Đề thi HSG cấp tỉnh môn Toán 9 năm 2017 Sở GD&ĐT Thanh Hóa

Câu I (4,0 điểm).

1. Cho biểu thức \(P = \frac{{x - 2\sqrt x }}{{x\sqrt x  - 1}} + \frac{{\sqrt x  + 1}}{{x\sqrt x  + x + \sqrt x }} + \frac{{1 + 2x - 2\sqrt x }}{{{x^2} - \sqrt x }}\) , với \(x > 0,x \ne 1.\)  Rút gọn P và tìm tất cả các giá trị của x sao cho giá trị của P là một số nguyên.

2. Tính giá trị của biểu thức \(P = \frac{{4(x + 1){x^{2018}} - 2{x^{2017}} + 2x + 1}}{{2{x^2} + 3x}}\) tại \(x = \sqrt {\frac{1}{{2\sqrt 3  - 2}} - \frac{3}{{2\sqrt 3  + 2}}} .\)

Câu II (4,0 điểm).

1. Biết phương trình \((m - 2){x^2} - 2(m - 1)x + m = 0\) có hai nghiệm tương ứng là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông. Tìm  để độ dài đường cao ứng với cạnh huyền của tam giác vuông đó bằng \(\frac{2}{{\sqrt 5 }}.\)

2. Giải hệ phương trình  \(\left\{ \begin{array}{l}
{(x + y)^2}(8{x^2} + 8{y^2} + 4xy - 13) + 5 = 0\\
2x + \frac{1}{{x + y}} = 1
\end{array} \right.\)

Câu III (4,0 điểm).

1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình \({y^2} - 5y + 62 = (y - 2){x^2} + ({y^2} - 6y + 8)x.\)  

2. Cho a, b là các số nguyên dương thỏa mãn \(p = {a^2} + {b^2}\) là số nguyên tố và p - 5 chia hết cho 8. Giả sử x, y là các số nguyên thỏa mãn \(a{x^2} - b{y^2}\) chia hết cho p. Chứng minh rằng cả hai số x, y chia hết cho p.

Câu IV (6,0 điểm)._a

Cho tam giác ABC có (O), (I), (I_a) theo thứ tự là các đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp và đường tròn bàng tiếp đối diện đỉnh A của tam giác với các tâm tương ứng là O, I, I_a. Gọi  là tiếp điểm của  với ,  là điểm chính giữa cung BAC của (O), PI_a cắt (O)  tại điểm K . Gọi M là giao điểm của PO và BC, N là điểm đối xứng với P qua O

1. Chứng minh \(IB{I_a}C\) là tứ giác nội tiếp.

2. Chứng minh NI_a là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác \({I_a}MP.\)

3. Chứng minh \(\widehat {DAI} = \widehat {KA{I_a}}\)

Câu V (2,0 điểm).

Cho x, y, z  là các số thực dương thỏa mãn \(x \ge z.\). Chứng minh rằng \[(frac{{xz}}{{{y^2} + yz}} + \frac{{{y^2}}}{{xz + yz}} + \frac{{x + 2z}}{{x + z}} \ge \frac{5}{2}.\)

{-- xem đầy đủ nội dung ở phần xem online hoặc tải về --}

Trên đây là trích một phần nội dung Đề thi HSG cấp tỉnh môn Toán 9 năm 2017 Sở GD&ĐT Thanh Hóa. Để xem toàn bộ nội dung các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng đề thi này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong kì thi sắp tới.