Cách tính delta và delta phẩy phương trình bậc 2
Thông thường đối với một học sinh lớp 9, khi hỏi cách tính phương trình bậc 2, các bạn học sinh sẽ trả lời là: “Ta đi tính \(\Delta \), rồi từ đó phụ thuộc vào \(\Delta \) mà ta có cách tính cụ thể cho từng nghiệm”. Vậy tại sao phải tính \(\Delta \), đa phần các bạn học sinh sẽ không trả lời được, bởi vậy phần dưới đây sẽ trả lời câu hỏi đó!
1. Định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn
Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng: \(a{{x}^{2}}+bx+c=0\)
Trong đó \(a\ne 0\), a, b là hệ số, c là hằng số.
2. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn
Ta sử dụng một trong hai công thức nghiệm sau để giải phương trình bậc hai một ẩn:
+ Tính \(\Delta ={{b}^{2}}-4ac\)
- Nếu \(\Delta >0\), phương trình \(a{{x}^{2}}+bx+c=0\) có hai nghiệm phân biệt
\({{x}_{1}}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a};{{x}_{2}}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}\)
- Nếu \(\Delta =0\), phương trình \(a{{x}^{2}}+bx+c=0\) có nghiệm kép
\({{x}_{1}}={{x}_{2}}=\frac{-b}{2a}\)
- Nếu \(\Delta <0\), phương trình \(a{{x}^{2}}+bx+c=0\) vô nghiệm.
+ Tính \(\Delta '=b{{'}^{2}}-ac\), \(b'=\frac{b}{2}\)
- Nếu \(\Delta '>0\), phương trình \(a{{x}^{2}}+bx+c=0\) có hai nghiệm phân biệt
\({{x}_{1}}=\frac{-b'+\sqrt{\Delta '}}{a};{{x}_{2}}=\frac{-b'-\sqrt{\Delta '}}{a}\)
- Nếu \(\Delta '=0\), phương trình \(a{{x}^{2}}+bx+c=0\) có nghiệm kép
\({{x}_{1}}={{x}_{2}}=\frac{-b'}{a}\)
- Nếu \(\Delta '<0\), phương trình \(a{{x}^{2}}+bx+c=0\) vô nghiệm.
3. Tại sao phải tìm \(\Delta \)?
Ta xét phương trình bậc 2
\(a{{x}^{2}}+bx+c=0(a\ne 0)\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow a\left( {{x^2} + \frac{b}{a}x} \right) + c = 0\\
\Leftrightarrow a\left[ {{x^2} + 2.\frac{b}{{2a}}x + {{\left( {\frac{b}{{2a}}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{b}{{2a}}} \right)}^2}} \right] + c = 0
\end{array}\)
Vế phải chính là \(\Delta \) mà chúng ta vẫn hay tính khi giải phương trình bậc hai. Và do vế trái của đẳng thức luôn lớn hơn hoặc bằng 0, nên chúng ta mới phải biện luận nghiệm của \({{b}^{2}}-4ac\).
+ \({{b}^{2}}-4ac<0\): vế trái lớn hơn bằng 0, vế phải nhỏ hơn 0 nên phương trình vô nghiệm.
+ \({{b}^{2}}-4ac=0\), phương trình trên trở thành
\(4{{a}^{2}}{{\left( x+\frac{b}{2a} \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow x=-\frac{b}{2a}\)
+ \({{b}^{2}}-4ac>0\), phương trình trên trở thành
\(\begin{array}{l}
4{a^2}{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = {b^2} - 4ac\\
\Leftrightarrow {\left[ {2a\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)} \right]^2} = {b^2} - 4ac \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2a\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right) = \sqrt {{b^2} - 4ac} \\
2a\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right) = - \sqrt {{b^2} - 4ac}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x + \frac{b}{{2a}} = \frac{{\sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}\\
x + \frac{b}{{2a}} = - \frac{{\sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{{ - b + \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}\\
x = \frac{{ - b - \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}
\end{array} \right.
\end{array}\)
Trên đây là toàn bộ cách chứng minh công thức nghiệm của phương trình bậc hai. Và \({{b}^{2}}-4ac\) là mấu chốt của việc xét điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai. Nên các nhà toán học đã đặt \(\Delta ={{b}^{2}}-4ac\) nhằm giúp việc xét điều kiện có nghiệm trở nên dễ dàng hơn, đồng thời giảm thiểu việc sai sót khi tính toán nghiệm của phương trình.
4. Một số ví dụ giải phương trình bậc hai
Giải các phương trình sau:
a, \(2{{x}^{2}}-4=0\)
+ Nhận xét: \(a=2,b=0,c=-4\)
+ Ta có: \(\Delta ={{b}^{2}}-4ac=0-4.2.(-4)=32>0\)
+ Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\({{x}_{1}}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\sqrt{2};{{x}_{2}}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\sqrt{2}\)
b, \({{x}^{2}}+4x=0\)
+ Nhận xét: a=1, b=4,c=0
+ Ta có: \(\Delta ={{b}^{2}}-4ac=16-4.1.0=16>0\)
+ Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\({{x}_{1}}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=0;{{x}_{2}}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=-4\)
c, \({{x}^{2}}-5x+4=0\)
+ Nhận xét: \(a=1,b=-5,c=4\)
+ Ta có: \(\Delta ={{b}^{2}}-4ac=25-4.1.4=9>0\)
+ Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\({{x}_{1}}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=4;{{x}_{2}}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=1\)
Trên đây là nội dung tài liệu Cách tính delta và delta phẩy phương trình bậc 2 Toán 9. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.
Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.
Ngoài ra các em có thể tham khảo thêm một số tư liệu cùng chuyên mục tại đây:
Chúc các em học tập tốt !
