Phép chia phân số

a) Ví dụ : Hình chữ nhật ABCD có diện tích \(\frac{7}{{15}}{m^2}\), chiều rộng là \(\frac{2}{3}m\). Tính chiều dài của hình đó.

Để tính chiều dài hình chữ nhật ta làm phép chia :  \(\frac{7}{{15}}:\frac{2}{3}\).

b) Để thực hiện phép chia hai phân số, ta làm như sau : Lấy phân số thứ nhất nhân với phân số thứ hai đảo ngược. 

Phân số \(\frac{3}{2}\) gọi là phân số đảo ngược của phân số \(\frac{2}{3}\).

Ta có :              \(\frac{7}{{15}}:\frac{2}{3} = \frac{7}{{15}} \times \frac{3}{2} = \frac{{21}}{{30}}\).

Bài 1: Viết phân số đảo ngược của mỗi phân số sau

            \(\frac{2}{3};\frac{4}{7};\frac{3}{5};\frac{9}{4};\frac{{10}}{7}\).

Hướng dẫn giải:

• Phân số đảo ngược của phân số \(\frac{a}{b}\) là phân số \(\frac{b}{a}\).

Phân số đảo ngược của các phân số : \(\frac{2}{3};\frac{4}{7};\frac{3}{5};\frac{9}{4};\frac{{10}}{7}\) lần lượt là \(\frac{3}{2};\frac{7}{4};\frac{5}{3};\frac{4}{9};\frac{7}{{10}}\).

Bài 2: Tính

a) \(\frac{3}{7}:\frac{5}{8}\)           b) \(\frac{8}{7}:\frac{3}{4}\)           c) \(\frac{1}{3}:\frac{1}{2}\)

Hướng dẫn giải:

• Để thực hiện phép chia hai phân số, ta làm như sau: Lấy phân số thứ nhất nhân với phân số thứ hai đảo ngược.

a) \(\frac{3}{7}:\frac{5}{8} = \frac{3}{7} \times \frac{8}{5} = \frac{{24}}{{35}}\) 

b) \(\frac{8}{7}:\frac{3}{4} = \frac{8}{7} \times \frac{4}{3} = \frac{{32}}{{21}}\)   

c) \(\frac{1}{3}:\frac{1}{2} = \frac{1}{3} \times \frac{2}{1} = \frac{2}{3}\)

Bài 3: Tính

a) \(\frac{2}{3} \times \frac{5}{7}\)           \(\frac{{10}}{{21}}:\frac{5}{7}\)              \(\frac{{10}}{{21}}:\frac{2}{3}\)

b) \(\frac{1}{5} \times \frac{1}{3}\)           \(\frac{1}{{15}}:\frac{1}{5}\)              \(\frac{1}{{15}}:\frac{1}{3}\)

Hướng dẫn giải:

• Muốn nhân hai phân số ta lấy tử số nhân với tử số, mẫu số nhân với mẫu số.
• Muốn chia hai phân số ta lấy phân số thứ nhất nhân với phân số thứ hai đảo ngược.

a) 

+) \(\frac{2}{3} \times \frac{5}{7} = \frac{{2 \times 5}}{{3 \times 7}} = \frac{{10}}{{21}}\) 

+) \(\frac{{10}}{{21}}:\frac{5}{7} = \frac{{10}}{{21}} \times \frac{7}{5} = \frac{{10 \times 7}}{{21 \times 5}} = \frac{{5 \times 2 \times 7}}{{3 \times 7 \times 5}} = \frac{2}{3}\)                  +) \(\frac{{10}}{{21}}:\frac{2}{3} = \frac{{10}}{{21}} \times \frac{3}{2} = \frac{{10 \times 3}}{{21 \times 2}} = \frac{{5 \times 2 \times 3}}{{3 \times 7 \times 2}} = \frac{5}{7}\)

b) 

+) \(\frac{1}{5} \times \frac{1}{3} = \frac{{1 \times 1}}{{5 \times 3}} = \frac{1}{{15}}\)

+) \(\frac{1}{{15}}:\frac{1}{5} = \frac{1}{{15}} \times \frac{5}{1} = \frac{5}{{15}} = \frac{1}{3}\)

+) \(\frac{1}{{15}}:\frac{1}{3} = \frac{1}{{15}} \times \frac{3}{1} = \frac{3}{{15}} = \frac{1}{5}\)

Bài 4: Một hình chữ nhật có diện tích \(\frac{2}{3}\)m², chiều rộng \(\frac{3}{4}\)m. Tính chiều dài của hình đó.

Hướng dẫn giải:

• Để tính chiều dài của hình chữ nhật ta lấy diện tích chia cho chiều rộng.

Bài giải

Chiều dài của hình chữ nhật đó là:

                 \(\frac{2}{3}:\frac{3}{4} = \frac{8}{9}\) (m)

                                            Đáp số: \(\frac{8}{9}\)m.

