Phương trình quy về bậc nhất với sin và cosin

Sử dụng các công thức lượng giác cơ bản để biến đổi phương trình đã cho về các dạng đã học.

Lưu ý:

- Khi giải phương trình có chứa các hàm số tan, cot, có mẫu số hoặc chứa căn bậc chẵn, thì nhất thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác định.

Ví dụ 1: Phương trình $\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin 5x$ có nghiệm là

A. $[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}\\ x=\frac{\pi }{6}+k\frac{\pi }{3}\end{array},k\in Z$.               

B. $[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{12}+k\frac{\pi }{2}\\ x=\frac{\pi }{24}+k\frac{\pi }{3}\end{array},k\in Z$.                                  

C. $[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{16}+k\frac{\pi }{2}\\ x=\frac{\pi }{8}+k\frac{\pi }{3}\end{array},k\in Z$.               

D. $[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{18}+k\frac{\pi }{2}\\ x=\frac{\pi }{9}+k\frac{\pi }{3}\end{array},k\in Z$.

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Chia hai vế PT cho $\sqrt{2}$ được $\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x+\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x=\sin 5x$ ⇔$\sin (x+\frac{\pi }{4})=\sin 5x$

$\iff [\begin{array}{l}5x=x+\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ 5x=\pi -x-\frac{\pi }{4}+k2\pi \end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{16}+k\frac{\pi }{2}\\ x=\frac{\pi }{8}+k\frac{\pi }{3}\end{array}$ $(k\in \mathbb{Z})$

Ví dụ 2: Phương trình $2{\sin }^{2}x+\sqrt{3}\sin 2x=3$ có nghiệm là

A. $x=\frac{\pi }{3}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.          

B. $x=\frac{2\pi }{3}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.  

C. $x=\frac{4\pi }{3}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.                  

D. $x=\frac{5\pi }{3}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

Hướng dẫn giải:

Chọn A

$2{\sin }^{2}x+\sqrt{3}\sin 2x=3$$\iff 1-\cos 2x+\sqrt{3}\sin 2x=3$$\iff \sqrt{3}\sin 2x-\cos 2x=2$

$\iff \frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x-\frac{1}{2}\cos 2x=1$$\iff \sin (2x-\frac{\pi }{6})=1$$\iff \sin (2x-\frac{\pi }{6})=1$

$\iff 2x-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}+k2\pi$$\iff x=\frac{\pi }{3}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Câu 1: Phương trình $2\sqrt{2}(\sin x+\cos x).\cos x=3+\cos 2x$có nghiệm là:

A. $x=\frac{\pi }{6}+k\pi$.     

B. $x=-\frac{\pi }{6}+k\pi$. 

C. $x=\frac{\pi }{3}+k2\pi$.    

D. Vô nghiệm.

Hướng dẫn giải:

Chọn D

$2\sqrt{2}(\sin x+\cos x).\cos x=3+\cos 2x$$\iff \sqrt{2}\sin 2x+2\sqrt{2}{\cos }^{2}x=3+\cos 2x$

$\iff \sqrt{2}\sin 2x+\sqrt{2}(1+\cos 2x)=3+\cos 2x$$\iff \sqrt{2}\sin 2x+(\sqrt{2}-1)\cos 2x=3-\sqrt{2}$

Ta có: ${\left(\sqrt{2}\right)}^2+{(\sqrt{2}-1)}^2<{(3-\sqrt{2})}^2$ nên phương trình vô nghiệm.

Câu 2: Phương trình $2\sqrt{3}\sin (x-\frac{\pi }{8})\cos (x-\frac{\pi }{8})+2{\cos }^2(x-\frac{\pi }{8})=\sqrt{3}+1$ .có nghiệm là:

A. $[\begin{array}{l}x=\frac{3\pi }{8}+k\pi \\ x=\frac{5\pi }{24}+k\pi \end{array},k\in Z$.

B. $[\begin{array}{l}x=\frac{3\pi }{4}+k\pi \\ x=\frac{5\pi }{12}+k\pi \end{array},k\in Z$.   

C. $[\begin{array}{l}x=\frac{5\pi }{4}+k\pi \\ x=\frac{5\pi }{16}+k\pi \end{array},k\in Z$.

D. $[\begin{array}{l}x=\frac{5\pi }{8}+k\pi \\ x=\frac{7\pi }{24}+k\pi \end{array},k\in Z$.

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Phương trình $\iff \sqrt{3}\sin (2x-\frac{\pi }{4})+1+\cos (2x-\frac{\pi }{4})=\sqrt{3}+1$.

