Tổng hợp các công thức lũy thừa cần nhớ

Số mũ \(\alpha\)	Cơ số a	Luỹ thừa \({{a}^{\alpha }}\)
\(\alpha =n\in {{N}^{*}}\)	a \(\in\) R	\({{a}^{\alpha }}={{a}^{n}}=a.a......a\)(n thừa số a)
\(\alpha =0\)	\(a\ne 0\)	\({{a}^{\alpha }}={{a}^{0}}=1\)
\(\alpha =-n\,(\,n\in {{N}^{*}})\)	\(a\ne 0\)	\({{a}^{\alpha }}={{a}^{-n}}=\frac{1}{{{a}^{n}}}\)
\(\alpha =\frac{m}{n}\,(m\in Z,\,n\in {{N}^{*}})\)	\(a>0\)	\({{a}^{\alpha }}={{a}^{\frac{m}{n}}}=\sqrt[n]{{{a}^{m}}}\ (\sqrt[n]{a}=b\Leftrightarrow {{b}^{n}}=a)\)
\(\alpha =\lim \,{{r}_{n}}\ ({{r}_{n}}\in Q,\,n\in {{N}^{*}})\)	\(a>0\)	\({{a}^{\alpha }}=\lim {{a}^{{{r}_{n}}}}\)

• Với mọi a > 0, b > 0 ta có:

\({{a}^{\alpha }}.{{a}^{\beta }}={{a}^{\alpha +\beta }}\quad ;\quad \frac{{{a}^{\alpha }}}{{{a}^{\beta }}}={{a}^{\alpha -\beta }}\quad ;\quad {{({{a}^{\alpha }})}^{\beta }}={{a}^{\alpha .\beta }}\ ;\quad {{(ab)}^{\alpha }}={{a}^{\alpha }}.{{b}^{\alpha }}\quad ;\quad {{\left( \frac{a}{b} \right)}^{\alpha }}=\frac{{{a}^{\alpha }}}{{{b}^{\alpha }}}\)

• a > 1 : \({{a}^{\alpha }}>{{a}^{\beta }}\ \Leftrightarrow \ \alpha >\beta \)    

• 0 < a < 1 : \({{a}^{\alpha }}>{{a}^{\beta }}\ \Leftrightarrow \ \alpha <\beta \)

• Với 0 < a < b ta có:

\({{a}^{m}}<{{b}^{m}}\Leftrightarrow m>0\)

\({{a}^{m}}>{{b}^{m}}\Leftrightarrow m<0\)

Chú ý:

+ Khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0.

+ Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương.

• Căn bậc n của a là số b sao cho \({{b}^{n}}=a\).

• Với a, b \(\ge\) 0, m, n \(\in\) N*, p, q \(\in\) Z ta có:

\(\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b}\)

\(\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}(b>0)\)

\(\sqrt[n]{{{a}^{p}}}={{\left( \sqrt[n]{a} \right)}^{p}}(a>0)\)

\(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}\)

\(Ne\acute{a}u\,\,\frac{p}{n}=\frac{q}{m}\,\,th\grave{i}\,\,\sqrt[n]{{{a}^{p}}}=\sqrt[m]{{{a}^{q}}}\,\,(a>0)\);  Đặc biệt \(\sqrt[n]{a}=\sqrt[mn]{{{a}^{m}}}\)

• Nếu n là số nguyên dương lẻ và a < b thì \(\sqrt[n]{a}<\sqrt[n]{b}\).

• Nếu n là số nguyên dương chẵn và 0 < a < b thì \(\sqrt[n]{a}<\sqrt[n]{b}\).

Chú ý:

+ Khi n lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n. Kí hiệu \(\sqrt[n]{a}\).

+ Khi n chẵn, mỗi số thực dương a có đúng hai căn bậc n là hai số đối nhau.

Ví dụ: Cho hàm số \(f(x)=\frac{{{16}^{x}}}{{{16}^{x}}+4}\). Tính tổng \(S=f\left( \frac{1}{2017} \right)+f\left( \frac{2}{2017} \right)+f\left( \frac{3}{2017} \right)+...+f\left( \frac{2017}{2017} \right).\)

A. \(S=\frac{5044}{5}.\)

B. \(S=\frac{10084}{5}.\)

C. \(S=1008.\)

D. \(S=\frac{10089}{5}.\)

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Nhận xét: Cho \(x+y=1\)

Ta có \(f\left( x \right)+f\left( y \right)=\frac{{{16}^{x}}}{{{16}^{x}}+4}+\frac{{{16}^{y}}}{{{16}^{y}}+4}=\frac{16+{{4.16}^{x}}+16+{{4.16}^{y}}}{16+{{4.16}^{x}}+{{4.16}^{y}}+16}=1\)

\(S=f\left( \frac{1}{2017} \right)+f\left( \frac{2016}{2017} \right)+f\left( \frac{2}{2017} \right)+f\left( \frac{2015}{2017} \right)+...+f\left( \frac{1008}{2017} \right)+f\left( \frac{1009}{2017} \right)+f\left( \frac{2017}{2017} \right)\)

\(=\underbrace{1+1+...+1}_{1008\,\,so\,\,hang}+\frac{16}{16+4}=1008+\frac{4}{5}=\frac{5044}{5}\).

