So sánh hai phân số khác mẫu số

Ví dụ : So sánh hai phân số \(\frac{2}{3}\) và \(\frac{3}{4}\).

a) Lấy hai băng giấy bằng nhau. Chia băng giấy thứ nhất thành 3 phần bằng nhau, lấy 2 phần, tức là lấy \(\frac{2}{3}\) băng giấy. Chia băng giấy thứ hai thành 4 phần bằng nhau, lấy 3 phần, tức là lấy \(\frac{3}{4}\) băng giấy. 

Nhìn hình vẽ ta thấy : 

b) Ta có thể so sánh hai phân số \(\frac{2}{3}\) và \(\frac{3}{4}\) như sau :

• Quy đồng mẫu số hai phân số \(\frac{2}{3}\) và \(\frac{3}{4}\) : 

\(\frac{2}{3} = \frac{{2 \times 4}}{{3 \times 4}} = \frac{8}{{12}};\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{3}{4} = \frac{{3 \times 3}}{{4 \times 3}} = \frac{9}{{12}}\)

• So sánh hai phân số có cùng mẫu số :

                \(\frac{8}{{12}} < \frac{9}{{12}}\)  (vì 8 < 9)

• Kết luận :      \(\frac{2}{3} < \frac{3}{4}\). 

Muốn so sánh hai phân số khác mẫu số, ta có thể quy đồng mẫu số hai phân số đó, rồi so sánh các tử số của hai phân số mới.

Bài 1: So sánh hai phân số

a) \(\frac{3}{4}\) và \(\frac{4}{5}\)                b) \(\frac{5}{6}\) và \(\frac{7}{8}\)                 c) \(\frac{2}{5}\) và \(\frac{3}{{10}}\).

Hướng dẫn giải:

• Muốn so sánh hai phân số khác mẫu số, ta có thể quy đồng mẫu số hai phân số đó, rồi so sánh các tử số của hai phân số mới.

a) Quy đồng mẫu số hai phân số \(\frac{3}{4}\) và \(\frac{4}{5}\) :

\(\frac{3}{4} = \frac{{3 \times 5}}{{4 \times 4}} = \frac{{15}}{{20}};\,\,\,\,\,\,\frac{4}{5} = \frac{{4 \times 4}}{{5 \times 4}} = \frac{{16}}{{20}}\)

Vì \(\frac{{15}}{{20}} < \frac{{16}}{{20}}\) nên \(\frac{3}{4} < \frac{4}{5}\).

b) Quy đồng mẫu số hai phân số \(\frac{5}{6}\) và \(\frac{7}{8}\):

\(\frac{5}{6} = \frac{{5 \times 8}}{{6 \times 8}} = \frac{{40}}{{48}};\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{7}{8} = \frac{{7 \times 6}}{{8 \times 6}} = \frac{{42}}{{48}}\)

Vì \(\frac{{40}}{{48}} < \frac{{42}}{{48}}\) nên \(\frac{5}{6} < \frac{7}{8}\).

c)  Quy đồng mẫu số phân số \(\frac{2}{5}\) và giữ nguyên phân số \(\frac{3}{{10}}\):

           \(\frac{2}{5} = \frac{{2 \times 2}}{{5 \times 2}} = \frac{4}{{10}}\)

Vì \(\frac{4}{{10}} > \frac{3}{{10}}\) nên \(\frac{2}{5} > \frac{3}{{10}}\).

Bài 2: Rút gọn rồi so sánh hai phân số

\(\frac{6}{{10}}\) và \(\frac{4}{5}\)                          b) \(\frac{3}{4}\) và \(\frac{6}{{12}}\)

Hướng dẫn giải:

• Rút gọn các phân số đã cho thành phân số tối giản (nếu được).
• Muốn so sánh hai phân số khác mẫu số, ta có thể quy đồng mẫu số hai phân số đó, rồi so sánh các tử số của hai phân số mới.

a) Rút gọn phân số \(\frac{6}{{10}}\) và giữ nguyên phân số \(\frac{4}{5}\) :

           \(\frac{6}{{10}} = \frac{{6:2}}{{10:2}} = \frac{3}{5}\)

Vì \(\frac{3}{5} < \frac{4}{5}\) nên \(\frac{6}{{10}} < \frac{4}{5}\) .

b) Rút gọn phân số \(\frac{6}{{12}}\) và giữ nguyên phân số \(\frac{3}{4}\) : 

          \(\frac{6}{{12}} = \frac{{6:3}}{{12:3}} = \frac{2}{4}\)

Vì  \(\frac{3}{4} > \frac{2}{4}\) nên \(\frac{3}{4} > \frac{6}{{12}}\).