Bài 1: Tính rồi rút gọn

a) \(\frac{3}{5}:\frac{3}{4}\)           \(\frac{2}{5}:\frac{3}{{10}}\)           \(\frac{9}{8}:\frac{3}{4}\)

b) \(\frac{1}{4}:\frac{1}{2}\)           \(\frac{1}{8}:\frac{1}{6}\)           \(\frac{1}{5}:\frac{1}{{10}}\)

Hướng dẫn giải:

• Muốn chia hai phân số ta lấy phân số thứ nhất nhân với phân số thứ hai đảo ngược.

Cách giải:

a)

\(\begin{array}{l}
\frac{3}{5}:\frac{3}{4} = \frac{3}{5} \times \frac{4}{3} = \frac{{3 \times 4}}{{5 \times 3}} = \frac{4}{5}\\
\frac{2}{5}:\frac{3}{{10}} = \frac{2}{5} \times \frac{{10}}{3} = \frac{{2 \times 10}}{{5 \times 3}} = \frac{{2 \times 2 \times 5}}{{5 \times 3}} = \frac{4}{3}\\
\frac{9}{8}:\frac{3}{4} = \frac{9}{8} \times \frac{4}{3} = \frac{{9 \times 4}}{{8 \times 3}} = \frac{{3 \times 3 \times 4}}{{2 \times 4 \times 3}} = \frac{3}{2}
\end{array}\)

b)

\(\begin{array}{l}
\frac{1}{4}:\frac{1}{2} = \frac{1}{4} \times \frac{2}{1} = \frac{{1 \times 2}}{{4 \times 1}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\\
\frac{1}{8}:\frac{1}{6} = \frac{1}{8} \times \frac{6}{1} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}\\
\frac{1}{5}:\frac{1}{{10}} = \frac{1}{5} \times \frac{{10}}{1} = \frac{{1 \times 10}}{{5 \times 1}} = \frac{{10}}{5} = 2
\end{array}\)

Bài 2: Tìm x

a) \(\frac{3}{5} \times x = \frac{4}{7}\)                 b) \(\frac{1}{8}:x = \frac{1}{5}\)

Hướng dẫn giải:

a) x ở vị trí thừa số chưa biết. Muốn tìm thừa số chưa biết ta lấy tích chia cho thừa số đã biết.

b) x ở vị trí số chia. Muốn tìm số chia ta lấy số bị chia chia cho thương.

a) 

\(\begin{array}{l}
\frac{3}{5} \times x = \frac{4}{7}\\
\,\,\,\,\,\,\,x = \frac{4}{7}:\frac{3}{5}\\
\,\,\,\,\,\,\,\,x = \frac{4}{7} \times \frac{5}{3}\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = \frac{{20}}{{21}}
\end{array}\)

b)

\(\begin{array}{l}
\frac{1}{8}:x = \frac{1}{5}\\
\,\,\,\,\,\,\,x = \frac{1}{8}:\frac{1}{5}\\
\,\,\,\,\,\,\,\,x = \frac{1}{8} \times \frac{5}{1}\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = \frac{5}{8}
\end{array}\)

Bài 3: Tính rồi nêu nhận xét về hai phân số và kết quả

a) \(\frac{2}{3} \times \frac{3}{2}\) ;                           b) \(\frac{4}{7} \times \frac{7}{4}\) ;                           c) \(\frac{1}{2} \times \frac{2}{1}\)

Hướng dẫn giải:

• Muốn nhân hai phân số ta lấy tử số nhân với tử số, mẫu số nhân với mẫu số.

a) \(\frac{2}{3} \times \frac{3}{2} = \frac{{2 \times 3}}{{3 \times 2}} = 1\)

b) \(\frac{4}{7} \times \frac{7}{4} = \frac{{4 \times 7}}{{7 \times 4}} = 1\) 

c) \(\frac{1}{2} \times \frac{2}{1} = \frac{{2 \times 1}}{{1 \times 2}} = 1\)

Nhận xét : 

1. Ở mỗi phép nhân, hai phân số đó là hai phân số đảo ngược nhau.

• Nhân hai phân số đảo ngược nhau thì có kết quả bằng 11.

Bài 4: Một hình bình hành có diện tích \(\frac{2}{5}{m^2}\) , chiều cao \(\frac{2}{5}m\). Tính độ dài đáy của hình đó ?

Hướng dẫn giải:

• Muốn tính độ dài đáy của hình bình hành ta lấy diện tích chia cho chiều cao.

Bài giải

Độ dài đáy của hình hình hành là :

              \(\frac{2}{5}:\frac{2}{5} = 1\) (m)

        Đáp số: 1m. 

