Phương pháp biến đổi phương trình lượng giác về dạng tích

- Biến đổi phương trình đã cho về dạng $A_1.A_2....A_n=0\iff [\begin{array}{l}{A}_1=0\\ A_2=0\\ ..\\ A_n=0\end{array}$

- Áp dụng công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản để tìm nghiệm.

Ví dụ 1: Phương trình $1+cosx+co{s}^{2}x+cos3x-si{n}^{2}x=0$ tương đương với phương trình.

A. $cosx(cosx+cos3x)=0$.   

B. $cosx(cosx-cos2x)=0$.

C. $sinx(cosx-cos2x)=0$. 

D. $cosx(cosx+cos2x)=0$.

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

$1+cosx+co{s}^{2}x+cos3x-si{n}^{2}x=0\iff 1+cosx+(co{s}^{2}x-si{n}^{2}x)+cos3x=0$

$\iff (cosx+cos3x)+cos2x+1=0\iff 2cos2xcosx+2co{s}^{2}x=0\iff cosx(cos2x+cosx)=0.$

Ví dụ 2: Phương trình $\sin 3x-4\sin x.\cos 2x=0$ có các nghiệm là:

A. $[\begin{array}{l}x=k2\pi \\ x=\pm \frac{\pi }{3}+n\pi \end{array}$, $k,n\in \mathbb{Z}$.                      

B. $[\begin{array}{l}x=k\pi \\ x=\pm \frac{\pi }{6}+n\pi \end{array}$, $k,n\in \mathbb{Z}$.

C. $[\begin{array}{l}x=k\frac{\pi }{2}\\ x=\pm \frac{\pi }{4}+n\pi \end{array}$, $k,n\in \mathbb{Z}$.                                         

D. $[\begin{array}{l}x=k\frac{2\pi }{3}\\ x=\pm \frac{2\pi }{3}+n\pi \end{array}$, $k,n\in \mathbb{Z}$.

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Phương trình$\iff \sin 3x-2[\sin 3x+\sin (-x)]=0$$\iff 2\sin x=\sin 3x$

$\iff 2\sin x=3\sin x-4{\sin }^{3}x$$\iff \sin x(4{\sin }^{2}x-1)=0$ $\iff [\begin{array}{l}\sin x=0\\ 4{\sin }^{2}x=1\end{array}$

$\iff [\begin{array}{l}x=k\pi \\ \cos 2x=\frac{1}{2}\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=k\pi \\ 2x=\pm \frac{\pi }{3}+2n\pi \end{array}\iff [\begin{array}{l}x=k\pi \\ x=\pm \frac{\pi }{6}+n\pi \end{array},\left(k,n\in Z\right)$

Ví dụ 3: Số nghiệm thuộc $[\frac{\pi }{14};\frac{69\pi }{10})$ của phương trình $2\sin 3x(1-4{\sin }^{2}x)=0$ là:

A. $40$.                            B. $34$.                            C. $41$.                            D. $46$.

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Ta có:

$2\sin 3x.\left(1-4{\sin }^{2}x\right)=0\iff [\begin{array}{l}\sin 3x=0\\ 1-4{\sin }^{2}x=0\end{array}$

$\iff [\begin{array}{l}\sin 3x=0\\ \cos 2x=\frac{1}{2}\end{array}\iff [\begin{array}{l}3x=k\pi \\ 2x=\pm \frac{\pi }{3}+l2\pi \end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\frac{k\pi }{3}\\ x=\pm \frac{\pi }{6}+l\pi \end{array}$ ($k,l\in \mathbb{Z}$)

Nhận xét: Họ nghiệm $x=\frac{k\pi }{3}$, $k\in \mathbb{Z}$và $x=\pm \frac{\pi }{6}+l\pi$, $l\in \mathbb{Z}$ không có nghiệm nào trùng nhau nên đếm số nghiệm thuộc $[\frac{\pi }{14};\frac{69\pi }{10})$ ứng với từng họ nghiệm, rồi lấy tổng sẽ được tổng số nghiệm của phương trình đề bài cho. Thật vậy:

$\frac{k\pi }{3}=\pm \frac{\pi }{6}+l\pi$$\iff 2k-6l=\pm 1$ : vô nghiệm với mọi $k$, $l\in \mathbb{Z}$

(Chú ý: ta cũng có thể biểu diễn các nghiệm này trên đường tròn lượng giác để thấy các nghiệm này không trùng nhau.)

