42 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VỀ PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA HÀM SỐ TOÁN 11 CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT
Câu 1: Cho đồ thị hàm số \(\left( C \right):y = {x^4} - 4{x^2} + 2017\) và đường thẳng \(d:y = \frac{1}{4}x + 1.\) Có bao nhiêu tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng d?
A. 2 tiếp tuyến.
B. 1 tiếp tuyến.
C. Không có tiếp tuyến nào.
D. 3 tiếp tuyến.
Câu 2: Biết với một điểm M tùy ý thuộc (C): \(y = \frac{{{x^2} + 3x + 3}}{{x + 2}}\), tiếp tuyến tại M cắt (C) tại hai điểm A, B tạo với I(-2;-1) một tam giác có diện tích không đổi, diện tích tam giác đó là?
A. 2 (đvdt ).
B. 4 (đvdt ).
C. 5 (đvdt ).
D. 7 (đvdt ).
Hướng dẫn giải
Chọn A
\(y = \frac{{{x^2} + 3x + 3}}{{x + 2}} = x + 1 + \frac{1}{{x + 2}}\)
Ta có: \(y' = 1 - \frac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\).
Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in (C) \Rightarrow {y_0} = {x_0} + 1 + \frac{1}{{{x_0} + 2}}\left( * \right)\)
Tiếp tuyến với (C) tại M là \(\Delta :y = \left[ {1 - \frac{1}{{{{\left( {{x_0} + 2} \right)}^2}}}} \right]\left( {x - {x_0}} \right) + {x_0} + 1 + \frac{1}{{{x_0} + 2}}\)
Nếu 
tại điểm A, thì
Nếu \(\Delta\) cắt tiệm cận xiện tại điểm B thì
\(\left[ {1 - \frac{1}{{{{\left( {{x_0} + 2} \right)}^2}}}} \right]\left( {{x_B} - {x_0}} \right) + {x_0} + 1 + \frac{1}{{{x_0} + 2}} = {x_B} + 1\\ \Leftrightarrow {x_B} = 2{x_0} + 2 \Rightarrow {y_B} = {x_B} + 1 = 2{x_0} + 3\)
\( \Rightarrow B\left( {2{x_0} + 2;2{x_0} + 3} \right)\)
Nếu I là giao hai tiệm cận, thì I có tọa độ I(-2;-1)
Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên tiệm cận đứng x = -2 suy ra \({\rm{H}}( - {\rm{2}};2{x_0} + 3)\)
Diện tích tam giác \({\rm{AIB}}:S = \frac{1}{2}AI.BH = \frac{1}{2}\left| {{y_A} - {y_I}} \right|.\left| {{x_B} - {x_H}} \right| = \frac{1}{2}\left| { - \frac{{{x_0}}}{{{x_0} + 2}} + 1} \right|\left| {2{x_0} + 2 + 2} \right|\)
Hay \(S = \frac{1}{2}\frac{2}{{\left| {{x_0} + 2} \right|}}.2\left| {{x_0} + 2} \right| = 2\) ( đvdt )
Chứng tỏ S là một hằng số, không phụ thuộc vào vị trí của điểm .
Câu 3: Cho hàm số \({\rm{y}} = \frac{{2x - 1}}{{x - 1}}\) có đồ thị là (C). Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến này cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm A, B thoả mãn OA = 4OB
A. \(\left[ \begin{array}{l} y = - \frac{1}{4}x + \frac{5}{4}\\ y = - \frac{1}{4}x + \frac{{13}}{4} \end{array} \right.\).
B. \(\left[ \begin{array}{l} y = - \frac{1}{4}x - \frac{5}{4}\\ y = - \frac{1}{4}x + \frac{{13}}{4} \end{array} \right.\).
C. \(\left[ \begin{array}{l} y = - \frac{1}{4}x + \frac{5}{4}\\ y = - \frac{1}{4}x - \frac{{13}}{4} \end{array} \right.\).
D. \(\left[ \begin{array}{l} y = - \frac{1}{4}x - \frac{5}{4}\\ y = - \frac{1}{4}x - \frac{{13}}{4} \end{array} \right.\).
Hướng dẫn giải
Chọn A
Giả sử tiếp tuyến (d) của (C) tại \(M({x_0};{y_0}) \in (C)\) cắt Ox tại A, Oy tại B sao cho OA = 4OB.
Do tam giác OAB vuông tại O nên \(\tan A = \frac{{OB}}{{OA}} = \frac{1}{4}\)
⇒ Hệ số góc của (d) bằng \(\frac{1}{4}\) hoặc \(-\frac{1}{4}\).
