Phương pháp giải và bài tập áp dụng của bài toán Xác định thiết diện chứa một đường thẳng và vuông góc với một mặt phẳng

PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ BÀI TẬP ÁP DỤNG CỦA BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN CHỨA MỘT ĐƯỜNG THẲNG VÀ VUÔNG GÓC VỚI MỘT MẶT PHẲNG

Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông, $SA\mathrm{\perp }(ABCD)$. Gọi $(\alpha )$ là mặt phẳng chứa AB và vuông góc với (SCD), $(\alpha )$ cắt chóp S.ABCD theo thiết diện là hình gì?

A. hình bình hành.

B. hình thang vuông.

C. hình thang không vuông.

D. hình chữ nhật.

 Hướng dẫn giải:

Dựng $AH\mathrm{\perp }CD$

Ta có $\begin{array}{l}CD\mathrm{\perp }SA\\ CD\mathrm{\perp }AD\end{array}\}\Rightarrow CD\mathrm{\perp }(SAD)$.

Suy ra $CD\mathrm{\perp }AH$

Mà $AH\subset (SCD)$ suy ra $AH\subset (\alpha )$

Do đó $\left(\alpha \right)\equiv (AHB)$

Vì $\left(\alpha \right)//CD$ nên $\left(\alpha \right)\cap (SAD)=HK//CD(K\in SC)$.

Từ đó thiết diện là hình thang ABKH.

Mặt khác $AB\mathrm{\perp }(SAD)$ nên $AB\mathrm{\perp }AH$

Vậy thiết diện là hình thang vuông tại A và H.

Chọn đáp án B.

Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình chữ nhật tâm O có AB = a, AD = 2a. SA vuông góc với đáy và SA = a. Gọi (P) là mặt phẳng qua SO và vuông góc với (SAD). Diện tích thiết diện của (P) và hình chóp S.ABCD bằng bao nhiêu?

A. $a^2\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

B. $a^2\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

C. $\frac{a^2}{2}$ .

D. a².

 Hướng dẫn giải:

Gọi MN là đoạn thẳng qua O vuông góc AD(M, N thuộc AD, BC) ta có $MN\mathrm{\perp }\left(SAD\right)$ nên SMN là thiết diện cần tìm.

Tam giác SMN vuông tại M nên $S_{SMN}=\frac{SM.MN}{2}=a^2\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Chọn B.

Câu 3: Cho hai mặt phẳng vuông góc (P) và (Q) có giao tuyến $\mathrm{\Delta }$. Lấy A, B cùng thuộc $\mathrm{\Delta }$ và lấy C trên (P), D trên (Q) sao cho $AC\mathrm{\perp }AB$, $BD\mathrm{\perp }AB$ và AB = AC = BD = a. Diện tích thiết diện của tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua A và vuông góc với CD là?

A. $\frac{a^2\sqrt{2}}{12}$.

B. $\frac{a^2\sqrt{2}}{8}$.

C. $\frac{a^2\sqrt{3}}{12}$.

D. $\frac{a^2\sqrt{3}}{8}$.

 Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Ta có:

$\{\begin{array}{l}(P)\mathrm{\perp }(Q)\\ (P)\cap (Q)=\mathrm{\Delta }\\ BD\subset (Q),BD\mathrm{\perp }\mathrm{\Delta }\end{array}\Rightarrow BD\mathrm{\perp }(P)$

Gọi H là trung điểm BC, ta có $\{\begin{array}{l}AH\mathrm{\perp }BC\\ AH\mathrm{\perp }BD\end{array}\Rightarrow AH\mathrm{\perp }CD$

Trong mặt phẳng (BCD), kẻ $HI\mathrm{\perp }CD$ thì ta có $CD\mathrm{\perp }(AHI)$

Khi đó mặt phẳng $(\alpha )$ cắt tứ diện ABCD theo thiết diện là tam giác AHI

Mặt khác tam giác ABC vuông cân tại A nên $BC=a\sqrt{2}$.

