Bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề Thực hiện tính và rút gọn biểu thức Toán 9

Chuyên đề

THỰC HIỆN TÍNH VÀ RÚT GỌN BIỂU THỨC

- Sử dụng các phép tính, các phép biến đổi trên căn thức để giải.

- Các dạng bài tập:

+ Thực hiện tính với biểu thức số

+ Rút gọn các biểu thức đại số

+ So sánh các biểu thức số.

Câu 1:  Cho biểu thức:                                               

P = \(\sqrt{\,x}\,\,\,-\,\,\sqrt{\,x\,\,-\,\,1}\,\,\,+\,\,\,\frac{1}{\sqrt{\,x\,\,-\,\,1}\,\,\,-\,\,\sqrt{\,x}\,\,}\,\,\,+\,\,\,\frac{\sqrt{\,{{x}^{3}}}\,\,\,-\,\,\,x}{\sqrt{\,x}\,\,\,-\,\,\,1}\)

a. Tìm điều kiện xác định và rút gọn  P.

b. Tìm  giá trị  của  x  khi  P = 1.

Câu 2:  Cho biểu thức: \(A=1-(\frac{2}{1+2\sqrt{x}}-\frac{5\sqrt{x}}{4x-1}-\frac{1}{1-2\sqrt{x}}):\frac{\sqrt{x}-1}{4x+4\sqrt{x}+1}\)

a) Rút gọn A;

b) Tìm giá trị nguyên của x để A đạt giá trị nguyên;

c) Tính giá trị của A với \(x=-7\sqrt[3]{49(5+4\sqrt{2})(3+2\sqrt{1+2\sqrt{2}})(3-2\sqrt{1+2\sqrt{2}})}\).

Bài 3: Cho biểu thức: \(P=\frac{{{x}^{2}}-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{2x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+\frac{2\left( x-1 \right)}{\sqrt{x}-1}.\)

a) Rút gọn P.

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.

c) Xét biểu thức: \(Q=\frac{2\sqrt{x}}{P},\) chứng tỏ 0 < Q < 2.

Bài 4: Cho \(A=\frac{2\sqrt{x}-9}{x-5\sqrt{x}+6}+\frac{2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}+\frac{\sqrt{x}+3}{2-\sqrt{x}}(x\ge 0,x\ne 4,x\ne 9)\)

a)  Rút gọn biểu thức A.

b) Tìm giá trị của x để A = \(-\frac{1}{2}\).

Câu 5:  Cho biểu thức: \(A=1-(\frac{2}{1+2\sqrt{x}}-\frac{5\sqrt{x}}{4x-1}-\frac{1}{1-2\sqrt{x}}):\frac{\sqrt{x}-1}{4x+4\sqrt{x}+1}\)

a) Rút gọn A;

b) Tìm giá trị nguyên của x để A đạt giá trị nguyên;

c) Tính giá trị của A với \(x=-7\sqrt[3]{49(5+4\sqrt{2})(3+2\sqrt{1+2\sqrt{2}})(3-2\sqrt{1+2\sqrt{2}})}\).

Bài 6: Cho biểu thức \(A=1+(\frac{2x+\sqrt{x}-1}{1-x}-\frac{2x\sqrt{x}-\sqrt{x}+x}{1-x\sqrt{x}}).\frac{x-\sqrt{x}}{2\sqrt{x}-1}\).       

a)  Tìm các giá trị của x để \(A=\frac{6-\sqrt{6}}{5}\).

b)  Chứng minh rằng \(A>\frac{2}{3}\) với mọi x thoả mãn \(x\ge 0,\,\,x\ne 1,\,x\ne \frac{1}{4}\).

Bài 1:

a.  Điều kiện để P xác định và rút gọn

\(\left\{ \begin{array}{l}
{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x{\mkern 1mu} {\mkern 1mu}  \ge {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 0\\
{\mkern 1mu} x{\mkern 1mu} {\mkern 1mu}  - {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 1{\mkern 1mu} {\mkern 1mu}  \ge {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 0\\
{\mkern 1mu} \sqrt {{\mkern 1mu} x} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu}  - {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 1{\mkern 1mu} {\mkern 1mu}  \ne {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x{\mkern 1mu} {\mkern 1mu}  \ge {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 0\\
{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x{\mkern 1mu} {\mkern 1mu}  \ge {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 1\\
{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x{\mkern 1mu} {\mkern 1mu}  \ne {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 1
\end{array} \right. \Rightarrow x > 1\)

                                                      

Bài 2

a. ĐK: x\(\ge 0;x\ne \frac{1}{4};x\ne 1\)

