Chứng minh hai đường thẳng vuông góc và các bài toán liên quan Toán 11 có đáp án chi tiết

CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN TOÁN 11 CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT

Phương pháp:

Để chứng minh $d_1\mathrm{\perp }{d}_2$ ta có trong phần này ta có thể thực hiện theo các cách sau:

• Chứng minh $d_1\mathrm{\perp }{d}_2$ ta chứng minh $\overrightarrow{u_1}\overrightarrow{u_2}=0$ trong đó $\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}$ lần lượt là các vec tơ chỉ phương của d₁ và d₂.

• Sử dụng tính chất $\{\begin{array}{l}b\parallel c\\ a\mathrm{\perp }c\end{array}\Rightarrow a\mathrm{\perp }b$.

• Sử dụng định lí Pitago hoặc xác định góc giữa $d_1,d_2$ và tính trực tiếp góc đó.

• Tính độ dài đoạn thẳng, diện tích của một đa giác

• Tính tích vô hướng…

Câu 1: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có thể sai?

A. $A^{\prime }{C}^{\prime }\mathrm{\perp }BD$.

B. $B{B}^{\prime }\mathrm{\perp }BD$.

C. $A^{\prime }B\mathrm{\perp }D{C}^{\prime }$.

D. $B{C}^{\prime }\mathrm{\perp }{A}^{\prime }D$.

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Chú ý: Hình hộp có tất cả các cạnh bằng nhau còn gọi là hình hộp thoi.

A đúng vì:

$\{\begin{array}{l}{A}^{\prime }{C}^{\prime }\mathrm{\perp }{B}^{\prime }{D}^{\prime }\\ B^{\prime }{D}^{\prime }//BD\end{array}\Rightarrow A^{\prime }{C}^{\prime }\mathrm{\perp }BD$

C đúng vì: $\{\begin{array}{l}{A}^{\prime }B\mathrm{\perp }A{B}^{\prime }\\ A{B}^{\prime }//D{C}^{\prime }\end{array}\Rightarrow A^{\prime }B\mathrm{\perp }D{C}^{\prime }$.

D đúng vì: $\{\begin{array}{l}B{C}^{\prime }\mathrm{\perp }{B}^{\prime }C\\ B^{\prime }C//A^{\prime }D\end{array}\Rightarrow B{C}^{\prime }\mathrm{\perp }{A}^{\prime }D$.

Câu 2: Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng nếu $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB}$ thì $AB\mathrm{\perp }CD$, $AC\mathrm{\perp }BD$, $AD\mathrm{\perp }BC$. Điều ngược lại đúng không?

Sau đây là lời giải:

Bước 1:

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD}\iff \overrightarrow{AC}.\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}\right)=0$

$\iff \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}=0\iff AC\mathrm{\perp }BD$

Bước 2: Chứng minh tương tự, từ $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB}$ ta được $AD\mathrm{\perp }BC$ và $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB}$ ta được $AB\mathrm{\perp }CD$.

Bước 3: Ngược lại đúng, vì quá trình chứng minh ở bước 1 và 2 là quá trình biến đổi tương đương.

Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở đâu?

A. Đúng.

B. Sai từ bước 1.

C. Sai từ bước 1.

D. Sai ở bước 3.

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Câu 4: Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD. Mặt phẳng (P) song song với AB và CD lần lượt cắt BC, DB, AD, AC tại M, N, P, Q. Tứ giác MNPQ là hình gì?

A. Hình thang.

B. Hình bình hành.

C. Hình chữ nhật.

D. Tứ giác không phải là hình thang.

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Ta có: $\{\begin{array}{l}\left(MNPQ\right)//AB\\ \left(MNPQ\right)\cap \left(ABC\right)=MQ\end{array}\Rightarrow MQ//AB.$

Tương tự ta có: $MN//CD,NP//AB,QP//C\mathrm{D}$.

Do đó tứ giác MNPQ là hình bình hành

Lại có $MN\mathrm{\perp }MQ\left(doAB\mathrm{\perp }CD\right)$.

Vậy tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

Câu 5: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, CD, AD, BC và AC.

a) Khẳng định nào sau đây là đúng nhất?

A. $MN\mathrm{\perp }RP,MN\mathrm{\perp }RQ$

B. $MN\mathrm{\perp }RP,$MN cắt RQ

C. MN chéo RP; MN chéo RQ

D. Cả A, B, C đều sai

b) Tính góc của hai đường thẳng AB và CD?

A. $\widehat{\left(AB,CD\right)}={60}^0$.

B. $\widehat{\left(AB,CD\right)}={30}^0$.

C. $\widehat{\left(AB,CD\right)}={45}^0$.

D. $\widehat{\left(AB,CD\right)}={90}^0$.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có $MC=MD=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ nên tam giác MCD cân tại M, do đó $MN\mathrm{\perp }CD$.

Lại có $RP\parallel CD\Rightarrow MN\mathrm{\perp }RQ$.

b) Tương tự ta có $QP\mathrm{\perp }AD$

Trong tam giác vuông PDQ ta có 

$Q{P}^2=Q{D}^2-D{P}^2={\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=\frac{a^2}{2}$

Ta có : $R{Q}^2+R{P}^2={\left(\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=a^2=Q{P}^2$

Do đó tam giác RPQ vuông tại R, hay $RP\mathrm{\perp }RQ$.

Vì vậy $\{\begin{array}{l}AB\parallel RQ\\ CD\parallel RP\\ RP\mathrm{\perp }RQ\end{array}\Rightarrow AB\mathrm{\perp }CD$.

{-- Để xem nội dung đầy đủ của tài liệu các em vui lòng xem ở phần xem online hoặc tải về --}

Trên đây là trích dẫn một phần nội dung tài liệu Chứng minh hai đường thẳng vuông góc và các bài toán liên quan Toán 11 có đáp án chi tiết. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Chúc các em học tốt!