Ôn thi vào lớp 10 Chuyên đề hàm số

Chuyên đề

a) Đồ thị hàm số

Đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) là tập hợp tất cả những điểm \(M\left( x;f\left( x \right) \right)\) trên mặt phẳng tọa độ.

b) Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến

Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) xác định với mọi giá trị của \(x\in \mathbb{R}\).

+ Nếu \({{x}_{1}}<{{x}_{2}}\) mà \(f\left( {{x}_{1}} \right)

+ Nếu \({{x}_{1}}<{{x}_{2}}\) mà \(f\left( {{x}_{1}} \right)>f\left( {{x}_{2}} \right)\) thì hàm số \(y=f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

- Tổng quát:

+ \(\frac{f\left( {{x}_{2}} \right)-f\left( {{x}_{1}} \right)}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}>0,\,\,\forall {{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}\in D,\,\,{{x}_{1}}\ne {{x}_{2}}\Rightarrow \) Hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên D.

+ \(\frac{f\left( {{x}_{2}} \right)-f\left( {{x}_{1}} \right)}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}<0,\,\,\forall {{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}\in D,\,\,{{x}_{1}}\ne {{x}_{2}}\Rightarrow \) Hàm số \(f\left( x \right)\) nghịch biến trên D.

a) Khái niệm hàm số bậc nhất

Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y=ax+b. Trong đó a, b là các số cho trước và \(a\ne 0\)

b) Tính chất

Hàm số bậc nhất y=ax+b xác định với mọi giá trị của x thuộc \(\mathbb{R}\) có tính chất sau:

Đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi a>0.

Nghịch iến trên \(\mathbb{R}\) khi a<0.

c) Đồ thị của hàm số \(y=ax+b\,\,\left( a\ne\right)\)

Đồ thị của hàm số \(y=ax+b\) (\(a\ne 0\)) là một đường thẳng:

Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b.

Song song với đường thẳng y=ax, nếu \(b\ne 0\); trùng với đường thẳng y=ax, nếu b=0.

Cách vẽ đồ thị hàm số y=ax+b (\(a\ne 0\)):

- Bước 1: + Cho x=0 thì y=b ta được điểm \(P\left( 0;b \right)\) thuộc trục tung Oy.

+ Cho \(y=0\) thì \(x=-\frac{b}{a}\) ta được điểm \(Q\left( -\frac{b}{a};0 \right)\) thuộc trục hoành \(Ox\).

- Bước 2: Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm \(P\) và \(Q\) ta được đồ thị hàm số y=ax+b.

d) Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng \(d:y=ax+b\,\,\left( a\ne 0 \right)\) và \(d':y=a'x+b'\,\,\,\left( a'\ne 0 \right)\). Khi đó:

\(d//d' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = a'\\
b \ne b'
\end{array} \right.\) 

\(\begin{array}{l}
d \cap d' = \left\{ A \right\} \Leftrightarrow a \ne a'\\
d \equiv d' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = a'\\
b = b'
\end{array} \right..
\end{array}\) 

\(d\bot d'\Leftrightarrow a.a'=-1\).

e) Hệ số góc của đường thẳng \(y=ax+b\,\,\left( a\ne 0 \right)\)

Góc tạo bởi đường thẳng \(y=ax+b\) và trục Ox:

Góc tạo bởi đường thẳng y=ax+b và trục Ox là góc tạo bởi tia Ax và tia AT, trong đó A là giao điểm của đường thẳng y=ax+b với trục Ox, T là điểm thuộc đường thẳng y=ax+b và có tung độ dương.

Hệ số a gọi là hệ số góc của đường thẳng.

Hệ số b gọi là tung độ gốc của đường thẳng.

f) Một số phương trình đường thẳng

Đường thẳng đi qua điểm \({{M}_{0}}\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\) và có hệ số góc k: \(y=k\left( x-{{x}_{0}} \right)+{{y}_{0}}\).

Đường thẳng đi qua điểm \(A\left( a;0 \right)\) và \(B\left( 0;b \right)\) với \(ab\ne 0\): \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\).

a) Định nghĩa: Hàm số có dạng \(y=a{{x}^{2}}\,\,\left( a\ne 0 \right)\) 

b) Tính chất

Hàm số \(y=a{{x}^{2}}\,\,\left( a\ne 0 \right)\) xác định với mọi giá trị của x thuộc R và:

Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0, đồng biến khi x > 0.

Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0.

c) Đồ thị của hàm số \(y=a{{x}^{2}}\,\,\left( a\ne 0 \right)\)

Đồ thị hàm số \(y=a{{x}^{2}}\,\,\left( a\ne 0 \right)\) là một parabol có đỉnh là \(O\left( 0;0 \right)\) và nhận trục Oy làm trục đối xứng.

Nếu a>0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị.

Nếu a<0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị.

a) Công thức tọa độ trung điểm của đoạn thẳng và độ dài đoạn thẳng

Cho hai điểm phân biệt A và B với \(A\left( {{x}_{A}};{{y}_{A}} \right)\) và \(B\left( {{x}_{B}};{{y}_{B}} \right)\). Khi đó:

Độ dài đoạn thẳng AB được tính bởi công thức: \(AB=\sqrt{{{\left( {{x}_{B}}-{{x}_{A}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{B}}-{{y}_{A}} \right)}^{2}}}\).

Tọa độ trung điểm M của AB được tính bởi công thức: \({{x}_{M}}=\frac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}}{2},\,\,{{y}_{M}}=\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}}{2}\).

b) Quan hệ giữa Parabol \(y=a{{x}^{2}}\,\,\left( a\ne 0 \right)\) và đường thẳng \(y=mx+n\,\,\left( m\ne 0 \right)\)

Cho parabol \(\left( P \right):y=a{{x}^{2}}\,\,\left( a\ne 0 \right)\) và đường thẳng \(d:y=mx+n\,\,\left( m\ne 0 \right)\). Khi đó:

Tọa độ giao điểm của (P) và d là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}
y = a{x^2}\\
y = mx + n
\end{array} \right.\) 

Hoành độ giao điểm của (P) và d là nghiệm của phương trình: \(a{{x}^{2}}=mx+n\) (*).

Số giao điểm của (P) và d là số nghiệm của phương trình (*):

+ Nếu (*) vô nghiệm thì (P) và d không có điểm chung.

+ Nếu (*) có nghiệm kép thì (P) và d tiếp xúc nhau.

+ Nếu (*) có hai nghiệm phân biệt thì (P) và d cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

Bài 1:Cho hai hàm số y = x và y = 3x.

a) Vẽ đồ thị của hai hàm số đó trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy.

b) Đường thẳng song song với trục Ox, cắt Oy tại điểm có tung độ bằng 6, cắt các đường thẳng y=x và y=3x lần lượt ở A và B. Tìm tọa độ các điểm A và B, tính chu vi, diện tích tam giác OAB.

Bài 2:Cho hàm số y=-2x và \(y=\frac{1}{2}x\).

a) Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy đồ thị của hai hàm số trên.

b) Qua điểm \(\left( 0;2 \right)\) vẽ đường thẳng song song với trục Ox cắt đường thẳng \(y=\frac{1}{2}x\) và y=-2x lần lượt tại A và B. Chứng minh tam giác AOB là tam giác vuông và tính diện tích của tam giác đó.

Bài 3: Cho hàm số \(y=\left| x \right|\).

a) Vẽ đồ thị hàm số.

b) Vẽ đường thẳng y=2, cắt đồ thị hàm số \(y=\left| x \right|\) ở A và B. Tam giác OAB là tam giác gì? Vì sao? Tính chu vi và diện tích của tam giác đó.

Bài 4: Cho hàm số \(y=\left( m+4 \right)x-m+6\,\,\left( d \right)\).

a) Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến, nghịch biến.

b) Tìm các giá trị của m, biết rằng đường thẳng \(\left( d \right)\) đi qua điểm \(A\left( -1;2 \right)\). Vẽ đồ thị của hàm số với giá trị tìm được của m.

c) Chứng minh rằng khi m thay đổi thì các đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định.

..........

---(Để xem tiếp nội dung của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--- 

Trên đây là một phần nội dung tài liệu Ôn thi vào lớp 10 Chuyên đề hàm số​​​​. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.