Đề thi HSG môn Toán 9 năm 2018 - 2019 Phòng GD&ĐT Cẩm Thủy có đáp án

Câu I. (4,0 điểm):       

1. Hãy tính giá trị của biểu thức Q = (3x³ – x² - 1)²⁰²⁰, biết:

\(x = \frac{{\sqrt[3]{{26 + 15\sqrt 3 }}.\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}}{{\sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }} + \sqrt[3]{{9 - \sqrt {80} }}}}\)

     2. Tính tổng:

         \(S = \sqrt {1 + \frac{{{{8.1}^2} - 1}}{{{1^2}{{.3}^2}}}}  + \sqrt {1 + \frac{{{{8.2}^2} - 1}}{{{3^2}{{.5}^2}}}}  + \sqrt {1 + \frac{{{{8.3}^2} - 1}}{{{5^2}{{.7}^2}}}}  + ... + \sqrt {1 + \frac{{{{8.1009}^2} - 1}}{{{{2017}^2}{{.2019}^2}}}} \)

Câu II. (4,0 điểm):

1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các  điểm M(1; \(\frac{3}{2}\)); N(3;0); K(4; \(\frac{5}{2}\)) ). Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC sao cho M, N, K lần lượt là trung điểm của AC, CB, BA.
2. Giải phương trình: \(13\sqrt {{x^2} - {x^4}}  + 9\sqrt {{x^2} + {x^4}}  = 16\)

Câu III. (4,0 điểm):

1. Tìm các số nguyên dương  x, y, z thỏa mãn: \(3{x^2} - 18{y^2} + 2{z^2} + 3{y^2}{z^2} - 18x = 27\).
2. Cho x, y là các số nguyên, x ≠ -1; y ≠ -1 sao cho:\(\frac{{{x^4} - 1}}{{y + 1}} + \frac{{{y^4} - 1}}{{x + 1}}\) là số nguyên. Chứng minh rằng: (x⁴y⁴⁴ – 1) chia hết cho (y + 1).

Câu IV. (6,0 điểm): Cho đường tròn (O; R) và dây cung AH < R. Qua H vẽ đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (O; R). Vẽ đường tròn (A; R) cắt đường thẳng d tại B và C sao cho H nằm giữa B và C. Vẽ HM vuông góc với OB (M OB), vẽ HN vuông góc với OC (N OC).

1. Chứng minh: OM.OB = ON.OC và MN luôn đi qua một điểm cố định.
2. Chứng minh: OB.OC = 2R².
3. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác OMN khi H thay đổi.

Câu V. (2,0 điểm): Cho các số thực dương  thỏa mãn điều kiện  a + b + c = 3

Chứng minh rằng:  \(\frac{1}{{2 + {a^2}b}} + \frac{1}{{2 + {b^2}c}} + \frac{1}{{2 + {c^2}a}} \ge 1.\)

{-- xem đầy đủ nội dung ở phần xem online hoặc tải về --}

Trên đây là trích một phần nội dung Đề thi HSG môn Toán 9 năm 2018 - 2019 Phòng GD&ĐT Cẩm Thủy có đáp án. Để xem toàn bộ nội dung các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng đề thi này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong kì thi sắp tới.