I. Lý thuyết
1. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác
Có dạng \(at+b=0\) với \(a,b\in \mathbb{R},\text{ }a\ne 0\) với t là một hàm số lượng giác nào đó
Cách giải: \(at+b=0\Leftrightarrow t=-\frac{b}{a}\) đưa về phương trình lượng giác cơ bản
2. Một số điều cần chú ý
a) Khi giải phương trình có chứa các hàm số tang, cotang, có mẫu số hoặc chứa căn bậc chẵn, thì nhất thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác định.
- Phương trình chứa tanx thì điều kiện: \(x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \,\,\,(k\,\,\in \,\,Z).\)
- Phương trình chứa cotx thì điều kiện: \(x\ne k\pi \,\,\,(k\,\,\in \,\,Z)\)
- Phương trình chứa cả tanx và cotx thì điều kiện \(x\ne k\frac{\pi }{2}\,\,\,\,(k\,\,\in \,\,Z)\)
- Phương trình có mẫu số:
-
\(\sin x\,\,\ne 0\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,x\,\,\ne k\pi \,\,\,\,(k\,\,\in \,\,Z)\)
-
\(\cos x\,\,\ne \,\,0\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \,\,\,\,(k\,\,\in \,Z)\)
-
\(\tan x\,\,\ne \,\,0\,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\,x\ne k\frac{\pi }{2}\,\,\,(k\,\,\in \,\,Z)\)
-
\(\cot x\,\,\ne 0\,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,x\,\ne k\frac{\pi }{2}\,\,\,\,(k\,\,\in \,\,Z)\)
b) Khi tìm được nghiệm phải kiểm tra điều kiện. Ta thường dùng một trong các cách sau để kiểm tra điều kiện:
1. Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trị của x vào biểu thức điều kiện.
2. Dùng đường tròn lượng giác để biểu diễn nghiệm
3. Giải các phương trình vô định.
c) Sử dụng MTCT để thử lại các đáp án trắc nghiệm
Ví dụ 1: Phương trình \(\left( \sin x+1 \right)\left( \sin x-\sqrt{2} \right)=0\)có nghiệm là:
A. \(x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\).
B. \(x=\pm \frac{\pi }{4}+k2\pi \),\(x=-\frac{\pi }{8}+k\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\).
C. \(x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \).
D. \(x=\pm \frac{\pi }{2}+k2\pi \).
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
\(\left( {\sin x + 1} \right)\left( {\sin x - \sqrt 2 } \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x = - 1\\ \sin x = \sqrt 2 \left( L \right) \end{array} \right. \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)
Ví dụ 2: Phương trình \(\operatorname{s}\text{in2}x.\left( 2\sin x-\sqrt{2} \right)=0\) có nghiệm là
A. \(\left[ \begin{array}{l} x = k\frac{\pi }{2}\\ x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\ x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right..\)
B. \(\left[ \begin{array}{l} x = k\frac{\pi }{2}\\ x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\ x = \frac{{3\pi }}{4} + k\pi \end{array} \right..\)
C. \(\left[ \begin{array}{l} x = k\pi \\ x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\ x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right..\)
D. \(\left[ \begin{array}{l} x = k\frac{\pi }{2}\\ x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\ x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right..\)
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
\({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in2}}x.\left( {2\sin x - \sqrt 2 } \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in2}}x = 0\\ 2\sin x - \sqrt 2 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{{k\pi }}{2}\\ x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\ x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,\left( {k \in Z} \right).\)
II. Bài tập
Câu 1: Giải phương trình \(\sin x.\cos x.\cos 2x=0\)
A. \(k\pi \).
B. \(k\frac{\pi }{2}\).
C. \(k\frac{\pi }{4}\).
D. \(k\frac{\pi }{8}\).
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Ta có : \(\sin x.\cos x.\cos 2x=0\)\(\Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin 2x\cos 2x=0\) \(\Leftrightarrow \sin 4x=0\Leftrightarrow x=\frac{k\pi }{4}\left( k\in \mathbb{Z} \right)\).
Câu 2: Nghiệm của phương trình \(\cos x\cos 5x=\frac{1}{2}\cos 6x\) (với \(k\in \mathbb{Z}\)) là
A. \(x=\frac{\pi }{8}+k\pi \).
B. \(x=\frac{k\pi }{2}\).
C. \(x=\frac{k\pi }{4}\).
D. \(x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{4}\).
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Ta có : \(\cos x\cos 5x=\frac{1}{2}\cos 6x\)\(\Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( \cos 6x+\cos 4x \right)=\frac{1}{2}\cos 6x\) \(\Leftrightarrow \cos 4x=0\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{4}\) \(\left( k\in \mathbb{Z} \right)\)
Câu 3: Nghiệm của phương trình \(2.sinx.cosx=1\) là:
