Chuyên đề Cách giải hệ phương trình đẳng cấp Toán 9

Chuyên đề

CÁCH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP

+ Hệ phương trình đẳng cấp là hệ gồm 2 phương trình 2 ẩn mà ở mỗi phương trình bậc của mỗi ẩn bằng nhau

+ \(\left\{ \begin{array}{l}
f\left( {x;y} \right) = {a_1}\\
g\left( {x;y} \right) = {a_2}
\end{array} \right.\) với f, g là các hàm số với hai biến x, y có bậc bằng nhau

Để giải hệ phương trình đẳng cấp này, ta thực hiện các bước sau:

Phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}
f\left( {x;y} \right) = {a_1}\left( 1 \right)\\
g\left( {x;y} \right) = {a_2}\left( 2 \right)
\end{array} \right.\)

+ Bước 1: Nhân phương trình (1) với \({{a}_{2}}\) và phương trình (2) với \({{a}_{1}}\) rồi trừ hai phương trình để làm mất hệ số tự do

+ Bước 2: Phương trình có hai ẩn x và y. Xét hai trường hợp:

- Trường hợp 1: x = 0 hoặc y = 0 thay vào phương trình để tìm ra y hoặc x. Thử lại kết quả vừa tìm được bằng cách thay vào hệ phương trình

- Trường hợp 2: x khác 0 hoặc y khác 0, chia cả hai vế của phương trình cho bậc cao nhất của ẩn x hoặc y

+ Bước 3: Giải phương trình với ẩn \(\frac{x}{y}\) hoặc \(\frac{y}{x}\) rồi sau đó tìm được nghiệm của hệ phương trình

Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^3} + {y^3} = 1\\
{x^2}y + 2x{y^2} + {y^3} = 2
\end{array} \right.\) 

Lời giải:

Có \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^3} + {y^3} = 1\\
{x^2}y + 2x{y^2} + {y^3} = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2\left( {{x^3} + {y^3}} \right) = 2\left( 1 \right)\\
{x^2}y + 2x{y^2} + {y^3} = 2\left( 2 \right)
\end{array} \right.\) 

Lấy (1) – (2) ta có:

\(\begin{array}{l}
2{x^3} + 2{y^3} - {x^2}y - 2x{y^2} - {y^3} = 0\\
 \Leftrightarrow 2{x^3} - {x^2}y - 2x{y^2} + {y^3} = 0\left( 3 \right)
\end{array}\) 

Trường hợp 1: với y = 0, thay vào phương trình (3) có x = 0. Với x = 0, y = 0 thay vào phương trình (1) có 0 = 2 (vô lý)

Trường hợp 2: với y khác 0, chia cả hai vế của phương trình (3) cho \({{y}^{3}}\) ta được:

\(2{{\left( \frac{x}{y} \right)}^{3}}-{{\left( \frac{x}{y} \right)}^{2}}-2\left( \frac{x}{y} \right)+1=0\)

Đặt \(t=\frac{x}{y}\)

Phương trình trở thành: \(2{t^3} - {t^2} - 2t + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 1\\
t =  - 1\\
t = \frac{1}{2}
\end{array} \right.\) 

Với \(t=1\Rightarrow \frac{x}{y}=1\Leftrightarrow x=y\), thay vào phương trình (1) có:

\({{x}^{3}}+{{x}^{3}}=1\Leftrightarrow 2{{x}^{3}}=1\Leftrightarrow x=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\Rightarrow y=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\)

Với \(t=-1\Rightarrow \frac{x}{y}=-1\Leftrightarrow x=-y\), thay vào phương trình (2) có:

\({{x}^{3}}-{{x}^{3}}=1\Leftrightarrow 0{{x}^{3}}=1\) (vô lý)

Với \(t=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \frac{x}{y}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow y=2x\), thay vào phương trình (2) có:

\({{x}^{3}}+8{{x}^{3}}=1\Leftrightarrow 9{{x}^{3}}=1\Leftrightarrow {{x}^{3}}=\frac{1}{9}\Leftrightarrow x=\frac{1}{\sqrt[3]{9}}\Rightarrow y=\frac{2}{\sqrt[3]{9}}\)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: \(\left( x;y \right)=\left( \frac{1}{\sqrt[3]{2}};\frac{1}{\sqrt[3]{2}} \right);\left( x;y \right)=\left( \frac{1}{\sqrt[3]{9}};\frac{2}{\sqrt[3]{9}} \right)\) 

Bài 1: Giải các hệ phương trình dưới đây:

1, \(\left\{ \begin{array}{l}
3{x^2} + 2xy + {y^2} = 11\\
{x^2} + 2xy + 3{y^2} = 17
\end{array} \right.\)                                         

2, \(\left\{ \begin{array}{l}
{y^2} - 3xy = 4\\
{x^2} - 4xy + {y^2} = 1
\end{array} \right.\) 

3, \(\left\{ \begin{array}{l}
2{x^2} + 3xy + {y^2} = 15\\
{x^2} + xy + 2{y^2} = 8
\end{array} \right.\)                                      

4, \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - xy + 3{y^2} = 9\\
2{x^2} + xy + 4{y^2} = 10
\end{array} \right.\) 

5, \(\left\{ \begin{array}{l}
3{x^2} + 5xy - 4{y^2} = 38\\
5{x^2} - 9xy - 3{y^2} = 15
\end{array} \right.\)                                         

6, \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + xy - {y^2} = 29\\
5{x^2} - xy - {y^2} =  - 11
\end{array} \right.\) 

7, \(\left\{ \begin{align}

  & {{x}^{2}}-3xy+{{y}^{2}}=-1 \\

 & 3{{x}^{2}}-xy+3{{y}^{2}}=13 \\

\end{align} \right.\)                                      

8, \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - 2xy + 3{y^2} = 9\\
{x^2} - 4xy + 5{y^2} = 5
\end{array} \right.\) 

9, \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + xy - {y^2} = 180\\
{x^2} - xy - {y^2} =  - 11
\end{array} \right.\)                                        

10, \(\left\{ \begin{array}{l}
2{x^2} - xy + 3{y^2} = 13\\
{x^2} + 4xy - 2{y^2} =  - 6
\end{array} \right.\) 

Trên đây là nội dung tài liệu Dạng toán Biểu thức và các phép tính liên quan đến tính giá trị biểu thức. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.