Trong tam giác vuông BCD, kẻ đường cao BK thì $BK=\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ và $HI=\frac{a}{\sqrt{6}}$

Vậy: thiết diện cần tìm là tam giác AHI vuông tại H và có diện tích $S=\frac{a^2\sqrt{3}}{12}$

Câu 4: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A, với AB = c, AC = b, cạnh bên AA' = h. Mặt phẳng (P) đi qua A' và vuông góc với B'C'.Thiết diện của lăng trụ cắt bởi mặt phẳng (P) có hình:

A. h1 và h2.

B. h2 và h3.

C. h2.

D. h1.

 Hướng dẫn giải:

Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A' và vuông góc với BC. Từ A' ta dựng $A^{\prime }{K}^{\prime }\mathrm{\perp }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, Vì $(ABC)\mathrm{\perp }(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ nên

$A^{\prime }{K}^{\prime }\mathrm{\perp }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\Rightarrow A^{\prime }{K}^{\prime }\mathrm{\perp }(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })\Rightarrow A^{\prime }{K}^{\prime }\mathrm{\perp }B{C}^{\prime }$ (1)

Mặt khác trong mặt phẳng (BCC'B') dựng $K^{\prime }x\mathrm{\perp }{B}^{\prime }C$ và cắt B'B tại 1 điểm N (2) (điểm gì đề chưa có cho nên cho tạm điểm N).

Từ (1) và (2) ta có : $\{\begin{array}{l}B{C}^{\prime }\mathrm{\perp }{A}^{\prime }{K}^{\prime }\\ B{C}^{\prime }\mathrm{\perp }{K}^{\prime }N\end{array}\Rightarrow B{C}^{\prime }\mathrm{\perp }(A^{\prime }{K}^{\prime }N)$

Chọn đáp án A

Câu 5: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Cắt hình lập phương bởi mặt phẳng trung trực của AC'. Thiết diện là hình gì?

A. Hình vuông.

B. Lục giác đều.

C. Ngũ giác đều.

D. Tam giác đều.

 Hướng dẫn giải:

Ta có AC là hình chiếu của AC' lên (ABCD).

Mà $AC\mathrm{\perp }BD$ nên $A{C}^{\prime }\mathrm{\perp }BD,(1)$

Ta có $\begin{array}{l}AD\mathrm{\perp }(A{A}^{\prime }{B}^{\prime }B)\\ A^{\prime }B\subset (A{A}^{\prime }{B}^{\prime }B\end{array}\}\Rightarrow A^{\prime }B\mathrm{\perp }AD$

Lại có $A^{\prime }B\mathrm{\perp }A{B}^{\prime }$ suy ra $\begin{array}{l}{A}^{\prime }B\mathrm{\perp }(A{B}^{\prime }{C}^{\prime }D)\\ A{C}^{\prime }\subset (A{B}^{\prime }{C}^{\prime }D)\end{array}\}\Rightarrow A{C}^{\prime }\mathrm{\perp }{A}^{\prime }B,(2)$

Từ (1) và (2) suy ra $A{C}^{\prime }\mathrm{\perp }(A^{\prime }BD),(3)$

Mặt phẳng trung trực AC' là mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua trung điểm I của AC' và $(\alpha )\mathrm{\perp }A{C}^{\prime },(4)$

Từ (3) và (4) suy ra $A{C}^{\prime }\mathrm{\perp }(A^{\prime }BD),(3)$

Do đó

Qua I dựng  MQ // BD

Dựng

$\begin{array}{l}MN//{\mathrm{A}}^{\prime }\mathrm{D}\\ \mathrm{N}\mathrm{P}//B^{\prime }{D}^{\prime }//BD\\ QK//{\mathrm{B}}^{\prime }\mathrm{C}//{\mathrm{A}}^{\prime }\mathrm{D}\\ KH//BD\end{array}$

Mà $MN=NP=PQ=QK=KM=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Suy ra thiết diện là lục giác đều.

Chọn đáp án B.

 

{-- Để xem nội dung đầu đủ tài liệu các em vui lòng xem ở phần xem online hoặc tải về --}

Trên đây là trích dẫn một phần nội dung tài liệu Phương pháp giải và bài tập áp dụng của bài toán Xác định thiết diện chứa một đường thẳng và vuông góc với một mặt phẳng. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Chúc các em học tốt!