A. \(x=k2\pi \).
B. \(x=\frac{\pi }{4}+k\pi \).
C. \(x=k\frac{\pi }{2}\).
D. \(x=k\pi \).
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có \(2.sinx.cosx=1\)\(\Leftrightarrow sin2x=1\)\(\Leftrightarrow 2x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \)\(\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\)
Câu 4: Giải phương trình \(4\sin x\cos x\cos 2x+1=0\)
A. \(x=-\frac{\pi }{8}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}\).
B. \(x=-\frac{\pi }{8}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}\).
C. \(x=-\frac{\pi }{8}+k\frac{\pi }{4};k\in \mathbb{Z}\).
D. \(x=-\frac{\pi }{8}+k\frac{\pi }{2};k\in \mathbb{Z}\).
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
\(4\sin x\cos x\cos 2x+1=0\Leftrightarrow 2\text{sin2}x\text{cos2}x=-1\Leftrightarrow \text{sin4}x=-1\Leftrightarrow x=-\frac{\pi }{8}+k\frac{\pi }{2};k\in \mathbb{Z}\).
Câu 5: Giải phương trình \(\cos x(2\cos x+\sqrt{3})=0\).
A. \(x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,x=\pm \frac{5\pi }{6}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}\).
B. \(x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}\).
C. \(x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,x=\pm \frac{5\pi }{6}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}\).
D. \(x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}\)
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có \(\cos x\left( {2\cos x + \sqrt 3 } \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x = 0\\ \cos x = - \frac{{\sqrt 3 }}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\ x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \\ x = - \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.;k \in Z\).
Câu 6: Nghiệm của phương trình \({{\sin }^{4}}x-{{\cos }^{4}}x=0\) là
A. \(x=-\frac{\pi }{4}+k\pi .\)
B. \(x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}.\)
C. \(x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi .\)
D. \(x=\pm \frac{\pi }{4}+k2\pi .\)
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Cách 1:
\({{\sin }^{4}}x-{{\cos }^{4}}x=0\Leftrightarrow {{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x=0\Leftrightarrow \cos 2x=0\Leftrightarrow 2x=\frac{\pi }{2}+k\pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2},\left( k\in \mathbb{Z} \right).\)
Cách 2:
\({{\sin }^{4}}x-{{\cos }^{4}}x=0\Leftrightarrow {{\sin }^{2}}x-{{\cos }^{2}}x=0\)\(\Leftrightarrow {{\sin }^{2}}x=\frac{1}{2}\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \sin x = - \frac{{\sqrt 2 }}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x = \sin \frac{\pi }{4}\\ \sin x = \sin \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) \end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\ x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \\ x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \\ x = \frac{{5\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.\)\(\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}\left( k\in \mathbb{Z} \right).\)
Câu 7: Phương trình nào tương đương với phương trình \({{\sin }^{2}}x-{{\cos }^{2}}x-1=0\).
A. \(\cos 2x=1\).
B. \(\cos 2x=-1\).
C. \(2{{\cos }^{2}}x-1=0\).
D. \({{(\sin x-\cos x)}^{2}}=1\).
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có \({{\sin }^{2}}x-{{\cos }^{2}}x-1=0\Leftrightarrow -\cos 2x-1=0\Leftrightarrow \cos 2x=-1\).
Câu 8: Phương trình \(3-4{{\cos }^{2}}x=0\) tương đương với phương trình nào sau đây?
A. \(\cos 2x=\frac{1}{2}\).
B. \(\cos 2x=-\frac{1}{2}\).
C. \(\sin 2x=\frac{1}{2}\).
D. \(\sin 2x=-\frac{1}{2}\).
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có \(3-4{{\cos }^{2}}x=0\Leftrightarrow 3-4\left( \frac{1+\cos 2x}{2} \right)=0\Leftrightarrow 1-2\cos 2x=0\Leftrightarrow \cos 2x=\frac{1}{2}.\)
Câu 9: Nghiệm của phương trình \(\sin x.\left( 2\cos x-\sqrt{3} \right)=0\) là :
A. \(\left[ \begin{array}{l} x = k\pi \\ x = \pm \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\) \(\left( k\in \mathbb{Z} \right)\)
B. \(\left[ \begin{array}{l} x = k\pi \\ x = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi \end{array} \right.\) \(\left( k\in \mathbb{Z} \right)\).
C. \(\left[ \begin{array}{l} x = k2\pi \\ x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\) \(\left( k\in \mathbb{Z} \right)\).
D. \(x = \pm \frac{\pi }{6} + k2\pi \) \(\left( k\in \mathbb{Z} \right)\).
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
\(\sin x.\left( 2\cos x-\sqrt{3} \right)=0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x = 0\\ \cos x = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = k\pi \\ x = \pm \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
Câu 10: Phương trình \((\sin x+1)(2\cos 2x-\sqrt{2})=0\) có nghiệm là
A. \(x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\).
B. \(x=-\frac{\pi }{8}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\).
C. \(x=\frac{\pi }{8}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\).
D. Cả \(A,B,C\) đều đúng.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
\((\sin x + 1)(2\cos 2x - \sqrt 2 ) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x = - 1\\ \cos 2x = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \\ 2x = \pm \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \\ x = \pm \frac{\pi }{8} + k\pi \end{array} \right.(k \in Z)\)
...
---(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---
Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.
Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.
Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:
Chúc các em học tập tốt!