Câu 1: Trong hình vẽ dưới đây có đồ thị của các hàm số\(y={{a}^{x}}\), \(y={{b}^{x}}\), \(y={{\log }_{c}}x\).

Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây?

A. c < a < b

B. a < c < b

C. b < c < a

D. a < b = c

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Từ đồ thị

Ta thấy hàm số \(y={{a}^{x}}\) nghịch biến \(\Rightarrow \) 0 < a < 1.

Hàm số \(y={{b}^{x}},\,y={{\log }_{c}}x\) đồng biến \(\Rightarrow b>1,\,c>1\)

\(\Rightarrow \) a < b, a < c

Nếu b=c thì đồ thị hàm số \(y={{b}^{x}}\) và \(y={{\log }_{c}}x\) phải đối xứng nhau qua đường phân giác góc phần tư thứ nhất \(y=x\). Nhưng ta thấy đồ thị hàm số \(y={{\log }_{c}}x\) cắt đường \(y=x\) nên loại D.

Câu 2: Cho bốn hàm số \(y={{\left( \sqrt{3} \right)}^{x}}\left( 1 \right)\), \(y={{\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)}^{x}}\left( 2 \right)\), \(y={{4}^{x}}\text{ }\left( 3 \right)\), \(y={{\left( \frac{1}{4} \right)}^{x}}\text{ }\left( 4 \right)\) có đồ thị là 4 đường cong theo phía trên đồ thị, thứ tự từ trái qua phải là \(\left( {{C}_{1}} \right),\left( {{C}_{2}} \right),\left( {{C}_{3}} \right),\left( {{C}_{4}} \right)\) như hình vẽ bên.

Tương ứng hàm số - đồ thị đúng là

A. \(\left( 1 \right)-\left( {{C}_{2}} \right),\left( 2 \right)-\left( {{C}_{3}} \right),\left( 3 \right)-\left( {{C}_{4}} \right),\left( 4 \right)-\left( {{C}_{1}} \right)\).

B. \(\left( 1 \right)-\left( {{C}_{1}} \right),\left( 2 \right)-\left( {{C}_{2}} \right),\left( 3 \right)-\left( {{C}_{3}} \right),\left( 4 \right)-\left( {{C}_{4}} \right).\)

C. \(\left( 1 \right)-\left( {{C}_{4}} \right),\left( 2 \right)-\left( {{C}_{1}} \right),\left( 3 \right)-\left( {{C}_{3}} \right),\left( 4 \right)-\left( {{C}_{2}} \right)\).

D. \(\left( 1 \right)-\left( {{C}_{1}} \right),\left( 2 \right)-\left( {{C}_{2}} \right),\left( 3 \right)-\left( {{C}_{3}} \right),\left( 4 \right)-\left( {{C}_{4}} \right).\)

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Ta có \(y={{\left( \sqrt{3} \right)}^{x}}\) và \(y={{4}^{x}}\) có cơ số lớn hơn 1 nên hàm đồng biến nên nhận đồ thị là \(\left( {{C}_{3}} \right)\) hoặc \(\left( {{C}_{4}} \right)\).

Lấy \(x=2\) ta có \({{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}<{{4}^{2}}\) nên đồ thị \(y={{4}^{x}}\)là \(\left( {{C}_{3}} \right)\) và đồ thị \(y={{\left( \sqrt{3} \right)}^{x}}\) là \(\left( {{C}_{4}} \right)\).

Ta có đồ thị hàm số \(y={{4}^{x}}\) và \(y={{\left( \frac{1}{4} \right)}^{x}}\) đối xứng nhau qua Oy nên đồ thị \(y={{\left( \frac{1}{4} \right)}^{x}}\)là \(\left( {{C}_{2}} \right)\).

Còn lại \(\left( {{C}_{1}} \right)\) là đồ thị của \(y={{\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)}^{x}}\).

Vậy \(\left( 1 \right)-\left( {{C}_{4}} \right),\left( 2 \right)-\left( {{C}_{1}} \right),\left( 3 \right)-\left( {{C}_{3}} \right),\left( 4 \right)-\left( {{C}_{2}} \right)\)

Câu 3: Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=\left( 20{{x}^{2}}+20x-1283 \right){{e}^{40x}}\) trên tập hợp các số tự nhiên là

A. \(-1283\).                    

B. \(-163.{{e}^{280}}\).   

C. \(157.{{e}^{320}}\).          

D. \(-8.{{e}^{300}}\).

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

\({y}'=\left( 40x+20 \right){{e}^{40x}}+\left( 20{{x}^{2}}+20x-1283 \right)40{{e}^{40x}}=\left( 800{{x}^{2}}+840x-51300 \right){{e}^{40x}}\)

\({y}'=0\Rightarrow x=-\frac{342}{40};x=\frac{300}{40}\).

