Chuyên đề Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa căn Toán 9

Chuyên đề

TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC CHỨA CĂN

+ Cách 1: Biến đổi biểu thức về dạng tổng hoặc hiệu của một số không âm à hằng số

- Khi biến đổi biểu thức thành tổng của một số không âm và hằng số, ta sẽ tìm được giá trị nhỏ nhất của biểu thức ấy

- Khi biến đổi biểu thức thành hiệu của một số và một số không âm, ta sẽ tìm được giá trị lớn nhất của biểu thức ấy

+ Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy (Cô-si)

- Theo bất đẳng thức Cauchy với hai số a, b không âm ta có: \(a+b\ge 2\sqrt{ab}\)

+ Cách 3: Áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:

- \(\left| a \right|+\left| b \right|\ge \left| a+b \right|\). Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(a.b\ge 0\)

- \(\left| a-b \right|\le \left| a \right|+\left| b \right|\). Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(a.b\le 0\)

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(A=\frac{1}{x-\sqrt{x}+1}\)

Lời giải:

Điều kiện xác định \(x\ge 0\)

Để A đạt giá trị lớn nhất thì \(x-\sqrt{x}+1\) đạt giá trị nhỏ nhất

Có \(x-\sqrt{x}+1=x-2.\frac{1}{2}.\sqrt{x}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+1={{\left( \sqrt{x}-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{4}\)

Lại có \({{\left( \sqrt{x}-\frac{1}{2} \right)}^{2}}\ge 0\forall x\ge 0\Rightarrow {{\left( \sqrt{x}-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{4}\ge \frac{3}{4}\forall x\ge 0\)

Dấu “=” xảy ra \(\Leftrightarrow \sqrt{x}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}\)

Min\(x-\sqrt{x}+1=\frac{3}{4}\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}\)

Vậy Max\(A=\frac{4}{3}\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}\)

Bài 2: Cho biểu thức \(A=\left( \frac{1}{x-\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}-1} \right):\frac{\sqrt{x}+1}{{{\left( \sqrt{x}-1 \right)}^{2}}}\)

a, Rút gọn A

b, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=A-9\sqrt{x}\)

Lời giải:

a, \(A=\left( \frac{1}{x-\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}-1} \right):\frac{\sqrt{x}+1}{{{\left( \sqrt{x}-1 \right)}^{2}}}\) với \(x>0,x\ne 1\)

\(=\left( \frac{1}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}-1 \right)}+\frac{1}{\sqrt{x}-1} \right):\frac{\sqrt{x}+1}{{{\left( \sqrt{x}-1 \right)}^{2}}}\)

\(=\frac{1+\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}-1 \right)}.\frac{{{\left( \sqrt{x}-1 \right)}^{2}}}{\sqrt{x}+1}=\frac{{{\left( \sqrt{x}-1 \right)}^{2}}}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}-1 \right)}=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}\) 

b, \(P=A-9\sqrt{x}=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}-9\sqrt{x}=1-\left( \frac{1}{\sqrt{x}}+9\sqrt{x} \right)\) với \(x>0,x\ne 1\) 

Với \(x>0,x\ne 1\), áp dụng bất đẳng thức Cauchy có: \(\frac{1}{\sqrt{x}}+9\sqrt{x}\ge 2.\sqrt{\frac{1}{\sqrt{x}}.9\sqrt{x}}=6\)

\(\Rightarrow -\left( \frac{1}{\sqrt{x}}+9\sqrt{x} \right)\le -6\Rightarrow 1-\left( \frac{1}{\sqrt{x}}+9\sqrt{x} \right)\le 1-6=-5\Leftrightarrow P\le -5\) 

Dấu “=” xảy ra \(\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{x}}=9\sqrt{x}\Leftrightarrow x=\frac{1}{9}\) (thỏa mãn)

Vậy max\(P=-5\Leftrightarrow x=\frac{1}{9}\) 