$\iff \frac{\sqrt{3}}{2}\sin (2x-\frac{\pi }{4})+\frac{1}{2}\cos (2x-\frac{\pi }{4})=\frac{\sqrt{3}}{2}$$\iff \sin (2x-\frac{\pi }{4}).\cos \frac{\pi }{6}+\cos (2x-\frac{\pi }{4}).\sin \frac{\pi }{6}=\sin \frac{\pi }{3}$

$\iff \sin \left(2x-\frac{\pi }{12}\right)=\sin \frac{\pi }{3}\iff [\begin{array}{l}2x-\frac{\pi }{12}=\frac{\pi }{3}+2k\pi \\ 2x-\frac{\pi }{12}=\frac{2\pi }{3}+2k\pi \end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\frac{5\pi }{24}+k\pi \\ x=\frac{3\pi }{8}+k\pi \end{array},\left(k\in Z\right)$

Câu 3: Giải phương trình $\frac{1}{\sin 2x}+\frac{1}{\cos 2x}=\frac{2}{\mathrm{s}\text{in4}x}$

A. $x=k\pi ,x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

B. $x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.                       

C. Vô nghiệm. 

D. $x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Điều kiện: $\{\begin{array}{rl}& \sin 2x\ne 0\\ & \cos 2x\ne 0\end{array}\iff \sin 4x\ne 0$

Phương trình đề bài$\iff \sin 2x+\cos 2x=1$. Suy ra: ${(\sin 2x+\cos 2x)}^2=1$ $\iff \sin 4x=0$ (loại)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Câu 4: Phương trình $\sin 8x-\cos 6x=\sqrt{3}(\sin 6x+\cos 8x)$ có các họ nghiệm là:

A. $[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{4}+k\pi \\ x=\frac{\pi }{12}+k\frac{\pi }{7}\end{array}$.             

B. $[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{3}+k\pi \\ x=\frac{\pi }{6}+k\frac{\pi }{2}\end{array}$.              

C. $[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{5}+k\pi \\ x=\frac{\pi }{7}+k\frac{\pi }{2}\end{array}$.              

D. $[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{8}+k\pi \\ x=\frac{\pi }{9}+k\frac{\pi }{3}\end{array}$.

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

$\sin 8x-\cos 6x=\sqrt{3}(\sin 6x+\cos 8x)\iff \sin 8x-\sqrt{3}\cos 8x=\sqrt{3}\sin 6x+\cos 6x$.

$\iff \frac{1}{2}\sin 8x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 8x=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 6x+\frac{1}{2}\cos 6x\iff \sin (8x-\frac{\pi }{3})=\sin (6x+\frac{\pi }{6})$.

$\iff [\begin{array}{l}8x-\frac{\pi }{3}=6x+\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ 8x-\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{6}-6x+k2\pi \end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{4}+k\pi \\ x=\frac{\pi }{12}+k\frac{\pi }{7}\end{array},\left(k\in Z\right)$.

Câu 5: Phương trình: $3\sin 3x+\sqrt{3}\cos 9x=1+4{\sin }^{3}3x$ có các nghiệm là:

A. $[\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{6}+k\frac{2\pi }{9}\\ x=\frac{7\pi }{6}+k\frac{2\pi }{9}\end{array}$.         

B. $[\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{9}+k\frac{2\pi }{9}\\ x=\frac{7\pi }{9}+k\frac{2\pi }{9}\end{array}$.          

C. $[\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{12}+k\frac{2\pi }{9}\\ x=\frac{7\pi }{12}+k\frac{2\pi }{9}\end{array}$.        

D. $[\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{54}+k\frac{2\pi }{9}\\ x=\frac{\pi }{18}+k\frac{2\pi }{9}\end{array}$.

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

$3\sin 3x+\sqrt{3}\cos 9x=1+4{\sin }^{3}3x\iff 3\sin 3x-4{\sin }^{3}3x+\sqrt{3}\cos 9x=1$.

$\iff \sin 9x+\sqrt{3}\cos 9x=1\iff \frac{1}{2}\sin 9x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 9x=\frac{1}{2}\iff \sin (9x+\frac{\pi }{3})=\sin \frac{\pi }{6}$.

$\iff [\begin{array}{l}9x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ 9x+\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \end{array}\iff [\begin{array}{l}9x=-\frac{\pi }{54}+\frac{k2\pi }{9}\\ 9x=\frac{\pi }{18}+\frac{k2\pi }{9}\end{array},\left(k\in Z\right)$.