Hệ số góc của (d) là \(y{\,^\prime }({x_0}) = - \frac{1}{{{{({x_0} - 1)}^2}}} < 0 \Rightarrow - \frac{1}{{{{({x_0} - 1)}^2}}} = - \frac{1}{4}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x_0} = - 1\,\,\,\left( {{y_0} = \frac{3}{2}} \right)\\ {x_0} = 3 & \,\,\,\left( {{y_0} = \frac{5}{2}} \right) \end{array} \right.\)
Khi đó có 2 tiếp tuyến thoả mãn là: \(\left[ \begin{array}{l} y = - \frac{1}{4}(x + 1) + \frac{3}{2}\\ y = - \frac{1}{4}(x - 3) + \frac{5}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} y = - \frac{1}{4}x + \frac{5}{4}\\ y = - \frac{1}{4}x + \frac{{13}}{4} \end{array} \right.\).
Câu 4: Cho hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + 3x\) có đồ thị là \(A\left( {\frac{4}{9};\frac{4}{3}} \right)\). Có bao nhiêu giá trị \(\left[ \begin{array}{l} \Delta :y = x\\ \Delta :y = \frac{4}{3}x\\ \Delta :y = - \frac{5}{9}x + \frac{8}{{81}} \end{array} \right.\) để tiếp tuyến của \(\left[ \begin{array}{l} \Delta :y = 3x\\ \Delta :y = \frac{4}{3}x + 1\\ \Delta :y = - \frac{5}{9}x + \frac{{128}}{{81}} \end{array} \right.\) tại giao điểm của nó với trục tung tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8.
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có \(\left[ \begin{array}{l} \Delta :y = 3x\\ \Delta :y = \frac{4}{3}\\ \Delta :y = - \frac{5}{9}x + \frac{{128}}{{81}} \end{array} \right.\) là giao điểm của (Cm) với trục tung
\(y' = 3{x^2} - m \Rightarrow y'(0) = - m\)
Phương trình tiếp tuyến với (Cm) tại điểm m là y = - mx + 1 - m
Gọi A, B lần lượt là giao điểm của tiếp tuyến này với trục hoanh và trục tung, ta có tọa độ \(A\left( {\frac{{1 - m}}{m};0} \right)\) và B(0;1 - m)
Nếu m = 0 thì tiếp tuyến song song với Ox nên loại khả năng này
Nếu m khác 0 ta có
\({S_{OAB}} = 8 \Leftrightarrow \frac{1}{2}OA.OB = 8 \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left| {\frac{{1 - m}}{m}} \right|\left| {1 - m} \right| = 8 \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {1 - m} \right)}^2}}}{{\left| m \right|}} = 16 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 9 \pm 4\sqrt 5 \\ m = - 7 \pm 4\sqrt 3 \end{array} \right.\)
Vậy có 4 giá trị cần tìm.
Câu 5: Cho hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{2x - 1}}\).Tìm giá trị nhỏ nhất của m sao cho tồn tại ít nhất một điểm \(M \in (C)\) mà tiếp tuyến của (C) tại M tạo với hai trục toạ độ một tam giác có trọng tâm nằm trên đường thẳng d:y = 2m - 1.
A. \(\frac{1}{3}\).
B. \(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
C. \(\frac{{\sqrt 2 }}{3}\).
D. \(\frac{2}{3}\).
Hướng dẫn giải
Chọn A
Gọi \(M({x_0};{y_0}) \in (C)\). Phương trình tiếp tuyến tại M: \(y = \frac{{ - 3}}{{{{(2{x_0} - 1)}^2}}}(x - {x_0}) + {y_0}\)
Gọi A, B là giao điểm của tiếp tuyến với trục hoành và trục tung
⇒ \({y_B} = \frac{{2x_0^2 + 4{x_0} - 1}}{{{{(2{x_0} - 1)}^2}}}\)
Từ đó trọng tâm G của tam giác OAB có: \({\rm{y}} = {\rm{3x - }}\frac{1}{3}\).
Vì \(G \in d\) nên \(\frac{{2x_0^2 + 4{x_0} - 1}}{{3{{(2{x_0} - 1)}^2}}} = 2m - 1\)
Mặt khác: \(\frac{{2x_0^2 + 4{x_0} - 1}}{{{{(2{x_0} - 1)}^2}}} = \frac{{6x_0^2 - {{(2{x_0} - 1)}^2}}}{{{{(2{x_0} - 1)}^2}}} = \frac{{6x_0^2}}{{{{(2{x_0} - 1)}^2}}} - 1 \ge - 1\)
Do đó để tồn tại ít nhất một điểm M thỏa bài toán thì \(2m - 1 \ge - \frac{1}{3} \Leftrightarrow m \ge \frac{1}{3}\).
Vậy GTNN của m là \(\frac{1}{3}\).
{-- Để xem nội dung câu 6 đến câu 42 của tài liệu các em vui lòng xem ở phần xem online hoặc tải về --}
Trên đây là trích dẫn một phần nội dung tài liệu 42 bài tập tắc nghiệm về Phương trình tiếp tuyến của hàm số Toán 11 có đáp án chi tiết. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.
Chúc các em học tốt!