Do đó:

+ Với $x=\frac{k\pi }{3}$. Vì $x\in [\frac{\pi }{14};\frac{69\pi }{10})$ nên $\frac{\pi }{14}\le \frac{k\pi }{3}<\frac{69\pi }{10}$ $\iff \frac{3}{14}\approx 0,2\le k<\frac{207}{10}=20,7$ ($k\in \mathbb{Z}$)

Suy ra: $k\in \{1;2;3;...;20\}$. Có $20$ giá trị $k$ nên có $20$ nghiệm.

+ Với $x=\frac{\pi }{6}+l\pi$. Vì $x\in [\frac{\pi }{14};\frac{69\pi }{10})$ nên $\frac{\pi }{14}\le \frac{\pi }{6}+l\pi <\frac{69\pi }{10}$

$\iff -\frac{2}{21}\approx -0,095\le l<\frac{101}{15}\approx 6,7$, $l\in \mathbb{Z}$. Suy ra: $l\in \{0;1;2;3;...;6\}$. Có $7$ giá trị $l$ nên có $7$ nghiệm.

+ Với $x=-\frac{\pi }{6}+l\pi$. Vì $x\in [\frac{\pi }{14};\frac{69\pi }{10})$ nên $\frac{\pi }{14}\le -\frac{\pi }{6}+l\pi <\frac{69\pi }{10}$ $\iff \frac{5}{21}\approx 0,238\le l<\frac{106}{15}\approx 7,06$, $l\in \mathbb{Z}$. Suy ra: $l\in \{1;2;3;...;7\}$. Có $7$ giá trị $l$ nên có $7$ nghiệm.

Vậy số nghiệm của phương trình là $20+7+7=34$.

Câu 1: Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình $\sin x+\sin 2x=\cos x+2{\cos }^{2}x$ là :

A. $\frac{\pi }{6}$.                   

B. $\frac{2\pi }{3}$.   

C. $\frac{\pi }{4}$.     

D. $\frac{\pi }{3}$.

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Ta có :$\sin x+\sin 2x=\cos x+2{\cos }^{2}x$

$\iff \sin x(1+2\cos x)-\cos x(1+2\cos x)=0$ $\iff (\sin x-\cos x)(1+2\cos x)=0$

$\iff [\begin{array}{c}\sin x=\cos x\\ \cos x=-\frac{1}{2}\end{array}\iff [\begin{array}{c}\tan x=1\\ \cos x=\cos \left(\frac{2\pi }{3}\right)\end{array}\iff [\begin{array}{c}x=\frac{\pi }{4}+k\pi \\ x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi \end{array}$

Vậy nghiệm dương nhỏ nhất là $x=\frac{\pi }{4}$.

Câu 2: Một nghiệm của phương trình lượng giác: ${\sin }^{2}x+{\sin }^{2}2x+{\sin }^{2}3x=2$ là.

A. $\frac{\pi }{3}$                    

B. $\frac{\pi }{12}$

C. $\frac{\pi }{6}$           

D. $\frac{\pi }{8}$.

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Ta có : ${\sin }^{2}x+{\sin }^{2}2x+{\sin }^{2}3x=2$$\iff \frac{1-\cos 2x}{2}+{\sin }^{2}2x+\frac{1-\cos 6x}{2}=2$

$\iff {\sin }^{2}2x-\frac{\cos 6x+\cos 2x}{2}=1$ $\iff {\cos }^{2}2x+\cos 4x\cos 2x=0$

$\iff \cos 2x(\cos 4x+\cos 2x)=0$ $\iff 2\cos 3x\cos 2x\cos x=0$

$\iff [\begin{array}{c}\cos 3x=0\\ \cos 2x=0\\ \cos x=0\end{array}\iff [\begin{array}{c}x=\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3}\\ x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}\\ x=\frac{\pi }{2}+k\pi \end{array}$ $(k\in \mathbb{Z})$

Câu 3: Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình $2{\cos }^{2}x+\cos x=\sin x+\sin 2x$là?

