Tổng hợp các công thức logarit quan trọng

Với a > 0, a khác 1, b > 0 ta có: \({{\log }_{a}}b=\alpha \Leftrightarrow {{a}^{\alpha }}=b\)

Chú ý: log_ab có nghĩa khi \(\left\{ \begin{array}{l} a > 0,a \ne 1\\ b > 0 \end{array} \right.\)

• Logarit thập phân: \(\lg b=\log b={{\log }_{10}}b\)

• Logarit tự nhiên (logarit Nepe): \(\ln b={{\log }_{e}}b\)  (với  \(e=\lim {{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n}}\approx 2,718281\))

• \({{\log }_{a}}1=0\)                    

• \({{\log }_{a}}a=1\)

• \({{\log }_{a}}{{a}^{b}}=b\)

• \({{a}^{{{\log }_{a}}b}}=b\,\,(b>0)\)

• Cho a > 0, a khác 1, b, c > 0. Khi đó:

+ Nếu a > 1 thì \({{\log }_{a}}b>{{\log }_{a}}c\Leftrightarrow b>c\)

+ Nếu 0 < a < 1 thì \({{\log }_{a}}b>{{\log }_{a}}c\) \(\Leftrightarrow \) b < c

Với a > 0, a khác 1, b, c > 0, ta có:

• \({{\log }_{a}}(bc)={{\log }_{a}}b+{{\log }_{a}}c\)      ·

• \({{\log }_{a}}\left( \frac{b}{c} \right)={{\log }_{a}}b-{{\log }_{a}}c\)      ·

• \({{\log }_{a}}{{b}^{\alpha }}=\alpha {{\log }_{a}}b\)

Với a, b, c > 0 và a, b khác 1, ta có:        

• \({{\log }_{b}}c=\frac{{{\log }_{a}}c}{{{\log }_{a}}b}\) hay \({{\log }_{a}}b.{{\log }_{b}}c={{\log }_{a}}c\)

• \({{\log }_{a}}b=\frac{1}{{{\log }_{b}}a}\) 

• \({{\log }_{{{a}^{\alpha }}}}c=\frac{1}{\alpha }{{\log }_{a}}c\,\,(\alpha \ne 0)\)

Câu 1: Cho \({{\log }_{7}}12=x\), \(\,{{\log }_{12}}24=y\) và \({{\log }_{54}}168=\frac{axy+1}{bxy+cx}\), trong đó \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số nguyên. Tính giá trị biểu thức \(S=a+2b+3c.\)

A. \(S=4\).                      

B. \(S=19.\)                  

C. \(S=10.\)                  

D. \(S=15.\)

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có: \({{\log }_{54}}168=\frac{{{\log }_{7}}\left( 24.7 \right)}{{{\log }_{7}}54}\)\(=\frac{{{\log }_{7}}24+1}{{{\log }_{7}}54}\)\(=\frac{{{\log }_{7}}12{{\log }_{12}}24+1}{{{\log }_{7}}54}\)

\(=\frac{{{\log }_{7}}12{{\log }_{12}}24+1}{{{\log }_{7}}12{{\log }_{12}}54}\)\(=\frac{xy+1}{x.{{\log }_{12}}54}\)

Tính \({{\log }_{12}}54={{\log }_{12}}\left( 27.2 \right)\) \(=3{{\log }_{12}}3+{{\log }_{12}}2 =3{{\log }_{12}}\frac{3.2.12.24}{2.12.24}+{{\log }_{12}}\frac{24}{12}\).

 \(=3{{\log }_{12}}\frac{{{12}^{3}}}{{{24}^{2}}}+{{\log }_{12}}\frac{24}{12} =3\left( 3-2{{\log }_{12}}24 \right)+\left( {{\log }_{12}}24-1 \right) =8-5{{\log }_{12}}24 =8-5y\).

Do đó: \({{\log }_{54}}168=\frac{xy+1}{x\left( 8-5y \right)}\) \(=\frac{xy+1}{-5xy+8x}\).

Vậy \(\left\{ \begin{array}{l} a = 1\\ b = - 5\\ c = 8 \end{array} \right.\) \(\Rightarrow S=a+2b+3c=15\)

Câu 2: Nếu \({{\log }_{8}}a+{{\log }_{4}}{{b}^{2}}=5\) và \({{\log }_{4}}{{a}^{2}}+{{\log }_{8}}b=7\) thì giá trị của \(ab\) bằng

A. \({{2}^{9}}.\)              

B. \({{2}^{18}}.\)         

C. 8.                             

D. 2.

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Đặt \(x={{\log }_{2}}a\Rightarrow a={{2}^{x}};\,\,y={{\log }_{2}}b\Rightarrow b={{2}^{y}}\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l} {\log _8}a + {\log _4}{b^2} = 5\\ {\log _4}{a^2} + {\log _8}b = 7 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{3}x + y = 5\\ x + \frac{1}{3}y = 7 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + 3y = 15\\ 3x + y = 21 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 6\\ y = 3 \end{array} \right.\).

Suy ra \(ab={{2}^{x+y}}={{2}^{9}}\).

BÌNH LUẬN

Nguyên tắc trong bài này là đưa về logarit cơ số 2.