Câu 6: Phương trình $8\cos x=\frac{\sqrt{3}}{\sin x}+\frac{1}{\cos x}$. có nghiệm là:

A. $[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{16}+k\frac{\pi }{2}\\ x=\frac{4\pi }{3}+k\pi \end{array}$.             

B. $[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{12}+k\frac{\pi }{2}\\ x=\frac{\pi }{3}+k\pi \end{array}$.             

C. $[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{8}+k\frac{\pi }{2}\\ x=\frac{\pi }{6}+k\pi \end{array}$.             

D. $[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{9}+k\frac{\pi }{2}\\ x=\frac{2\pi }{3}+k\pi \end{array}$.

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Điều kiện: $\sin x.\cos x\ne 0\iff \sin 2x\ne 0\iff x\ne \frac{m\pi }{2},m\in \mathbb{Z}$ (1). Phương trình đã cho tương đương:

$8\cos x=\frac{\sqrt{3}\cos x+\sin x}{\frac{1}{2}\sin 2x}\iff 4\sin 2x.\cos x=\sqrt{3}\cos x+\sin x$

$\iff 2(\sin x+\sin 3x)=\sqrt{3}\cos x+\sin x\iff 2\sin 3x=\sqrt{3}\cos x-\sin x$

$\iff \sin 3x=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x-\frac{1}{2}\sin x\iff \sin 3x=\sin \frac{\pi }{3}.\cos x-\cos \frac{\pi }{3}.\sin x$

$\iff \sin 3x=\sin \left(\frac{\pi }{3}-x\right)\iff [\begin{array}{l}3x=\frac{\pi }{3}-x+k2\pi \\ 3x=\pi -\frac{\pi }{3}+x+k2\pi \end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{2}\\ x=\frac{\pi }{3}+k\pi \end{array}\left(k\in Z\right)$

Kết hợp với điều kiện (1), nghiệm của phương trình là $x=\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{2}$;$x=\frac{\pi }{3}+k\pi$ $(k\in \mathbb{Z})$.

CÁCH KHÁC:

Dùng chức năng CACL của máy tính cầm tay (như CASIO 570 VN Plus, …).

Kiểm tra giá trị $x=\frac{\pi }{16}$ của đáp án A, $x=\frac{\pi }{8}$ của đáp án C,$x=\frac{\pi }{9}$ của đáp án C đều không thỏa phương trình (chú ý chỉ lấy một giá trị của họ nghiệm để thử cho đơn giản, các giá trị lấy ra không thuộc họ nghiệm của đáp án khác); kiểm tra giá trị $x=\frac{\pi }{12}$ của đáp án B thỏa phương trình.

Câu 7: Phương trình $\sin 4x+c\text{os}7x-\sqrt{3}(\sin 7x-c\text{os4}x)=0$có nghiệm là

A. $x=\frac{\pi }{6}+k2\frac{\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$.  

B. $[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+k2\frac{\pi }{3}\\ x=\frac{5\pi }{66}+k2\frac{\pi }{11}\end{array}(k\in Z)$.

C. $x=\frac{5\pi }{66}+k2\frac{\pi }{11},k\in \mathbb{Z}$.  

D. Khác

Hướng dẫn giải:

Chọn B

$\sin 4x+c\text{os}7x-\sqrt{3}(\sin 7x-c\text{os4}x)=0$$\iff \sin 4x+\sqrt{3}\cos 4x=\sqrt{3}\sin 7x-\cos 7x$

$\iff \frac{1}{2}\sin 4x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 4x=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 7x-\frac{1}{2}\cos 7x$

$\iff \sin (4x+\frac{\pi }{3})=\sin (7x-\frac{\pi }{6})$

$\iff [\begin{array}{l}4x+\frac{\pi }{3}=7x-\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ 4x+\frac{\pi }{3}=\pi -\left(7x-\frac{\pi }{6}\right)+k2\pi \end{array}\iff [\begin{array}{l}-3x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \\ 11x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}-\frac{k2\pi }{3}\\ x=\frac{5\pi }{66}+\frac{k2\pi }{11}\end{array}$

Câu 8: Phương trình: ${(\sin \frac{x}{2}+c\text{os}\frac{x}{\text{2}})}^2+\sqrt{3}\text{cosx = 2}$ có nghiệm là:

A. $[\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{6}+k\pi \\ x=\frac{\pi }{2}+k\pi \end{array}\left(k\in Z\right)$                                            

B. $[\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \end{array}\left(k\in Z\right)$

C. $x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$            

D. $x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Hướng dẫn giải:

Đáp án B

${(\sin \frac{x}{2}+c\text{os}\frac{x}{\text{2}})}^2+\sqrt{3}\text{cosx = 2}\iff {\sin }^2\frac{x}{2}+2\sin \frac{x}{2}c\text{os}\frac{x}{\text{2}}+c\text{o}{\text{s}}^2\frac{x}{\text{2}}+\sqrt{3}\text{cosx = 2}$