A. $x=\frac{\pi }{6}$.      

B. $x=\frac{\pi }{4}$.      

C. $x=\frac{\pi }{3}$.      

D. $x=\frac{2\pi }{3}$.

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Cách 1: $2{\cos }^{2}x+\cos x=\sin x+\sin 2x\iff \cos x(2\cos x+1)-\sin x(2\cos x-1)=0$

$\iff (2\cos x-1)(\cos x-\sin x)=0$

$\iff [\begin{array}{l}\cos x=\frac{1}{2}\\ \cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=0\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi \\ x=\frac{\pi }{4}+k\pi \end{array},\left(k\in Z\right)$

Câu 4: Nghiệm dương nhỏ nhất của pt $(2\sin x-\cos x)(1+\cos x)={\sin }^{2}x$ là:

A. $x=\frac{\pi }{6}$       

B. $x=\frac{5\pi }{6}$     

C. $x=\pi$                       

D. $x=\frac{\pi }{12}$

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Ta có $(2\sin x-\cos x)(1+\cos x)={\sin }^{2}x\iff (2\sin x-\cos x)(1+\cos x)=(1-\cos x)(1+\cos x)$

$\iff \left(1+\cos x\right)\left(2\sin x-1\right)=0\iff [\begin{array}{c}\cos x=-1\\ \sin x=\frac{1}{2}\end{array}$$\iff [\begin{array}{c}x=\pi +k2\pi \\ x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \end{array}$

Suy ra nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là: $x=\frac{\pi }{6}.$

Câu 5: Nghiệm của pt ${\cos }^{2}x-\sin x\cos x=0$ là:

A. $x=\frac{\pi }{4}+k\pi ;x=\frac{\pi }{2}+k\pi$

B. $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$

C. $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$ 

D. $x=\frac{5\pi }{6}+k\pi ;x=\frac{7\pi }{6}+k\pi$

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Ta có ${\cos }^{2}x-\sin x\cos x=0\iff \cos x(\cos x-\sin x)=0\iff \sqrt{2}\cos x\cos (x+\frac{\pi }{4})=0$

$\iff [\begin{array}{c}\cos x=0\\ \cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=0\end{array}\iff [\begin{array}{c}x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}+k\pi \end{array}\iff [\begin{array}{c}x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ x=\frac{\pi }{4}+k\pi \end{array}$.

Câu 6: Nghiệm dương nhỏ nhất của pt $2\sin x+2\sqrt{2}\sin x\cos x=0$ là:

A. $x=\frac{3\pi }{4}$     

B. $x=\frac{\pi }{4}$       

C. $x=\frac{\pi }{3}$       

D. $x=\pi$

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Ta có

$\begin{array}{l}2\sin x+2\sqrt{2}\sin x\cos x=0\iff \sin x\left(1+\sqrt{2}\cos x\right)=0\\ \iff [\begin{array}{c}\sin x=0\\ \cos x=-\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\iff [\begin{array}{c}x=k\pi \\ x=\pm \frac{3\pi }{4}+k2\pi \end{array}\end{array}$

Suy ra nghiệm dương nhỏ nhất của pt là: $x=\frac{3\pi }{4}.$

Câu 7: Tìm số nghiệm trên khoảng $(-\pi ;\pi )$ của phương trình : $2(sinx+1)(si{n}^{2}2x-3sinx+1)=sin4x.cosx$

A. 1                               B. 2                                         C. 3                                    D. 4

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Ta có phương trình đã cho tương đương với

$2(\sin x+1)(\frac{1-\cos 4x}{2}-3\sin x+1)=\sin 4x.\cos x$

$\iff (\sin x+1)(3-6\sin x-\cos 4x)=\sin 4x.\cos x$

$\iff (\text{sinx}+\text{1})(\text{3}-\text{6sinx})-\text{sinx}.\text{cos4x}-\text{cos4x}=\text{sin4x}.\text{cosx}$

$\iff 3(1-2si{n}^{2}x)-3sinx=sin5x+cos4x$

$\iff 3\cos 2x+3\cos (x+\frac{\pi }{2})=\cos (5x-\frac{\pi }{2})+\cos 4x$

$\iff 3.2.cos(\frac{3x}{2}+\frac{\pi }{4}).cos(\frac{x}{2}-\frac{\pi }{4})=2.cos(\frac{9x}{2}-\frac{\pi }{4}).cos(\frac{x}{2}-\frac{\pi }{4})$

$\iff \cos (\frac{x}{2}-\frac{\pi }{4})[3\cos (\frac{3x}{2}+\frac{\pi }{4})+\cos (\frac{9x}{2}+\frac{3\pi }{4})]=0$

$\iff \cos (\frac{x}{2}-\frac{\pi }{4}).{\cos }^3(\frac{3x}{2}+\frac{\pi }{4})=0\iff [\begin{array}{l}\cos (\frac{x}{2}-\frac{\pi }{4})=0\\ \cos (\frac{3x}{2}+\frac{\pi }{4})=0\end{array}$$\iff [\begin{array}{l}x=\frac{3\pi }{2}+k2\pi \\ x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \end{array}$.

