Phương trình bậc hai và quy về bậc hai với một hàm số lượng giác

Dạng	Đặt	Điều kiện
$asi{n}^{2}x+b\sin x+c=0$	t = sinx	$-1\le t\le 1$
$a{\cos }^{2}x+b\cos x+c=0$	t = cosx	$-1\le t\le 1$
$a{\tan }^{2}x+b\tan x+c=0$	t = tanx	$x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi (k\in Z)$
$a{\cot }^{2}x+b\cot x+c=0$	t = cotx	$x\ne k\pi (k\in Z)$

Ví dụ 1: Nghiệm của phương trình ${\sin }^{2}x\sin x=0$ thỏa điều kiện: \(0

A. $x=\frac{\pi }{2}$.      

B. $x=\pi$.                      

C. $x=0$.                         

D. $x=-\frac{\pi }{2}$.

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

${\sin }^{2}x--\sin x=0\iff [\begin{array}{l}\sin x=0\\ \sin x=1\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=k\pi \\ x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \end{array}\left(k\in Z\right)$

Vì \(0

Ví dụ 2: Nghiệm của phương trình lượng giác: $2{\sin }^{2}x-3\sin x+1=0$ thỏa điều kiện $0\le x<\frac{\pi }{2}$ là:

A. $x=\frac{\pi }{3}$       

B. $x=\frac{\pi }{2}$       

C. $x=\frac{\pi }{6}$       

D. $x=\frac{5\pi }{6}$

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Đặt $t=\sin x(-1\le t\le 1)$, phương trình trở thành: $2t^2-3t+1=0\iff [\begin{array}{l}t=1\\ t=\frac{1}{2}\end{array}$

Với $t=1$, ta có: $\sin x=1\iff x=\frac{\pi }{2}+k2\pi (k\in \mathbb{Z}).$

Do $0\le x<\frac{\pi }{2}$ nên $0\le \frac{\pi }{2}+k2\pi <\frac{\pi }{2}$$\iff \frac{-1}{4}\le k<0.$ Vì $k\in \mathbb{Z}$nên không tồn tại k.

Với $t=\frac{1}{2}$, ta có: $\sin x=\frac{1}{2}=\sin \frac{\pi }{6}$ $\iff [\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \end{array}$.

Do $0\le x<\frac{\pi }{2}$ nên $x=\frac{\pi }{6}.$

Vậy phương trình có nghiệm $x=\frac{\pi }{6}$ thỏa điều kiện $0\le x<\frac{\pi }{2}$.

Ví dụ 3: Phương trình ${\sin }^{2}x+3\sin x-4=0$ có nghiệm là:

A. $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

B. $x=\pi +k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

C. $x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$ 

D. $x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Đặt $t=\sin x(-1\le t\le 1)$, phương trình trở thành: $t^2+3t-4=0$$\iff [\begin{array}{rl}& t=1\\ & t=-4(l)\end{array}$

Với $t=1$, ta có: $\sin x=1$$\iff x=\frac{\pi }{2}+k2\pi (k\in \mathbb{Z}).$

Câu 1: Nghiệm của phương trình $1-5\sin x+2{\cos }^{2}x=0$ là

A. $[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \end{array},k\in Z$.                                          

B. $[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \end{array},k\in Z$.

C. $[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ x=-\frac{\pi }{3}+k2\pi \end{array},k\in Z$.                                          

D. $[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ x=\frac{2\pi }{3}+k2\pi \end{array},k\in Z$.

Hướng dẫn giải:

Chọn .

$1-5\sin x+2{\cos }^{2}x=0$$\iff 1-5\sin x+2(1-{\sin }^{2}x)=0$$\iff 2{\sin }^{2}x+5\sin x-3=0$

$\iff [\begin{array}{l}\sin x=\frac{1}{2}\\ \sin x=-3\left(\mathrm{V}\mathrm{N}\right)\end{array}\iff \sin x=\sin \frac{\pi }{6}\iff [\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \end{array}$

Câu 2: Nghiệm của phương trình $5-5\sin x-2{\cos }^{2}x=0$ là:

A. $k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.     

B. $k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

C. $\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

D. $\frac{\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

Hướng dẫn giải:

Chọn $\mathbf{C}$.

$5-5\sin x-2{\cos }^{2}x=0$$\iff 5-5\sin x-2(1-{\sin }^{2}x)=0$$\iff 2{\sin }^{2}x-5\sin x+3=0$.

$\iff [\begin{array}{l}\sin x=1\\ \sin x=\frac{3}{2}\left(\mathrm{V}\mathrm{N}\right)\end{array}$$\iff x=\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

Câu 3: Họ nghiệm của phương trình ${\sin }^{2}2x-2\mathrm{s}\text{in2}x+1=0$ là :

A. $-\frac{\pi }{4}+k\pi$.        

B. $\frac{\pi }{4}+k\pi$

C. $\frac{\pi }{4}+k2\pi$.   

D. $-\frac{\pi }{4}+k2\pi$.

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

${\sin }^{2}2x-2\sin 2x+1=0\iff \sin 2x=1\iff 2x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi$$(k\in \mathbb{Z})$.

Câu 4: Một họ nghiệm của phương trình ${\cos }^{2}2x+\sin \text{2}x-1=0$ là

A. $\frac{\pi }{2}+k\pi$. B. $k\frac{\pi }{3}$.         C. $-\frac{\pi }{2}+k\frac{\pi }{2}$.        D. $k\frac{\pi }{2}$.

