Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 2 Toán 9

CÁCH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 2

+ Hệ phương trình đối xứng loại 2 là hệ phương trình khi ta thay đổi vai trò x; y thì phương trình này trở thành phương trình kia và ngược lại.

Hệ phương trình đối xứng loại 2 có dạng \(\left\{ \begin{array}{l}
f\left( {x;y} \right) = 0\left( 1 \right)\\
f\left( {y;x} \right) = 0\left( 2 \right)
\end{array} \right.\) 

+ Lấy (1) – (2) hoặc (2) – (1) ta được \(\left( x-y \right)g\left( x;y \right)=0\) 

+ Trường hợp 1: x – y = 0, kết hợp với phương trình hoặc suy ra được nghiệm

+ Trường hợp 2: g(x; y) = 0 kết hợp với phương trình suy ra nghiệm (trong trường hợp này hệ phương trình mới trở về hệ đối xứng loại 1) và thông thường vô nghiệm

Bài 1: Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^3} = 2x + y\left( 1 \right)\\
{y^3} = 2y + x\left( 2 \right)
\end{array} \right.\) 

Lời giải:

Lấy (1) – (2) ta có:

\(\begin{array}{l}
{x^3} - {y^3} = 2x + y - 2y - x\\
 \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right) = x - y\\
 \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2} - 1} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x - y = 0\\
{x^2} + xy + {y^2} - 1 = 0
\end{array} \right.
\end{array}\) 

Có \({{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}-1=\left( {{x}^{2}}+2.\frac{1}{2}xy+\frac{{{y}^{2}}}{4} \right)+\frac{3{{y}^{2}}}{4}-1\) 

\(={{\left( x+\frac{y}{2} \right)}^{2}}+\frac{3{{y}^{2}}}{4}-1\ne 0\forall x;y\) nên phương trình \({{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}-1=0\) vô nghiệm

Với x – y = 0 hay x = y thay vào phương trình (1) có:

\({x^3} = 2x + x \Leftrightarrow {x^3} = 3x \Leftrightarrow x\left( {{x^2} - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0 \Rightarrow y = 0\\
x = \sqrt 3  \Rightarrow y = \sqrt 3 \\
x =  - \sqrt 3  \Rightarrow y =  - \sqrt 3 
\end{array} \right.\) 

Vậy hệ phương trình có nghiệm: \(\left( x;y \right)=\left( 0;0 \right);\left( x;y \right)=\left( \sqrt{3};\sqrt{3} \right);\left( x;y \right)=\left( -\sqrt{3};-\sqrt{3} \right)\) 

Bài 2: Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - 2{y^2} = 2x + y\left( 1 \right)\\
{y^2} - 2{x^2} = 2y + x\left( 2 \right)
\end{array} \right.\) 

Lời giải:

Lấy (1) – (2) ta có:

\(\begin{array}{l}
{x^2} - 2{y^2} - {y^2} + 2{x^2} = 2x + y - 2y - x\\
 \Leftrightarrow 3{x^2} - 3{y^2} = x - y\\
 \Leftrightarrow 3\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) - \left( {x - y} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {3x + 3y - 1} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = y\\
3x = 1 - 3y
\end{array} \right.
\end{array}\) 

Với x = y thay vào phương trình (1) có:

\(\begin{array}{l}
{x^2} - 2{x^2} = 2x + x\\
 \Leftrightarrow  - {x^2} - x = 0\\
 \Leftrightarrow  - x\left( {x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0 \Rightarrow y = 0\\
x =  - 1 \Rightarrow y =  - 1
\end{array} \right.
\end{array}\) 

Với \(x=\frac{1-3y}{3}\) thay vào phương trình (2) có:

\({{\left( \frac{1-3y}{3} \right)}^{2}}-2{{y}^{2}}=2\left( \frac{1-3y}{3} \right)+y\) 

Biến đổi phương trình suy ra phương trình vô nghiệm

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (0;0) và (x; y) = (-1; - 1)

Bài 1: Giải các hệ phương trình dưới đây:

1, \(\left\{ \begin{array}{l}
{y^2} - xy = 3x\\
{x^2} - xy = 3y
\end{array} \right.\)                                                

2, \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^3} + 1 = 2y\\
{y^3} + 1 = 2x
\end{array} \right.\) 

3, \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - 2{y^2} = 2x + y\\
{y^2} - 2{x^2} = 2y + x
\end{array} \right.\)                                     

4, \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^2}y + 2 = {y^2}\\
x{y^2} + 2 = {x^2}
\end{array} \right.\) 

5, \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^3} = 2x + y\\
{y^3} = 2y + x
\end{array} \right.\)                                                     

6, \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^3} = 3x + 8y\\
{y^3} = 3y + 8x
\end{array} \right.\) 

7, \(\left\{ \begin{array}{l}
3{x^2} = {x^2} + 2{y^2}\\
3{y^2} = {y^2} + 2{x^2}
\end{array} \right.\)                                      

8, \(\left\{ \begin{array}{l}
2x + \frac{1}{y} = \frac{3}{x}\\
2y + \frac{1}{x} = \frac{3}{y}
\end{array} \right.\) 

9, \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} = 3x + 2y\\
{y^2} = 3y + 2x
\end{array} \right.\)                                                 

10, \(\left\{ \begin{array}{l}
2{x^2} = \frac{1}{y} + y\\
2{y^2} = \frac{1}{x} + x
\end{array} \right.\) 

Trên đây là một phần nội dung tài liệu Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 2 Toán 9. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.