Chuyên đề
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
1.Tóm tắt lý thuyết
1.1. Cách giải phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 ( a\(\ne \) 0) \(\Delta \)= b2 - 4ac
* Nếu > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = \(\frac{-\operatorname{b}+\sqrt{\Delta }}{2\operatorname{a}}\); x2 =\(\frac{-\operatorname{b}-\sqrt{\Delta }}{2\operatorname{a}}\)
* Nếu = 0 phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = \(\frac{-b}{2a}\)
* Nếu < 0 thì phương trình vô nghiệm
1.2. Chú ý : Trong trường hợp hệ số b là số chẵn thì giải phương trình trên bằng công thức nghiêm thu gọn.
\(\Delta \) = b'2 - ac
* Nếu ' > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = \(\frac{-\operatorname{b}'+\sqrt{\Delta '}}{\operatorname{a}}\); x2 = \(\frac{-\operatorname{b}'-\sqrt{\Delta }}{\operatorname{a}}\)
* Nếu ' = 0 phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = \(\frac{-b'}{a}\)
* Nếu ' < 0 thì phương trình vô nghiệm.
1.3. Hệ thức Vi - Et và ứng dụng:
1. Nếu x1; x2 là hai nghiệm của phương trình thì :
2. Muốn tìm hai số u và v, biết u + v = S, uv = P, ta giải phương trình : \({{\operatorname{X}}^{2}}-X.S+P=0\)
(Điều kiện để có u và v là \({{\operatorname{S}}^{2}}\ge 4P\))
3. Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm : \({{\operatorname{x}}_{1}}=1;{{x}_{2}}=\frac{c}{a}\)
Nếu a - b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm : \({{\operatorname{x}}_{1}}=-1;{{x}_{2}}=\frac{-c}{a}\)
1.4. Các bộ điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn đặc điểm cho trước:
Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax2+bx+c = 0 (a \(\ne \) 0) có:
1. Có nghiệm (có hai nghiệm)
2. Vô nghiệm
3. Nghiệm duy nhất (nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau)
4. Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau)
5. Hai nghiệm cùng dấu
6. Hai nghiệm trái dấu
7. Hai nghiệm dương(lớn hơn 0)
8. Hai nghiệm âm(nhỏ hơn 0)
9. Hai nghiệm đối nhau
10.Hai nghiệm nghịch đảo nhau
11. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn \(\Leftrightarrow \) a.c < 0 và S < 0
12. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn \(\Leftrightarrow \) a.c < 0 và S > 0
4. Tính giá trị các biểu thức nghiệm
Đối các bài toán dạng này điều quan trọng nhất là phải biết biến đổi biểu thức nghiệm đã cho về biểu thức có chứa tổng nghiệm S và tích nghiệm P để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị của biểu thức
2. Bài tập vận dụng
Bài tập 1 : Định giá trị của tham số m để phương trình \({{x}^{2}}+m(m+1)x+5m+20=0\) Có một nghiệm x = - 5 . Tìm nghiệm kia.
Bài tập 2 : Cho phương trình \({{x}^{2}}+mx+3=0\) (1)
a) Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có một nghiệm bằng 1? Tìm nghiệm kia.
Bài tập 3 : Cho phương trình \({{x}^{2}}-8x+m+5=0\) (1)
a) Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có một nghiệm gấp 3 lần nghiệm kia? Tìm các nghiệm của phương trình trong trường hợp này.
Bài tập 4 : Cho phương trình \((m-4){{x}^{2}}-2mx+m-2=0\) (1)
a) m = ? thì (1) có nghiệm là x = \(\sqrt{2}\).
b) m = ? thì (1) có nghiệm kép.
Bài tập 5 : Cho phương trình \({{x}^{2}}-2(m+1)x+m-4=0\) (1)
a) Chứng minh (1) có hai nghiệm với mọi m.
b) m =? thì (1) có hai nghiệm trái dấu .
c) Giả sử \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\) là nghiệm của phương trình (1) CMR : M =\(\left( 1-{{x}_{2}} \right){{x}_{1}}+\left( 1-{{x}_{1}} \right){{x}_{2}}\) không phụ thuộc m.
Bài tập 6 : Cho phương trình \({{x}^{2}}-2(m-1)x+m-3=0\) (1)
a) Chứng minh (1) có nghiệm với mọi m.
b) Đặt M = \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\) (\({{x}_{1}},{{x}_{2}}\) là nghiệm của phương trình (1)). Tìm min M.
Bài tập 7: Cho 3 phương trình
\(\begin{array}{l}
{x^2} + ax + b - 1 = 0(1);\\
{x^2} + bx + c - 1 = 0(2);\\
{x^2} + cx + a - 1 = 0(3).
\end{array}\)
Chứng minh rằng trong 3 phương trình ít nhất một phương trình có nghiệm.
Bài tập 8: Cho phương trình
\({{x}^{2}}-(a-1)x-{{a}^{2}}+a-2=0\) (1)
a) Chứng minh (1) có hai nghiệm trái dấuvới mọi a.
b) \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\) là nghiệm của phương trình (1) . Tìm min B = \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\).
Bài tập 9: Cho phương trình \({{x}^{2}}-2(a-1)x+2a-5=0\) (1)
a) Chứng minh (1) có hai nghiệm với mọi a.
b) a = ? thì (1) có hai nghiệm \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\) thoả mãn \({{x}_{1}}<1<{{x}_{2}}\).
c) a = ? thì (1) có hai nghiệm \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\) thoả mãn \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\) = 6.
Bài tập 10: Cho phương trình
\(2{{x}^{2}}+(2m-1)x+m-1=0\) (1)
a) m = ? thì (1) có hai nghiệm \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\) thoả mãn \(3{{x}_{1}}-4{{x}_{2}}=11\).
b) Chứng minh (1) không có hai nghiệm dương.
c) Tìm hệ thức liên hệ giữa \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\) không phụ thuộc m.
Gợi ý: Giả sử (1) có hai nghiệm dương -> vô lý
..........
---(Để xem tiếp nội dung của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---
Trên đây là một phần nội dung tài liệu Chuyên đề Phương trình bậc hai hệ thức Vi-ét và ứng dụng Toán 9. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.
Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.
Ngoài ra các em có thể tham khảo thêm một số tư liệu cùng chuyên mục tại đây:
- Bộ 4 đề thi thử vào lớp 10 môn Toán năm 2021 có đáp án Trường THCS Tân An Hội
- Bộ 4 đề thi thử vào lớp 10 môn Toán năm 2021 có đáp án Trường THCS Phú Hưng
Chúc các em học tập tốt !