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

${\cos }^{2}2x+\sin 2x-1=0\iff -{\sin }^{2}2x+\sin 2x=0\iff [\begin{array}{l}\sin 2x=1\\ \sin 2x=0\end{array}$.

+) $\sin 2x=1\iff 2x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi$ $(k\in \mathbb{Z})$.

+) $\sin 2x=0\iff 2x=k\pi \iff x=\frac{k\pi }{2}$ $(k\in \mathbb{Z})$.

Câu 5: Nghiệm của phương trình ${\sin }^{2}x+\sin x=0$ thỏa điều kiện: \(-\frac{\pi }{2}

A. $x=0$.                         

B. $x=\pi$.  

C. $x=\frac{\pi }{3}$.      

D. $x=\frac{\pi }{2}$.

Hướng dẫn giải::

Chọn A.

${\sin }^{2}x+\sin x=0\iff [\begin{array}{l}\sin x=0\\ \sin x=-1\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=k\pi \\ x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \end{array}\left(k\in Z\right)$

Vì \(-\frac{\pi }{2}

Câu 6: Trong $[0;2\pi )$, phương trình $\sin x=1-{\cos }^{2}x$ có tập nghiệm là

A. $\{\frac{\pi }{2};\pi ;2\pi \}$.               

B. $\{0;\pi \}$.

C. $\{0;\frac{\pi }{2};\pi \}$. 

D. $\{0;\frac{\pi }{2};\pi ;2\pi \}$.

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

$\sin x=1-{\cos }^{2}x\iff \sin x={\sin }^{2}x\iff [\begin{array}{l}\sin x=0\\ \sin x=1\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=k\pi \\ x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \end{array}\left(k\in Z\right)$.

Mà $x\in [0;2\pi )\iff x\in \{0;\frac{\pi }{2};\pi \}$.

Câu 7: Phương trình: $2{\sin }^{2}x+\sqrt{3}\sin 2x=2$có nghiệm là:

A. $[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \end{array},k\in Z$                                              

B. $[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+k\pi \\ x=\frac{\pi }{2}+k\pi \end{array},k\in Z$      

C. $x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$ 

D. $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Ta có :

$2{\sin }^{2}x+\sqrt{3}\sin 2x=2$$\iff 2.\frac{1-\cos 2x}{2}+\sqrt{3}\sin 2x=2$$\iff \sqrt{3}\sin 2x-\cos 2x=1$$\iff \sin (2x-\frac{\pi }{6})=\sin \frac{\pi }{6}$

$\iff [\begin{array}{l}2x-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ 2x-\frac{\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \end{array}\iff [\begin{array}{l}2x=\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ 2x=\pi +k2\pi \end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+k\pi \\ x=\frac{\pi }{2}+k\pi \end{array}\left(k\in Z\right).$

Câu 8: Nghiệm của phương trình ${\sin }^{2}x-4\sin x+3=0$ là :

A. $x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$    

B. $x=\pm \frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$           

C. $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

D. $x=k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Hướng dẫn giải:

Chọn C

${\sin }^{2}x-4\sin x+3=0$ $\iff [\begin{array}{l}\sin x=1\\ \sin x=3\end{array}$

Với $\sin x=1$$\iff x=\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Phương trình $\sin x=3>1$ vô nghiệm.

Câu 9: Nghiệm của phương trình $5-5\sin x-2{\cos }^{2}x=0$ là

A. $k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.    

B. $k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.  

C. $\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.             

D. $\frac{\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

$5-5\sin x-2{\cos }^{2}x=0$$\iff 5-5\sin x+2(1-{\sin }^{2}x)=0$$\iff -2{\sin }^{2}x-5\sin x+7=0$ $\iff [\begin{array}{l}\sin x=1\\ \sin x=-\frac{7}{2}\end{array}$

Với $\sin x=1\iff x=\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Phương trình $\sin x=-\frac{7}{2}<-1$ vô nghiêm.

Câu 10: Tìm tất cả các họ nghiệm của phương trình: ${\sin }^{2}x-2\sin x+\frac{3}{4}=0$.   

A. $x=\frac{\pi }{6}+k2\pi (k\in \mathbb{Z})$.

B. $x=\frac{\pi }{6}+k\pi ;x=\frac{5\pi }{6}+k\pi (k\in \mathbb{Z})$.

C. $x=\frac{\pi }{6}+k2\pi ;x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi (k\in \mathbb{Z})$.         

D. $x=\frac{\pi }{6}+k\pi ;x=-\frac{\pi }{6}+k\pi (k\in \mathbb{Z})$.

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

${\sin }^{2}x-2\sin x+\frac{3}{4}=0$ $\iff [\begin{array}{l}\sin x=\frac{1}{2}\\ \sin x=\frac{3}{2}\end{array}$

Với $\sin x=\frac{1}{2}$ $\iff [\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \end{array}k\in Z$

Phương trình $\sin x=\frac{3}{2}>1$ vô nghiệm.

 

...

---(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Phương trình bậc hai và quy về bậc hai với một hàm số lượng giác. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Một số dạng phương trình lượng giác không mẫu mực

• Phương pháp giải phương trình đối xứng với sin và cos

Chúc các em học tập tốt!