Câu 3: Với \(a>0,a\ne 1\), cho biết:  \(t={{a}^{\frac{1}{1-{{\log }_{a}}u}}};v={{a}^{\frac{1}{1-{{\log }_{a}}t}}}\). Chọn khẳng định đúng:

A. \(u=a\frac{-1}{1-{{\log }_{a}}v}\). 

B. \(u=a\frac{1}{1+{{\log }_{a}}t}\).  

C.  \(u=a\frac{1}{1+{{\log }_{a}}v}\).  

D.  \(u=a\frac{1}{1-{{\log }_{a}}v}\).

Hướng dẫn giải:

Từ giả thiết suy ra: \({{\log }_{a}}t=\frac{1}{1-{{\log }_{a}}u}.{{\log }_{a}}a=\frac{1}{1-{{\log }_{a}}u}\)

\(\begin{align} & {{\log }_{a}}v=\frac{1}{1-{{\log }_{a}}t}.{{\log }_{a}}a=\frac{1}{1-{{\log }_{a}}t}=\frac{1}{1-\frac{1}{1-{{\log }_{a}}u}}=\frac{1-{{\log }_{a}}u}{-{{\log }_{a}}u} \\ & \Leftrightarrow -{{\log }_{a}}v{{\log }_{a}}u=1-{{\log }_{a}}u\Leftrightarrow {{\log }_{a}}u\left( 1-{{\log }_{a}}v \right)=1 \\ & \Leftrightarrow {{\log }_{a}}u=\frac{1}{1-{{\log }_{a}}v}\Leftrightarrow u={{a}^{\frac{1}{1-{{\log }_{a}}v}}} \\ \end{align}\)

Chọn D.

Câu 4: Trong hình vẽ dưới đây có đồ thị của các hàm số \(y={{a}^{x}}\), \(y={{b}^{x}}\), \(y={{\log }_{c}}x\).

Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây?

A. c < a < b

B. a < c < b

C. b < c < a

D. a < b = c

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Từ đồ thị

Ta thấy hàm số \(y={{a}^{x}}\) nghịch biến \(\Rightarrow \) 0 < a < 1.

Hàm số \(y={{b}^{x}},\,y={{\log }_{c}}x\) đồng biến \(\Rightarrow b>1,\,c>1\)

\(\Rightarrow \) a < b, a < c

Nếu b=c thì đồ thị hàm số \(y={{b}^{x}}\) và \(y={{\log }_{c}}x\) phải đối xứng nhau qua đường phân giác góc phần tư thứ nhất \(y=x\). Nhưng ta thấy đồ thị hàm số \(y={{\log }_{c}}x\) cắt đường \(y=x\) nên loại D.

Câu 5: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(y=\frac{1}{m\log _{3}^{2}x-4{{\log }_{3}}x+m+3}\) xác định trên khoảng \(\left( 0;+\infty  \right)\).

A. \(m\in \left( -\infty ;-4 \right)\cup \left( 1;+\infty  \right)\).                

B. \(m\in \left[ 1;+\infty  \right)\).

C. \(m\in \left( -4;1 \right)\).

D. \(m\in \left( 1;+\infty  \right)\).

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Đặt \(t={{\log }_{3}}x\), khi đó \(x\in \left( 0;+\infty  \right)\Leftrightarrow t\in \mathbb{R}\).

\(y=\frac{1}{m\log _{3}^{2}x-4{{\log }_{3}}x+m+3} \) trở thành \(y=\frac{1}{m{{t}^{2}}-4t+m+3}\).

Hàm số \(y=\frac{1}{m\log _{3}^{2}x-4{{\log }_{3}}x+m+3}\) xác định trên khoảng \(\left( 0;+\infty  \right)\) khi và chỉ khi hàm số \(y=\frac{1}{m{{t}^{2}}-4t+m+3}\) xác định trên \(\mathbb{R}\)

\(\Leftrightarrow m{{t}^{2}}-4t+m+3=0\) vô nghiệm

\(\Leftrightarrow {{\Delta }^{\prime }}=4-{{m}^{2}}-3m<0\Leftrightarrow m<-4\vee m>1\).

Câu 6: Cho \(\frac{\log a}{p}=\frac{\log b}{q}=\frac{\log c}{r}=\log x\ne 0;\ \frac{{{b}^{2}}}{ac}={{x}^{y}}\). Tính y theo \(p,\ q,\ r\).

A. \(y={{q}^{2}}-pr\).    

B. \(y=\frac{p+r}{2q}\). 

C. \(y=2q-p-r\).         

D. \(y=2q-pr\).

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

\(\begin{array}{l} \frac{{{b^2}}}{{ac}} = {x^y} \Leftrightarrow \log \frac{{{b^2}}}{{ac}} = \log {x^y}\\ \Rightarrow y\log x = 2\log b - \log a - \log c = 2q\log x - p\log x - r\log x\\ \quad \quad \quad \quad = \log x\left( {2q - p - r} \right) \end{array}\)

\(\Rightarrow y=2q-p-r\) (do \(\log x\ne 0\)).

BÌNH LUẬN

Sử dụng \({{\log }_{a}}bc={{\log }_{a}}b+{{\log }_{a}}c,{{\log }_{a}}\frac{b}{c}={{\log }_{a}}b-{{\log }_{a}}c,{{\log }_{a}}{{b}^{m}}=m{{\log }_{a}}b\)

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Tổng hợp các công thức logarit quan trọng. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Lý thuyết và bài tập Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit Toán 12 có đáp án

• Phương pháp tìm nghiệm của phương trình, bất phương trình lôgarit

Chúc các em học tập tốt!