Bài 1: Tính rồi rút gọn

a) \(\frac{2}{7}:\frac{4}{5}\)                                  b) \(\frac{3}{8}:\frac{9}{4}\)

c) \(\frac{8}{{21}}:\frac{4}{7}\)                                d) \(\frac{5}{8}:\frac{{15}}{8}\)

Hướng dẫn giải:

• Muốn chia hai phân số ta lấy phân số thứ nhất nhân với phân số thứ hai đảo ngược.

a) \(\frac{2}{7}:\frac{4}{5} = \frac{2}{7} \times \frac{5}{4} = \frac{{10}}{{28}} = \frac{{10:2}}{{28:2}} = \frac{5}{{14}}\)

b) \(\frac{3}{8}:\frac{9}{4} = \frac{3}{8} \times \frac{4}{9} = \frac{{12}}{{72}} = \frac{{12:12}}{{72:12}} = \frac{1}{6}\)

c) \(\frac{8}{{21}}:\frac{4}{7} = \frac{8}{{21}} \times \frac{7}{4} = \frac{{56}}{{84}} = \frac{{56:28}}{{84:28}} = \frac{2}{3}\)

d) \(\frac{5}{8}:\frac{{15}}{8} = \frac{5}{8} \times \frac{8}{{15}} = \frac{{40}}{{120}} = \frac{{40:40}}{{120:40}} = \frac{1}{3}\)

Bài 2: Tính (theo mẫu)

Mẫu :    \(2:\frac{3}{4} = \frac{2}{1}:\frac{3}{4} = \frac{2}{1} \times \frac{4}{3} = \frac{8}{3}\)

Ta có thể viết gọn như sau :  \(2:\frac{3}{4} = \frac{{2 \times 4}}{3} = \frac{8}{3}\)

a) \(3:\frac{5}{7}\) ;                              b) \(4:\frac{1}{3}\) ;                             c) \(5:\frac{1}{6}\).

Hướng dẫn giải:

•  Để chia số tự nhiên cho phân số ta có thể viết số tự nhiên dưới dạng phân số có mẫu số là 1, sau đó thực hiện phép chia hai phân số như thông thường; hoặc ta viết gọn lại tương tự như ở ví dụ mẫu.

a) \(3:\frac{5}{7} = \frac{{3 \times 7}}{5} = \frac{{21}}{5}\)

b) \(4:\frac{1}{3} = \frac{{4 \times 3}}{1} = 12\)

c) \(5:\frac{1}{6} = \frac{{5 \times 6}}{1} = 30\)

Bài 3: Tính bằng hai cách

a) 

b) 

Hướng dẫn giải:

• Cách 1: biểu thức có dấu ngoặc thì ta tính trong ngoặc trước, ngoài ngoặc sau.
• Cách 2: Áp dụng công thức nhân một tổng hoặc một hiệu với một số:

   (a+b)×c=a×c+b×c(a+b)×c=a×c+b×c  ;                   (a−b)×c=a×c−b×c(a−b)×c=a×c−b×c

a) Cách 1 : \(\left( {\frac{1}{3} + \frac{1}{5}} \right) \times \frac{1}{2} = \left( {\frac{5}{{15}} + \frac{3}{{15}}} \right) \times \frac{1}{2} = \frac{8}{{15}} \times \frac{1}{2} = \frac{{8 \times 1}}{{15 \times 2}} = \frac{8}{{30}} = \frac{4}{{15}}\)

Cách 2 : \(\left( {\frac{1}{3} + \frac{1}{5}} \right) \times \frac{1}{2} = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6} + \frac{1}{{10}} = \frac{{10}}{{60}} + \frac{6}{{60}} = \frac{{16}}{{60}} = \frac{4}{{15}}\)

b) Cách 1 : \(\left( {\frac{1}{3} - \frac{1}{5}} \right) \times \frac{1}{2} = \left( {\frac{5}{{15}} - \frac{3}{{15}}} \right) \times \frac{1}{2} = \frac{2}{{15}} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{{15}}\)

Cách 2 : \(\left( {\frac{1}{3} - \frac{1}{5}} \right) \times \frac{1}{2} = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} - \frac{1}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6} - \frac{1}{{10}} = \frac{{10}}{{60}} - \frac{6}{{60}} = \frac{4}{{60}} = \frac{1}{{15}}\)

Bài 4: Cho các phân số \(\frac{1}{2};\frac{1}{3};\frac{1}{4};\frac{1}{6}\). Hỏi mỗi phân số đó gấp mấy lần \(\frac{1}{{12}}\) ?

Mẫu :   \(\frac{1}{2}:\frac{1}{{12}} = \frac{1}{2} \times \frac{{12}}{1} = \frac{{12}}{2} = 6\)

Vậy : \(\frac{1}{2}\) gấp 6 lần \(\frac{1}{{12}}\).

Hướng dẫn giải:

Thực hiện phép chia hai phân số để tìm thương của hai phân số đó.

Cách giải:

• \(\frac{1}{3}:\frac{1}{{12}} = \frac{1}{3} \times \frac{{12}}{1} = \frac{{12}}{3} = 4\)

Vậy : \(\frac{1}{3}\) gấp 4 lần \(\frac{1}{{12}}\).

• \(\frac{1}{4}:\frac{1}{{12}} = \frac{1}{4} \times \frac{{12}}{1} = \frac{{12}}{4} = 3\)

Vậy : \(\frac{1}{4}\) gấp 3 lần \(\frac{1}{{12}}\).

• \(\frac{1}{6}:\frac{1}{{12}} = \frac{1}{6} \times \frac{{12}}{1} = \frac{{12}}{6} = 2\)

Vậy : \(\frac{1}{6}\) gấp 2 lần \(\frac{1}{{12}}\).

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán Chúng tôi sẽ sớm trả lời cho các em.