Chuyên đề Các bài toán tìm GTNN - GTLN của một biểu thức Toán 9

BÀI TOÁN TÌM GTNN –GTLN CỦA MỘT BIỂU THỨC

-Dạng toán này gắn liền với bất đẳng thức, phải biết sử dụng BĐT để làm bài toán dạng này.

- Biểu thức A \(\ge \) k với k là số không đổi, có giá trị của biến để dấu bằng xảy ra \(\Rightarrow \) minA =k

- Biểu thức B \(\le \)  m với m là số không đổi, có giá trị của biến để dấu bằng xảy ra \(\Rightarrow \) maxA = m

- Giá trị biến để dấu bằng trong các BĐT trên xảy ra ta gọi là “điểm rơi”

 Đối với bài toán mà vai trò các biến như nhau thì điểm rơi xảy ra khi các biến bằng nhau.

Bài 1. Cho \(x,y>0\), \(x+y=1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{1}{xy}+\frac{1}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\). (Trích tuyển 10 Khánh Hòa năm học 2012-2013-Đề không chuyên)

Nhận xét:

-Biểu thức P gợi lên dùng BĐT Bunhiacoopky dạng phân thức

“Với x > 0, y > 0, ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge \frac{4}{x+y}\)   Dấu = khi x = y

-Vai trò x và y như nhau \(\Rightarrow \) điểm rơi tại \(x=y=\frac{1}{2}\) 

-Nhưng tại \(x=y=\frac{1}{2}\) thì \(\frac{1}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=\frac{1}{{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}}=2\) còn \(\frac{1}{xy}=\frac{1}{\frac{1}{2}.\frac{1}{2}}=4\) \(\Rightarrow \) Đểdùng BĐT trên thì số hạng thứ hai đi với \(\frac{1}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\) phải bằng 2 \(\Rightarrow \) Ta phải chia \(\frac{1}{xy}\) cho 2 khi đó được \(\frac{1}{2xy}=2\)

-Trong chứng minh bất đẳng thức đối với các biến vai trò như nhau ta thường dự đoán điểm rơi để tách và triệt tiêu biến. Đối với bất đẳng thức hoặc bài toán cực trị mà vai trò các biến không bình đẳng thì việc xác định điểm rơi không hề dễ.Có kỹ thuật giải quyết là “Tham số hóa”

Kỹ thuật đơn giản như sau. Trong bài cực trị 2 biến x;y có vai trò khác nhau ta đặt x = ty sau đó thay vào GT của bài toán ta tính biến y theo t.

Tiếp tục thay vào biểu thức ta tìm cực trị 1 biến.

Nhiều bài toán cực trị , biểu thức của đề cho bí trong biến đổi, ta cần khai thác GT để biến đổi  biểu thức cần tìm cực trị

Bài 3: Cho a;b;c dương thảo điều kiện a+b+c = 2 Tìm GTLN của

 Q= \(\sqrt{2a+bc}+\sqrt{2b+ca}+\sqrt{2c+ab}\)

Nhận xét đề bài:

Vì GT cho các số dương \(\Rightarrow \) rất có thể dùng BĐT cô si.

Vai trò các biến như nhau \(\Rightarrow \) điểm rơi là a=b=c = \(\frac{2}{3}\)  ( vì a+b+c =2)

 Mỗi số hạng dạng căn thức bậc hai muốn dùng cô si thì dưới căn phải dạng tích, nhưng

2a +bc chỉ còn viết được 1. (2a+bc) , tại điểm rơi thì 2a+bc không bằng 1 \(\Rightarrow \) kg dùng trực tiếp được \(\Rightarrow \) Mấu chốt của bài bằng mọi giá viết 2a +bc dạng tích!!!

Giải:

Ta có 2a + bc = (a+b+c).a + bc = a² +ab + ac + bc = (a+b)(a+c)

Theo BĐT cô si ta có
\(\sqrt{2a+bc}=\sqrt{(a+b)(a+c)}\le \frac{a+b+a+c}{2}=\frac{2a+b+c}{2}\) 

Tương tự: \(\sqrt{2b+ac}=\sqrt{(b+a)(b+c)}\le \frac{b+a+b+c}{2}=\frac{2b+a+c}{2}\) 

\(\sqrt{2c+ab}=\sqrt{(c+a)(b+c)}\le \frac{c+a+b+c}{2}=\frac{2c+a+b}{2}\)

Cộng từng vế ba BĐT  được Q \(\le \) \(\frac{4(b+a+c)}{2}=\frac{4.2}{2}=4\)

Vậy  max Q = 4 \(\Leftrightarrow \) a=b=c =\(\frac{2}{3}\)

Bài 4: Cho x; y là các số dương thỏa mãn (4x +6y +2019) (x-y+3)  =0 . Tìm GTNN của

P = xy – 5x +2020

Nhận xét :  Nhiều lúc hình thức “rất dễ sợ” nhưng bình tỉnh nhiền nhận sẻ thấy rấtđơn giản

GT bài toán x; y  dương \(\Rightarrow \) 4x+6y+ 2019 >0 ( đây là ngày thi tuyển 10 đó) \(\Rightarrow \) x-y + 3 = 0

Với GT này ta dễ dàng rút- thế đưa về biểu thức một biến

Giải:

x; y  dương \(\Rightarrow \) 4x+6y+ 2019 >0 ( đây là ngày thi tuyển 10 đó) \(\Rightarrow \) x-y + 3 = 0 \(\Rightarrow \) y =x+3 thay vào P = x(x+3) – 5x + 2020 = x² -2x + 1+2019 = (x-1)² + 2019 \(\ge \) 2019

Vậy min P = 2019 khi x = 1 và y = 4

Lời kết: Bất đẳng thức và bài toán cực trị một chuyên đề rất lớn, quan trọng trong học toán. Đây là chuyên đề dành cho học sinh giỏi. Còn rất nhiều phương pháp giải , nhiều kỹ thuật biến đổi , các em phải biết tự đọc , tự tham khảo thêm. Trong phạm vi của tuyển 10, với nội dung đã viết chỉ mới là điểm tựa cho các em mà thôi . Hãy nhớ rằng “ Mỗi hành động đều xuất phát từ suy nghĩ mà ra” Vì vậy hãy ngẫm nghĩ để hiểu rõ mỗi vấn đề  rồi tìm lời giải!

..........

---(Để xem tiếp nội dung của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--- 

Trên đây là một phần nội dung tài liệu Chuyên đề Các bài toán tìm GTNN - GTLN của một biểu thức Toán 9​​​​. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.