x^3} + {y^3} + {z^3} + 6xyz + 3x{z^2} + 3{y^2}z + 3y{z^2} + 3{x^2}y + 3{x^2}z + 3x{y^2}\\ = \left( {{x^3} + 3{x^2}y + + 3x{y^2} + {y^3}} \right) + \left( {3{x^2}z + 6xyz + 3{y^2}z} \right) + \left( {3x{z^2} + 3y{z^2}} \right) + {z^3}\\ = {(x + y)^3} + 3({x^2} + 2xy + {y^2})z + 3(x + y){z^2} + {z^3}\\ = {(x + y)^3} + 3{(x + y)^2}z + 3(x + y){z^2} + {z^3}\\ = {\left( {x + y + z} \right)^3} \end{array}\)
Bên cạnh đó các em cũng có thể biến đổi từ vế trái thành vế phải.
3. Luyện tập Bài 4 Toán 8 tập 1
Qua bài giảng Những hằng đẳng thức đáng nhớ này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như :
- Ghi nhớ được hằng đẳng thức lập phương của một tổng, lập phương của một hiệu
- Vận dụng được các hằng đẳng thức đã học để giải các bài toán liên quan
3.1 Trắc nghiệm về Những hằng đẳng thức đáng nhớ
Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 8 Bài 4 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết.
-
- A. \({\left( {x - \frac{1}{3}} \right)^2}\)
- B. \({\left( {3x - \frac{1}{3}} \right)^2}\)
- C. \({\left( {3x + \frac{1}{3}} \right)^2}\)
- D. \(- {\left( {3x + \frac{1}{3}} \right)^2}\)
Câu 2- Câu 5: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online
3.2. Bài tập SGK về Những hằng đẳng thức đáng nhớ
Các em có thể xem thêm phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 8 Bài 4 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.
Bài tập 26 trang 14 SGK Toán 8 Tập 1
Bài tập 27 trang 14 SGK Toán 8 Tập 1
Bài tập 28 trang 14 SGK Toán 8 Tập 1
Bài tập 29 trang 14 SGK Toán 8 Tập 1
4. Hỏi đáp Bài 4 Chương 1 Đại số 8 tập 1
Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán Chúng tôi sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!
Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!
