GIÁ TRỊ LỚN NHÁT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC NGHIỆM
1. Kiến thức cần nhớ
* Cách làm bài toán như sau:
+ Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là \(a\ne 0\) và \(\Delta \ge 0\))
+ Áp dụng hệ thức Vi-ét để biến đổi biểu thức nghiệm đã cho theo m
+ Một số bất đẳng thức thường dùng:
- Với mọi \(A\ge 0:{{A}^{2}}\ge 0;\sqrt{A}\ge 0\)
- Bất đẳng thức Cauchy (Cô - Si): với a, b là các số dương ta có: \(a+b\ge 2\sqrt{ab}\)
2. Bài tập áp dụng
Bài 1: Cho phương trình bậc hai \({{x}^{2}}+2\left( m+1 \right)x+{{m}^{2}}-m+1=0\) (x là ẩn số, m là tham số). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(A=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+{{x}_{1}}{{x}_{2}}\)
Lời giải:
Ta có: \(\Delta '=b{{'}^{2}}-ac={{\left( m+1 \right)}^{2}}-\left( {{m}^{2}}-m+1 \right)={{m}^{2}}-2m+1-{{m}^{2}}+m-1=-m\)
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 \(\Leftrightarrow -m>0\Leftrightarrow m<0\)
Vậy với m < 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn hệ thức Vi-ét: \(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = - 2\left( {m + 1} \right)\\
{x_1}{x_2} = {m^2} - m + 1
\end{array} \right.\)
Có \(A=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+{{x}_{1}}{{x}_{2}}={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{x}_{1}}{{x}_{2}}={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-{{x}_{1}}{{x}_{2}}\)
\(\begin{array}{l}
A = {\left[ { - 2\left( {m + 1} \right)} \right]^2} - \left( {{m^2} - m + 1} \right)\\
A = 4{\left( {m + 1} \right)^2} - {m^2} + m - 1\\
A = 4{m^2} + 8m + 4 - {m^2} + m - 1\\
A = 3{m^2} + 9m + 3\\
A = 3\left( {{m^2} + 3m + 1} \right)
\end{array}\)
Có \({{m}^{2}}+3m+1={{m}^{2}}+2.\frac{3}{2}.m+\frac{9}{4}-\frac{9}{4}+1={{\left( m+\frac{3}{2} \right)}^{2}}-\frac{5}{4}\)
\({{\left( m+\frac{3}{2} \right)}^{2}}\ge 0\forall m<0\Leftrightarrow {{\left( m+\frac{3}{2} \right)}^{2}}-\frac{5}{4}\ge \frac{-5}{4}\forall m<0\)
\(\Leftrightarrow 3\left[ {{\left( m+\frac{3}{2} \right)}^{2}}-\frac{5}{4} \right]\ge \frac{-15}{4}\forall m<0\)
Dấu “=” xảy ra \(\Leftrightarrow m+\frac{3}{2}=0\Leftrightarrow m=\frac{-3}{2}\left( tm \right)\)
Vậy min\(A=\frac{-15}{4}\Leftrightarrow m=\frac{-3}{2}\)
Bài 2: Cho phương trình \({{x}^{2}}-2\left( m+4 \right)x+{{m}^{2}}-8=0\) (x là ẩn số, m là tham số). Tìm m để biểu thức \(B={{x}_{1}}+{{x}_{2}}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}}\) đạt giá trị lớn nhất
Lời giải:
Ta có \(\Delta '={{b}^{'2}}-ac={{\left( m+4 \right)}^{2}}-\left( {{m}^{2}}-8 \right)={{m}^{2}}+8m+16-{{m}^{2}}+8=8m+24\)
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow 8m+24>0\Leftrightarrow m>-3\)
Vậy với m > - 3 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn hệ thức Vi-ét:
\(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = 2\left( {m + 4} \right)\\
{x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = {m^2} - 8
\end{array} \right.\)
Có \(B={{x}_{1}}+{{x}_{2}}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}}=2\left( m+4 \right)-3\left( {{m}^{2}}-8 \right)\)
\(=-3{{m}^{2}}+2m+32=-3\left( {{m}^{2}}+2.\frac{1}{3}.m+\frac{1}{9} \right)+\frac{97}{3}=-3{{\left( m+\frac{1}{3} \right)}^{2}}+\frac{97}{3}\)
\({{\left( m+\frac{1}{3} \right)}^{2}}\ge 0\forall m>-3\Leftrightarrow -3{{\left( m+\frac{1}{3} \right)}^{2}}\le 0\forall m>-3\)
\(\Leftrightarrow -3{{\left( m+\frac{1}{3} \right)}^{2}}+\frac{97}{3}\le \frac{97}{3}\forall m>-3\)
Dấu “=” xảy ra \(\Leftrightarrow m+\frac{1}{3}=0\Leftrightarrow m=-\frac{1}{3}\)
Vậy max\(B=\frac{97}{3}\Leftrightarrow m=\frac{-1}{3}\)
Bài 3: Cho phương trình bậc hai ẩn số x: \({{x}^{2}}-2\left( m+1 \right)x+m-4=0\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M=\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|\)
Có \(\Delta '={{\left( m+1 \right)}^{2}}-\left( m-4 \right)={{m}^{2}}+2m+1+m+4={{m}^{2}}+3m+5\)
