Chuyên đề
CÁCH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 1
1. Kiến thức cơ bản cần nhớ về hệ phương trình đối xứng loại 1
1.1. Định nghĩa về hệ phương trình đối xứng loại 1
+ Hệ phương trình đối xứng loại 1 là hệ phương trình mà khi ta thay đổi vai trò x, y cho nhau thì phương trình không thay đổi
1.2. Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 1
+ Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có)
+ Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S và P là \({{S}^{2}}\ge 4P\)
+ Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm S, P rồi tìm x, y
2. Bài tập ví dụ về giải hệ phương trình đối xứng loại 1
Bài 1: Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}
x + y + xy = 11\\
{x^2}y + {y^2}x = 30
\end{array} \right.\)
Lời giải:
Có \(\left\{ \begin{array}{l}
x + y + xy = 11\\
{x^2}y + {y^2}x = 30
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + y + xy = 11\\
xy\left( {x + y} \right) = 30
\end{array} \right.\)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}
S = x + y\\
P = xy
\end{array} \right.\left( {{S^2} \ge 4P} \right)\)
Hệ phương trình trở thành:
\(\left\{ \begin{array}{l}
S + P = 11\\
S.P = 30
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
S = 11 - P\\
\left( {11 - P} \right)P = 30
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
S = 11 - P\\
- {P^2} + 11P - 30 = 0
\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
S = 11 - P\\
\left[ \begin{array}{l}
P = 5\\
P = 6
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
S = 6\\
P = 5
\end{array} \right.\left( {tm} \right)\\
\left\{ \begin{array}{l}
S = 5\\
P = 6
\end{array} \right.\left( {tm} \right)
\end{array} \right.\)
Với \(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
S = 6\\
P = 5
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + y = 6\\
xy = 5
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 6 - y\\
\left( {6 - y} \right)y = 5
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x = 6 - y\\
- {y^2} + 6y - 5 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x = 1\\
y = 5
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x = 5\\
y = 1
\end{array} \right.
\end{array} \right.
\end{array}\)
Với \(\left\{ \begin{array}{l}
S = 5\\
P = 6
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + y = 5\\
xy = 6
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 5 - y\\
\left( {5 - y} \right)y = 6
\end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{l}
x = 5 - y\\
- {y^2} + 5y - 6 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x = 2\\
y = 3
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x = 3\\
y = 2
\end{array} \right.
\end{array} \right.\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( x;y \right)=\left( 1;5 \right);\left( x;y \right)=\left( 5;1 \right);\left( x;y \right)=\left( 2;3 \right)\) và \(\left( x;y \right)=\left( 3;2 \right)\)
Bài 2: Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^3} - {y^3} = 7\\
xy\left( {x - y} \right) = 2
\end{array} \right.\)
Lời giải:
Có
\(\left\{ \begin{array}{l}
{x^3} - {y^3} = 7\\
xy\left( {x - y} \right) = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right) = 7\\
xy\left( {x - y} \right) = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {x - y} \right)\left[ {{{\left( {x - y} \right)}^2} + 3xy} \right] = 7\\
xy\left( {x - y} \right) = 2
\end{array} \right.\)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}
a = x - y\\
b = xy
\end{array} \right.\)
Hệ phương trình trở thành:
\(\left\{ \begin{array}{l}
a\left( {{a^2} + 3b} \right) = 7\\
ab = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^3} + 3ab = 7\\
ab = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^3} + 6 = 7\\
ab = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^3} = 1\\
ab = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 1\\
b = 2
\end{array} \right.\)
Với \(\left\{ \begin{array}{l}
a = 1\\
b = 2
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x - y = 1\\
xy = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 1 + y\\
\left( {1 + y} \right)y = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 1 + y\\
{y^2} + y - 2 = 0
\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 + 1\\
y = 1
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 - 2\\
y = - 2
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x = 2\\
y = 1
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x = - 1\\
y = - 2
\end{array} \right.
\end{array} \right.\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm \[\left( x;y \right)=\left( 2;1 \right);\left( x;y \right)=\left( -1;-2 \right)\]
3. Bài tập tự luyện về phương trình đối xứng loại 1
Bài 1: Giải các hệ phương trình dưới đây:
1, \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^3} + xy + {y^3} = 3\\
2x + xy + 2y = - 3
\end{array} \right.\)
2, \(\left\{ \begin{array}{l}
x + y + 2xy = 2\\
{x^3} + {y^3} = 8
\end{array} \right.\)
3, \(\left\{ \begin{array}{l}
x + y + 2xy = 5\\
{x^2} + {y^2} + xy = 7
\end{array} \right.\)
4, \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + xy + {y^2} = 7\\
{x^4} + {y^4} + {x^2}{y^2} = 21
\end{array} \right.\)
5, \(\left\{ \begin{array}{l}
x + y + 2xy = 2\\
{x^3} + {y^3} = 8
\end{array} \right.\)
6, \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^3} + {y^3} = 19\\
\left( {x + y} \right)\left( {8 + xy} \right) = 2
\end{array} \right.\)
Trên đây là nội dung tài liệu Chuyên đề Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 1 Toán lớp 9. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.
Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.
Ngoài ra các em có thể tham khảo thêm một số tư liệu cùng chuyên mục tại đây:
Chúc các em học tập tốt !