Bảng xét dấu đạo hàm

\(y\left( 7 \right)=-163.{{e}^{280}};y\left( 8 \right)=157.{{e}^{320}}\).

Vậy \(\min y=-163.{{e}^{280}}.\)

Câu 4: Cho hàm số \(y={{\left( \frac{4}{2017} \right)}^{{{e}^{3x}}-\left( m-1 \right){{e}^{x}}+1}}\). Tìm \(m\) để hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( 1;\,2 \right)\).

A. \(3{{e}^{3}}+1\le m<3{{e}^{4}}+1\).

B. \(m\ge 3{{e}^{4}}+1\).

C. \(3{{e}^{2}}+1\le m\le 3{{e}^{3}}+1\).

D. \(m<3{{e}^{2}}+1\).

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

\({y}'={{\left( \frac{4}{2017} \right)}^{{{e}^{3x}}-\left( m-1 \right){{e}^{x}}+1}}.\ln \left( \frac{4}{2017} \right).{{\left( {{e}^{3x}}-\left( m-1 \right){{e}^{x}}+1 \right)}^{\prime }}\)=\({y}'={{\left( \frac{4}{2017} \right)}^{{{e}^{3x}}-\left( m-1 \right){{e}^{x}}+1}}.\ln \left( \frac{4}{2017} \right).\left( 3{{e}^{3x}}-\left( m-1 \right){{e}^{x}} \right)\)

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( 1;\,2 \right)\)

⇔ \({y}'={{\left( \frac{4}{2017} \right)}^{{{e}^{3x}}-\left( m-1 \right){{e}^{x}}+1}}.\ln \left( \frac{4}{2017} \right).\left( 3{{e}^{3x}}-\left( m-1 \right){{e}^{x}} \right)\ge 0,\,\forall x\in \left( 1;\,2 \right)\)(*), mà \(\left\{ \begin{array}{l} {\left( {\frac{4}{{2017}}} \right)^{{e^{3x}} - \left( {m - 1} \right){e^x} + 1}} > 0\,,\,\forall x \in R\\ \ln \left( {\frac{4}{{2017}}} \right) < 0 \end{array} \right.\).

Nên (*) ⇔ \(3{{e}^{3x}}-\left( m-1 \right){{e}^{x}}\le 0,\,\forall x\in \left( 1;\,2 \right)\)

⇔\(3{{e}^{2x}}+1\le m,\,\forall x\in \left( 1;\,2 \right)\)

Đặt \(g\left( x \right)=3{{e}^{2x}}+1\,,\,\forall x\in \left( 1;\,2 \right)\), \(g\left( x \right)=3{{e}^{2x}}.2>0\,,\,\forall x\in \left( 1;\,2 \right)\)

Vậy (*) xảy ra khi \(m\ge g\left( 2 \right)\)⇔\(m\ge 3{{e}^{4}}+1\).

Câu 5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số \(y=\frac{{{e}^{x}}-m-2}{{{e}^{x}}-{{m}^{2}}}\)đồng biến trên khoảng \(\left( \ln \frac{1}{4};0 \right)\)

A. \(m\in \left[ -\frac{1}{2};\frac{1}{2} \right]\cup [1;2)\) 

B. \(m\in [-1;2]\)

C. \(m\in (1;2)\) 

D. \(m\in \left[ -\frac{1}{2};\frac{1}{2} \right]\)

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \ln {{m}^{2}} \right\}\)

Ta có \(y'=\frac{(-{{m}^{2}}+m+2){{e}^{x}}}{{{\left( {{e}^{x}}-{{m}^{2}} \right)}^{2}}}>0\Leftrightarrow -{{m}^{2}}+m+2>0\)

\(\Leftrightarrow\) -1 < m < 2 thì hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( -\infty ;\ln {{m}^{2}} \right)\) và \(\left( \ln {{m}^{2}};+\infty  \right)\)

Do đó để hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( \ln \frac{1}{4};0 \right)\) thì \(\left[ \begin{array}{l} \ln {m^2} \le \frac{1}{4}\\ \ln {m^2} \ge 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - \frac{1}{2} \le m \le \frac{1}{2}\\ m \le - 1 \vee m \ge 1 \end{array} \right.\)

Kết hợp với điều kiện -1 < m < 2 suy ra \(m\in \left[ -\frac{1}{2};\frac{1}{2} \right]\cup [1;2)\).

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Tổng hợp các công thức lũy thừa cần nhớ​​. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Ứng dụng của hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit trong lĩnh vực khoa học kỹ thuật

• Lý thuyết và bài tập Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit Toán 12 có đáp án

Chúc các em học tập tốt!