\(=\left( {{m}^{2}}+2.\frac{3}{2}.m+\frac{9}{4} \right)+\frac{11}{4}={{\left( m+\frac{3}{2} \right)}^{2}}+\frac{11}{4}>0\forall m\)
Vậy với mọi m phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn hệ thức Vi-ét: \(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = 2\left( {m + 1} \right)\\
{x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = m - 4
\end{array} \right.\)
Có \(M=\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|\Rightarrow {{M}^{2}}={{\left( \left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right| \right)}^{2}}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}\)
\(\begin{array}{l}
{M^2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = {\left[ {2\left( {m + 1} \right)} \right]^2} - 4\left( {m - 4} \right)\\
= 4\left( {{m^2} + 2m + 1} \right) - 4m + 16\\
= 4{m^2} + 8m + 4 - 4m + 16\\
= 4{m^2} + 4m + 20 = 4\left( {{m^2} + m + 5} \right)
\end{array}\)
Có \({{m}^{2}}+m+5=\left( {{m}^{2}}+2.\frac{1}{2}.m+\frac{1}{4} \right)-\frac{1}{4}+5={{\left( m+\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{19}{4}\)
\(\begin{array}{l}
{\left( {m + \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\forall m \Leftrightarrow {\left( {m + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{19}}{4} \ge \frac{{19}}{4}\forall m\\
\Leftrightarrow 4\left[ {{{\left( {m + \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{{19}}{4}} \right] \ge 19\forall m
\end{array}\)
\(M=\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|\Rightarrow M\ge \sqrt{19}\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(m+\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow m=\frac{-1}{2}\)
Vậy min\(M=\sqrt{19}\Leftrightarrow m=\frac{-1}{2}\)
3. Bài tập tự luyện
Bài 1: Cho phương trình \({{x}^{2}}-2\left( m+4 \right)x+{{m}^{2}}-8=0\) (m tham số)
a, Tìm m để biểu thức \(A=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-{{x}_{1}}-{{x}_{2}}\) đạt giá trị nhỏ nhất
b, Tìm m để biểu thức \(C=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-{{x}_{1}}{{x}_{2}}\) đạt giá trị lớn nhất
Bài 2: Cho phương trình \({{x}^{2}}+mx-m-2=0\) (x là ẩn số, m là tham số). Tìm m để biểu thức \(A=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}\) đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 3: Cho phương trình \({{x}^{2}}-2\left( m+2 \right)x+6m+3=0\) (x là ẩn, m là tham số). Tìm giá trị của m để biểu thức \(A=x_{1}^{2}{{x}_{2}}+{{x}_{1}}x_{2}^{2}\) có giá trị nhỏ nhất
Bài 4: Cho phương trình \({{x}^{2}}-2\left( m+4 \right)x+{{m}^{2}}-8=0\) (x là ẩn, m là tham số)
a, Tìm m để biểu thức \(A=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-{{x}_{1}}{{x}_{2}}\) đạt giá trị nhỏ nhất
b, Tìm m để biểu thức \(B={{x}_{1}}+{{x}_{2}}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}}\) đạt giá trị lớn nhất
Bài 5: Cho phương trình \({{x}^{2}}-mx+m-1=0\) (m là tham số). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(B=\frac{2{{x}_{1}}{{x}_{2}}+3}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}}+1 \right)}\)
Bài 6: Goi x1, x2 là nghiệm của phương trình \(2{{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}-2=0\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\left| 2{{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{x}_{1}}+{{x}_{2}}-4 \right|\)
Bài 7: Cho phương trình bậc hai \({{x}^{2}}-\left( 2m+1 \right)x+m-3=0\). Tìm giá trị của m để biểu thức \(B={{x}_{1}}{{x}_{2}}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}\) đạt giá trị lớn nhất
Trên đây là nội dung tài liệu Chuyên đề tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm Toán 9. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.
Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.
Ngoài ra các em có thể tham khảo thêm một số tư liệu cùng chuyên mục tại đây:
Chúc các em học tập tốt !