Bài 3: Mai ăn \(\frac{3}{8}\) cái bánh, Hoa ăn \(\frac{2}{5}\) cái bánh. Ai ăn nhiều bánh hơn ?

Hướng dẫn giải:

• Muốn so sánh hai phân số khác mẫu số, ta có thể quy đồng mẫu số hai phân số đó, rồi so sánh các tử số của hai phân số mới.

Quy đồng mẫu số hai phân số :

\(\frac{3}{8} = \frac{{3 \times 5}}{{8 \times 5}} = \frac{{15}}{{40}};\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{2}{5} = \frac{{2 \times 8}}{{5 \times 8}} = \frac{{16}}{{40}}.\)

Vì \(\frac{{16}}{{40}} > \frac{{15}}{{40}}\) nên \(\frac{2}{5} > \frac{3}{8}\).

Vậy Hoa là người ăn nhiều bánh hơn.

Bài 1: So sánh hai phân số

a) \(\frac{5}{8}\) và \(\frac{7}{8}\)          b) \(\frac{{15}}{{25}}\) và \(\frac{4}{5}\)         c) \(\frac{9}{7}\) và \(\frac{9}{8}\)          d) \(\frac{{11}}{{20}}\) và \(\frac{6}{{10}}\)

Hướng dẫn giải:

• Trong hai phân số có cùng mẫu số, phân số nào có tử số bé hơn thì phân số đó bé hơn hơn.
• Trong hai phân số có cùng tử số, phân số nào có mẫu số bé hơn thì phân số đó lớn hơn.
• Muốn so sánh hai phân số khác mẫu số, ta có thể quy đồng mẫu số hai phân số đó, rồi so sánh các tử số của hai phân số mới.

a) Vì 5 < 8 nên \(\frac{5}{8} < \frac{7}{8}\)  

b) Rút gọn phân số : \(\frac{{15}}{{25}} = \frac{{15:5}}{{25:5}} = \frac{3}{5}\)

Vì \(\frac{3}{5} < \frac{4}{5}\) nên \(\frac{{15}}{{25}} < \frac{4}{5}\).

c) Quy đồng mẫu số hai phân số \(\frac{9}{7}\) và \(\frac{9}{8}\): 

\(\frac{9}{7} = \frac{{9 \times 8}}{{7 \times 8}} = \frac{{72}}{{56}};\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{9}{8} = \frac{{9 \times 7}}{{8 \times 7}} = \frac{{63}}{{56}}\).

Vì \(\frac{{72}}{{56}} > \frac{{63}}{{56}}\) nên \(\frac{9}{7} > \frac{9}{8}\).

d) Quy đồng mẫu số hai phân số \(\frac{{11}}{{20}}\) và \(\frac{6}{{10}}\) : 

\(\frac{6}{{10}} = \frac{{6 \times 2}}{{10 \times 2}} = \frac{{12}}{{20}}\) ;           giữ nguyên phân số \(\frac{{11}}{{20}}\)

Vì \(\frac{{11}}{{20}} < \frac{{12}}{{20}}\) nên \(\frac{{12}}{{20}} < \frac{6}{{10}}\).

Bài 2: So sánh hai phân số bằng hai cách khác nhau

 a) \(\frac{8}{7}\) và \(\frac{7}{8}\)                 b) \(\frac{9}{5}\) và \(\frac{5}{8}\)                c) \(\frac{{12}}{{16}}\) và \(\frac{{28}}{{21}}\)

Hướng dẫn giải:

• Cách 1: Quy đồng mẫu số hai phân số rồi so sánh hai phân số sau khi quy đồng.
• Cách 2: So sánh hai phân số đã cho với 11.

a) Cách 1 : Quy đồng mẫu số hai phân số \(\frac{8}{7}\) và \(\frac{7}{8}\)

\(\frac{8}{7} = \frac{{8 \times 8}}{{7 \times 8}} = \frac{{64}}{{56}};\,\,\,\,\,\frac{7}{8} = \frac{{7 \times 7}}{{8 \times 7}} = \frac{{49}}{{56}}\)

Vì \(\frac{{64}}{{56}} > \frac{{49}}{{56}}\) nên \(\frac{8}{7} > \frac{7}{8}\).

    Cách 2 : Ta có \(\frac{8}{7} > 1;\,\,\,\frac{7}{8} < 1\).