A = 1 - \(\left( \frac{2}{2\sqrt{x}+1}-\frac{5\sqrt{x}}{\left( 2\sqrt{x}+1 \right)(2\sqrt{x}-1)}+\frac{1}{2\sqrt{x}-1} \right):\frac{\sqrt{x}-1}{{{\left( 2\sqrt{x}+1 \right)}^{2}}}\)

A = 1 - \(\frac{4\sqrt{x}-2-5\sqrt{x}+2\sqrt{x}+1}{(2\sqrt{x}+1)(2\sqrt{x}-1)}.\frac{{{(2\sqrt{x}+1)}^{2}}}{\sqrt{x}-1}\)

A = 1 - \(\frac{\sqrt{x}-1}{2\sqrt{x}-1}.\frac{2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=1-\frac{2\sqrt{x}+1}{2\sqrt{x}-1}=\frac{2}{1-2\sqrt{x}}\)

b. \(A\in Z\Leftrightarrow \frac{2}{1-2\sqrt{x}}\in Z\)

Do \(\frac{2}{1-2\sqrt{x}}\in Z\) nên \(1-2\sqrt{x}\) là số hữu tỉ.

Suy ra x là số chính phương, do đó \(1-2\sqrt{x}\in \)Z =>\(1-2\sqrt{x}\in \)Ư(2)

Do \(x\ge 0;x\ne 1;x\in Z\) và \(1-2\sqrt{x}\in \)Ư(2) => x = 0

Vậy x = 0 thì A có giá trị nguyên.

c.

Với x = \(-7\sqrt[3]{49(5+4\sqrt{2})(3+2\sqrt{1+2\sqrt{2}})(3-2\sqrt{1+2\sqrt{2}})}\)

x = - 7\(\sqrt[3]{49(5+4\sqrt{2})(5-8\sqrt{2})}=\sqrt[3]{{{7}^{5}}(39+20\sqrt{2})}\)

\(\Rightarrow \sqrt{x}=\sqrt[6]{{{7}^{5}}.(39+20\sqrt{5)}}\). Vậy A\(=\frac{2}{1-2\sqrt[6]{{{7}^{5}}.(39+20\sqrt{5)}}}\)

Bài 3:

a.   Đk : \(x>0;x\ne 1.\)

\(\begin{array}{l}
P = \frac{{\sqrt x \left( {x\sqrt x  - 1} \right)}}{{x + \sqrt x  + 1}} - \frac{{\sqrt x \left( {2\sqrt x  + 1} \right)}}{{\sqrt x }} + \frac{{2\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\sqrt x  - 1}}\\
 = \sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right) - \left( {2\sqrt x  + 1} \right) + 2\left( {\sqrt x  + 1} \right)\\
 = x - \sqrt x  + 1
\end{array}\)

Vậy  \(P=x-\sqrt{x}+1\), với \(x>0;x\ne 1.\)

..........

---(Để xem tiếp nội dung của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--- 

Bài 7: .Cho biểu thức :

\(P=\left( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}+\frac{8\sqrt{x}+8}{x+2\sqrt{x}}-\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}} \right):\left( \frac{x+\sqrt{x}+3}{x+2\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}} \right)\) 

a) Tìm x để P có nghĩa và chứng minh rằng P  .

b) Tìm x thoả mãn : \(\left( \sqrt{x}+1 \right).P=1\) 

Bài 8: .Cho biểu thức:

\(P=\left( \frac{\sqrt{x}-3}{2-\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}+2}{3+\sqrt{x}}-\frac{9-x}{x+\sqrt{x}-6} \right):\left( 1-\frac{3\sqrt{x}-9}{x-9} \right)\)

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tìm các giá trị nguyên của x để P nguyên.

Bài 9: Cho biểu thức: \(A=\left( \frac{6x+4}{3\sqrt{3{{x}^{3}}}-8}-\frac{\sqrt{3x}}{3x+2\sqrt{3x}+4} \right)\left( \frac{1+3\sqrt{3{{x}^{3}}}}{1+\sqrt{3x}}-\sqrt{3x} \right)\)

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên.

Bài 10: Cho biểu thức: A = \(\left( 1-\frac{2\sqrt{a}}{a+1} \right):\left( \frac{1}{1+\sqrt{a}}-\frac{2\sqrt{a}}{a\sqrt{a}+\sqrt{a}+a+1} \right)\) 

a. Rút gọn biểu thức A.

b. Tính giá trị biểu thức A khi \(a=2011-2\sqrt{2010}\).

..........

---(Để xem tiếp nội dung của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--- 

Trên đây là một phần nội dung tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề Thực hiện tính và rút gọn biểu thức Toán 9​. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.