Vì $x\in (-\pi ;\pi )$ nên suy ra $x=-\frac{\pi }{2},x=\frac{\pi }{6},x=\frac{3\pi }{2}$.

Câu 8: Giải phương trình ${\sin }^{2}2x+{\cos }^{2}3x=1$.

a. $x=k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$   

b. $x=k\frac{2\pi }{5},k\in \mathbb{Z}$                                                              

c. $x=\pi +k\pi ,k\in \mathbb{Z}$ 

d. $x=k\pi \vee x=k\frac{\pi }{5},k\in \mathbb{Z}$

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

${\sin }^{2}2x+{\cos }^{2}3x=1\iff {\cos }^{2}3x-{\cos }^{2}2x=0$

$\iff (\cos 3x-\cos 2x)(\cos 3x+\cos 2x)=0$

$\iff -2\sin \frac{5x}{2}\sin \frac{x}{2}.2\cos \frac{5x}{2}.\cos \frac{x}{2}=0$

$\iff -\sin 5x.\sin x=0$

$\iff [\begin{array}{l}\sin 5x=0\\ \sin x=0\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\frac{k\pi }{5}\\ x=k\pi \end{array}\left(k\in Z\right)$

Câu 9: Phương trình $4\cos x-2\cos 2x-\cos 4x=1$ có các nghiệm là:

A. $[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ x=k2\pi \end{array},k\in Z$.                                               

B. $[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}\\ x=k\pi \end{array},k\in Z$.

C. $[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{3}=k\frac{2\pi }{3}\\ x=k\frac{\pi }{2}\end{array},k\in Z$.                                            

D. $[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+k\frac{\pi }{3}\\ x=k\frac{\pi }{4}\end{array},k\in Z$.

Hướng dẫn giải:

Chọn .

$4\cos x-2\cos 2x-\cos 4x=1$$\iff 4\cos x-2\cos 2x=1+\cos 4x$ 

$\iff 4\cos x=2{\cos }^{2}2x+2\cos 2x$$\iff 2\cos x=\cos 2x.(\cos 2x+1)$

$\iff 2\cos x=\cos 2x.2{\cos }^{2}x$$\iff \cos x(1-\cos 2x.\cos x)=0$

$\iff \cos x.[1-(2{\cos }^{2}x-1)\cos x]=0$$\iff \cos x.(-2{\cos }^{3}x+\cos x+1)=0$

$\iff [\begin{array}{l}\cos x=0\\ -2{\cos }^{3}x+\cos x+1=0\end{array}\iff [\begin{array}{l}\cos x=0\\ \left(\cos x-1\right)\left(-2{\cos }^{2}x-2\cos x-1\right)=0\end{array}$.

$\iff [\begin{array}{l}\cos x=0\\ \cos x=1\\ 2{\cos }^{2}x+2\cos x+1=0\left(\mathrm{V}\mathrm{N}\right)\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ x=k2\pi \end{array},k\in Z$

Câu 10: Phương trình $2\sin x+\cos x-\sin 2x-1=0$ có nghiệm là:

A. $[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+k\pi \\ x=\frac{5\pi }{6}+k\pi \\ x=k\pi \end{array}$, $k\in Z$.                                           

B. $[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \\ x=k2\pi \end{array}$, $k\in Z$.

C. $[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=k2\pi \end{array}$, $k\in Z$.                                         

D. $[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=k\pi \end{array}$, $k\in Z$.

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

$2\sin x+\cos x-\sin 2x-1=0\iff 2\sin x+\cos x-2\sin x\cos x-1=0$

$\iff \left(\cos x-1\right)\left(1-2\sin x\right)=0\iff [\begin{array}{l}\cos x=1\\ \sin x=\frac{1}{2}\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \\ x=k2\pi \end{array}$

...

---(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Phương pháp biến đổi phương trình lượng giác về dạng tích. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Một số dạng phương trình lượng giác không mẫu mực

• Phương trình bậc hai và quy về bậc hai với một hàm số lượng giác

Chúc các em học tập tốt!