Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
1. Dạng bài xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai
1.1. Định lý Vi-ét
Nếu phương trình \(a{{x}^{2}}+bx+c=0\left( a\ne 0 \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({{x}_{1}};{{x}_{2}}\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}
S = {x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a}\\
P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a}
\end{array} \right.\)
* Lưu ý: Trước khi áp dụng định lý Vi ét, ta cần tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt
1.2. Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai
+ Để phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu \(\Leftrightarrow P<0\)
+ Để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta > 0\\
P > 0
\end{array} \right.\)
+ Để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu dương \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta > 0\\
P > 0\\
S > 0
\end{array} \right.\)
+ Để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu âm \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta > 0\\
P > 0\\
S < 0
\end{array} \right.\)
2. Bài tập ví dụ về bài toán xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai
Bài 1: Tìm m để phương trình \({{x}^{2}}-\left( {{m}^{2}}+1 \right)x+{{m}^{2}}-7m+12=0\) có 2 nghiệm trái dấu
Hướng dẫn:
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu \(\Leftrightarrow P<0\).
Lời giải:
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu \(\Leftrightarrow P<0\) \(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {m^2} - 7m + 12 < 0\\
\Leftrightarrow \left( {m - 3} \right)\left( {m - 4} \right) < 0
\end{array}\)
Xảy ra hai trường hợp:
Trường hợp 1: \(\left\{ \begin{array}{l}
m - 3 > 0\\
m - 4 < 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m > 3\\
m < 4
\end{array} \right. \Leftrightarrow 3 < m < 4\)
Trường hợp 2: \(\left\{ \begin{array}{l}
m - 3 < 0\\
m - 4 > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m < 3\\
m > 4
\end{array} \right.\) (vô lý)
Vậy với 3 < m < 4 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu
Bài 2: Tìm m để phương trình \(3{{x}^{2}}-4mx+{{m}^{2}}-2m-3=0\) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu
Hướng dẫn:
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta ' > 0\\
P > 0
\end{array} \right.\)
Lời giải:
\(3{{x}^{2}}-4mx+{{m}^{2}}-2m-3=0\)
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow \Delta '>0\)
Có \(\Delta '=4{{m}^{2}}-3\left( {{m}^{2}}-2m-3 \right)\)
\(\begin{array}{l}
= 4{m^2} - 3{m^2} + 6m + 9\\
= {m^2} + 6m + 9\\
= {\left( {m - 3} \right)^2} > 0\forall m \ne 3
\end{array}\)
Với mọi m ≠ 3, phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn hệ thức Vi-ét:
\(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = \frac{{4m}}{3}\\
{x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{{m^2} - 2m - 3}}{3}
\end{array} \right.\)
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu khi và chỉ khi: \(P>0\Leftrightarrow 3\left( {{m}^{2}}-2m-3 \right)>0\)
\(\Leftrightarrow \left( m+1 \right)\left( m-3 \right)>0\)
Xảy ra hai trường hợp:
Trường hợp 1: \(\left\{ \begin{array}{l}
m + 1 > 0\\
m - 3 > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m > - 1\\
m > 3
\end{array} \right. \Rightarrow m > 3\)
Trường hợp 2: \(\left\{ \begin{array}{l}
m + 1 < 0\\
m - 3 < 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m < - 1\\
m < 3
\end{array} \right. \Rightarrow m < - 1\)
Vậy với m < -1 hoặc m < 3 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu
Bài 3: Tìm m để phương trình \({{x}^{2}}-\left( 2m+3 \right)x+m=0\) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu âm.
Hướng dẫn:
Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu ấm \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta > 0\\
P > 0\\
S < 0
\end{array} \right.\)
Lời giải:
Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu ấm \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta > 0\\
P > 0\\
S < 0
\end{array} \right.\)
Với \(\Delta >0\Leftrightarrow {{\left( 2m+3 \right)}^{2}}-4m>0\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 4{m^2} + 12m + 9 - 4m > 0\\
\Leftrightarrow 4{m^2} + 8m + 9 > 0\\
\Leftrightarrow 4\left( {{m^2} + 2m + 1} \right) + 5 > 0\\
\Leftrightarrow 4{\left( {m + 1} \right)^2} + 5 > 0\forall m
\end{array}\)
Với \(P>0\Leftrightarrow m>0\)
Với \(S<0\Leftrightarrow 2m+3<0\Leftrightarrow m<\frac{-3}{2}\) kết hợp với m > 0
Vậy không tồn tại m để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu âm
Bài 4: Tìm m để phương trình \({{x}^{2}}-2mx+2m-4=0\) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu dương
Hướng dẫn:
Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu dương \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta ' > 0\\
P > 0\\
S > 0
\end{array} \right.\)
Lời giải:
Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu dương \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta ' > 0\\
P > 0\\
S > 0
\end{array} \right.\)
Với \(\Delta '>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-\left( 2m-4 \right)>0\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {m^2} - 2m + 4 > 0\\
\Leftrightarrow \left( {{m^2} - 2m + 1} \right) + 3 > 0\\
\Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} + 3 > 0\forall m
\end{array}\)
Với \(P>0\Leftrightarrow 2m-4>0\Leftrightarrow m>2\)
Với \(S>0\Leftrightarrow 2>0\) (luôn đúng)
Vậy với m > 2 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu dương
3. Bài tập tự luyện
Bài 1: Tìm m để phương trình \({{x}^{2}}-2\left( m+1 \right)x+m+4=0\) có hai nghiệm phân biệt:
a) Trái dấu.
b) Cùng dấu.
c) Cùng dấu âm.
d) Cùng dấu dương.
Bài 2: Tìm m để phương trình \({{x}^{2}}-2mx-6m-9=0\) có hai nghiệm phân biệt trái dấu thỏa mãn \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=13\)
Bài 3: Tìm m để phương trình \({{x}^{2}}-\left( 2m+3 \right)x+m=0\) có hai nghiệm phân biệt:
a) Trái dấu.
b) Cùng dấu.
c) Cùng dấu âm.
d) Cùng dấu dương.
Bài 4: Tìm m để phương trình \({{x}^{2}}-8x+m+5=0\) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu
Bài 5: Tìm m để phương trình \({{x}^{2}}-2mx+5m-4=0\) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu
Bài 6: Tìm m để phương trình \(2{{x}^{2}}+\left( 2m-1 \right)x+m-1=0\) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu âm
Bài 7: Tìm m để phương trình \({{x}^{2}}-2mx+2m-4=0\) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu âm
Bài 8: Tìm m để phương trình \({{x}^{2}}-\left( m+1 \right)x+m=0\) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu dương
Bài 9: Tìm m để phương trình \({{x}^{2}}-2\left( m+1 \right)x+m+4=0\) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu dương
Bài 10: Cho phương trình \({{x}^{2}}+\left( m+2 \right)x+m=0\). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu. Khi đó hai nghiệm mang dấu gì?
Trên đây là nội dung tài liệu Chuyên đề Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu Toán 9. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.
Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.
Ngoài ra các em có thể tham khảo thêm một số tư liệu cùng chuyên mục tại đây:
Chúc các em học tập tốt !