Do đó, \(\frac{8}{7} > \frac{7}{8}\).

b) Cách 1 : Quy đồng mẫu số hai phân số \(\frac{9}{5}\) và \(\frac{5}{8}\)

\(\frac{9}{5} = \frac{{9 \times 8}}{{5 \times 8}} = \frac{{72}}{{40}};\,\,\,\,\,\,\frac{5}{8} = \frac{{5 \times 5}}{{8 \times 5}} = \frac{{25}}{{40}}\)

Vì \(\frac{{72}}{{40}} > \frac{{25}}{{40}}\) nên \(\frac{9}{5} > \frac{5}{8}\).

   Cách 2 : \(\frac{9}{5} > 1;\,\,\,\,\frac{5}{8} < 1\)

Do đó, \(\frac{9}{5} > \frac{5}{8}\)

c) Cách 1 : Rút gọn hai phân số \(\frac{{12}}{{16}}\) và \(\frac{{28}}{{21}}\) ta có

\(\frac{{12}}{{16}} = \frac{{12:4}}{{16:4}} = \frac{3}{4};\,\,\,\,\,\,\,\frac{{28}}{{21}} = \frac{{28:7}}{{21:7}} = \frac{4}{3}\)

Quy đồng mẫu số hai phân số \(\frac{3}{4}\) và \(\frac{4}{3}\) ta có :

\(\frac{3}{4} = \frac{{3 \times 3}}{{4 \times 3}} = \frac{9}{{12}};\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{4}{3} = \frac{{4 \times 4}}{{3 \times 4}} = \frac{{16}}{{12}}\)

Vì \(\frac{9}{{12}} < \frac{{16}}{{12}}\) nên \(\frac{3}{4} < \frac{4}{3}\).

Do đó \(\frac{{12}}{{16}} < \frac{{28}}{{21}}\). 

    Cách 2 : \(\frac{{12}}{{16}} < 1;\,\,\,\frac{{28}}{{21}} > 1\)

Do đó, \(\frac{{12}}{{16}} > \frac{{28}}{{21}}\)

Bài 3: So sánh hai phân số có cùng tử số

a) Ví dụ : So sánh \(\frac{4}{5}\) và \(\frac{4}{7}\)

Ta có : \(\frac{4}{5} = \frac{{4 \times 7}}{{5 \times 7}} = \frac{{28}}{{35}};\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{4}{7} = \frac{{4 \times 5}}{{7 \times 5}} = \frac{{20}}{{35}}\)

Vì 28 > 20 nên \(\frac{4}{5} > \frac{4}{7}\) 

Nhận xét :

Trong hai phân số có cùng tử số, phân số nào có mẫu số bé hơn thì phân số đó lớn hơn.

b) So sánh hai phân số : \(\frac{9}{{11}}\) và \(\frac{9}{{14}}\) ;    \(\frac{8}{9}\) và \(\frac{8}{{11}}\)

Hướng dẫn giải:

• Trong hai phân số có cùng tử số, phân số nào có mẫu số bé hơn thì phân số đó lớn hơn.

Ta có : 11 < 14 nên \(\frac{9}{{11}} > \frac{9}{{14}}\);

           9 < 11 nên \(\frac{8}{9} > \frac{8}{{11}}\).

Bài 4: Viết các phân số theo thứ tự từ bé đến lớn

a) \(\frac{6}{7};\frac{4}{7};\frac{5}{7}\)                     b) \(\frac{2}{3};\frac{5}{6};\frac{3}{4}\)

Hướng dẫn giải: 

• So sánh các phân số đã cho rồi sắp xếp theo thứ tự từ bé đến lớn.

a) Ta có:  4 < 5 < 6 nên \(\frac{4}{7} < \frac{5}{7} > \frac{6}{7}\)

Vậy các phân số đã cho viết theo thứ tự từ bé đến lớn là:  47;57;6747;57;67

b) Quy đồng mẫu số ba phân số \(\frac{2}{3};\frac{5}{6};\frac{3}{4}\), chọn mẫu số chung là 12.

\(\begin{array}{l}
\frac{2}{3} = \frac{{2 \times 4}}{{3 \times 4}} = \frac{8}{{12}};\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{5}{6} = \frac{{5 \times 2}}{{6 \times 2}} = \frac{{10}}{{12}}\\
\frac{3}{4} = \frac{{3 \times 3}}{{4 \times 3}} = \frac{9}{{12}}.
\end{array}\)

Vì \(\frac{8}{{12}} < \frac{9}{{12}} < \frac{{10}}{{12}}\) nên \(\frac{2}{3} < \frac{3}{4} < \frac{5}{6}\).

Vậy các phân số đã cho xếp theo thứ tự từ bé đến lớn là \(\frac{2}{3};\frac{3}{4};\frac{5}{6}\).

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán Chúng tôi sẽ sớm trả lời cho các em.