$\iff 1+\mathrm{sinx}+\sqrt{3}\text{cosx = 2}\iff \mathrm{sinx}+\sqrt{3}\text{cosx = }1$

$\frac{1}{2}\mathrm{sinx}+\frac{\sqrt{3}}{2}\text{cosx = }\frac{1}{2}\iff \sin \frac{\pi }{6}sinx+c\text{os}\frac{\pi }{6}\text{cosx=}\frac{1}{2}$

$\cos (x-\frac{\pi }{6})=cos\frac{\pi }{3}\iff [\begin{array}{l}x-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ x-\frac{\pi }{6}=-\frac{\pi }{3}+k2\pi \end{array}(k\in Z)\iff [\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \\ x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \end{array}(k\in Z)$

Câu 9: Phương trình: $2\sqrt{3}\sin (x-\frac{\pi }{8})\cos (x-\frac{\pi }{8})+2{\cos }^2(x-\frac{\pi }{8})=\sqrt{3}+1$ có nghiệm là:

A. $[\begin{array}{l}x=\frac{3\pi }{8}+k\pi \\ x=\frac{5\pi }{24}+k\pi \end{array}$.             

B. $[\begin{array}{l}x=\frac{3\pi }{4}+k\pi \\ x=\frac{5\pi }{12}+k\pi \end{array}$.             

C. $[\begin{array}{l}x=\frac{5\pi }{4}+k\pi \\ x=\frac{5\pi }{16}+k\pi \end{array}$.             

D. $[\begin{array}{l}x=\frac{5\pi }{8}+k\pi \\ x=\frac{7\pi }{24}+k\pi \end{array}$.

Hướng dẫn giải:

Chọn B

$2\sqrt{3}\sin (x-\frac{\pi }{8})\cos (x-\frac{\pi }{8})+2{\cos }^2(x-\frac{\pi }{8})=\sqrt{3}+1$$\iff \sqrt{3}\sin (2x-\frac{\pi }{4})+\cos (2x+\frac{\pi }{4})+1=\sqrt{3}+1$

$\iff \frac{\sqrt{3}}{2}\sin (2x-\frac{\pi }{4})+\frac{1}{2}\cos (2x-\frac{\pi }{4})=\frac{\sqrt{3}}{2}$$\iff \sin \frac{\pi }{3}.\sin (2x-\frac{\pi }{4})+\cos \frac{\pi }{3}.\cos (2x-\frac{\pi }{4})=\cos \frac{\pi }{6}$.

$\iff \cos (2x-\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{3})=\cos \frac{\pi }{6}$.

$\iff [\begin{array}{l}2x-\frac{7\pi }{12}=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ 2x-\frac{7\pi }{12}=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\frac{3\pi }{8}+k\pi \\ x=\frac{5\pi }{12}+k\pi \end{array},k\in Z$.

Câu 10: Phương trình: $4\sin x.\sin (x+\frac{\pi }{3}).\sin (x+\frac{2\pi }{3})+\cos 3x=1$ có các nghiệm là:

A. $[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+k\frac{2\pi }{3}\\ x=k\frac{2\pi }{3}\end{array}$.            

B. $[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{4}+k\pi \\ x=k\frac{\pi }{3}\end{array}$.                

C. $[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ x=k\pi \end{array}$.             

D. $[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \\ x=k\frac{\pi }{4}\end{array}$.

Hướng dẫn giải:

Chọn A

$4\sin x.\sin (x+\frac{\pi }{3}).\sin (x+\frac{2\pi }{3})+\cos 3x=1$$\iff 2\sin x[\cos \frac{\pi }{3}-\cos (2x+\pi )]+\cos 3x=1$

$\iff 2\sin x(\frac{1}{2}+\cos 2x)+\cos 3x=1$$\iff \sin x+2\sin x.\cos 2x+\cos 3x=1$

$\iff \sin x+(-\sin x+\sin 3x)+\cos 3x=1$$\iff \sin (3x+\frac{\pi }{4})=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\iff [\begin{array}{l}3x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ 3x+\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}+k2\pi \end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\frac{k2\pi }{3}\\ x=\frac{\pi }{6}+\frac{k2\pi }{3}\end{array}$

...

---(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Phương trình quy về bậc nhất với sin và cosin. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Phương trình bậc hai và quy về bậc hai với một hàm số lượng giác

• Phương pháp biến đổi phương trình lượng giác về dạng tích

• Phương pháp giải phương trình cosx = a

Chúc các em học tập tốt!