Bài 3: Cho biểu thức \(A=\left( \frac{\sqrt{x}}{2-\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{2+\sqrt{x}} \right)-\frac{6+\sqrt{x}}{4-x}\) với \(x\ge 0;x\ne 4\)

a, Rút gọn A

b, Tìm giá trị nhỏ nhất của A

Lời giải:

a, \(A=\left( \frac{\sqrt{x}}{2-\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{2+\sqrt{x}} \right)-\frac{6+\sqrt{x}}{4-x}\) với \(x\ge 0;x\ne 4\)

\(=\frac{\sqrt{x}\left( 2+\sqrt{x} \right)+\sqrt{x}\left( 2-\sqrt{x} \right)}{\left( 2+\sqrt{x} \right)\left( 2-\sqrt{x} \right)}-\frac{6+\sqrt{x}}{\left( 2+\sqrt{x} \right)\left( 2-\sqrt{x} \right)}\)

\(=\frac{2\sqrt{x}+x+2\sqrt{x}-x}{\left( 2+\sqrt{x} \right)\left( 2-\sqrt{x} \right)}-\frac{6+\sqrt{x}}{\left( 2+\sqrt{x} \right)\left( 2-\sqrt{x} \right)}\) 

\(=\frac{4\sqrt{x}-6-\sqrt{x}}{\left( 2+\sqrt{x} \right)\left( 2-\sqrt{x} \right)}=\frac{3\sqrt{x}-6}{\left( 2+\sqrt{x} \right)\left( 2-\sqrt{x} \right)}\)

\(=\frac{3.\left( \sqrt{x}-2 \right)}{\left( 2+\sqrt{x} \right)\left( 2-\sqrt{x} \right)}=\frac{-3}{2+\sqrt{x}}\) 

b, Có \(x\ge 0\Rightarrow \sqrt{x}\ge 0\Rightarrow \sqrt{x}+2\ge 2\Rightarrow \frac{3}{\sqrt{x}+2}\le \frac{3}{2}\Rightarrow \frac{-3}{\sqrt{x}+2}\ge \frac{-3}{2}\)

Dấu “=” xảy ra \(\Leftrightarrow x=0\)

Vậy min\(A=\frac{-3}{2}\Leftrightarrow x=0\) 

Bài 1: Với x > 0, hãy tìm giá trị lớn nhất của mỗi biểu thức sau:

a, \(A=\frac{1}{\sqrt{x}+1}\) 

b, \(B=\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+2}\) 

c, \(C=\frac{2\sqrt{x}}{x+1}\) 

d, \(D=\frac{\sqrt{x}}{x+4}\) 

e, \(E=\frac{2\sqrt{x}}{{{\left( \sqrt{x}+1 \right)}^{2}}}\) 

Bài 2: Cho biểu thức \(A=\left( \frac{1}{\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}}{x-1} \right):\frac{2\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}-2}\) 

a, Rút gọn biểu thức A

b, Tìm giá trị lớn nhất của A

Bài 3: Cho biểu thức \(A=\left( \frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1} \right):\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}\)

a, Tìm điều kiện xác định và rút gọn A

b, Tìm giá trị nhỏ nhất của A

Bài 4: Cho biểu thức \(M=\frac{{{a}^{2}}+\sqrt{a}}{a-\sqrt{a}+1}-\frac{2a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}}+1\) 

a, Tìm điều kiện xác định và rút gọn M

b, Tìm giá trị nhỏ nhất của M

Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của mỗi biểu thức sau:

a, \(A=\frac{-3}{\sqrt{x}+2}\) với \(x\ge 0\) 

b, \(B=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\) với \(x\ge 0\) 

c, \(C=\frac{x+4}{\sqrt{x}}\) với x > 0

d, \(D=\frac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\)  với x > 0

................

Trên đây là một phần nội dung tài liệu Chuyên đề Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa căn Toán 9. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.